运算方法及运算器

CH3运算方法及运算器 定点原码一位乘 除法定点补码一位乘 除法运算器结构 教学目的与要求 掌握定点数1位原码乘法的原理和运算过程掌握定点数1位补码乘法的原理和运算过程掌握定点数1位原码除法的原理和运算过程掌握定点数1位补码的除法的原理和运算过程了解浮点数四则运算的规则掌握运算部件的构成 CH3运算方法及运算器 一 定点原码1位乘法二 定点补码1位乘法三 原码1位恢复余数除法四 原码1位不恢复余数除法五 补码1位加减交替除法六 浮点数算术运算七 运算器基本结构 CH3运算方法及运算器 一 定点原码1位乘法二 定点补码1位乘法三 原码1位恢复余数除法四 原码1位不恢复余数除法五 补码1位加减交替除法六 浮点数算术运算七 运算器基本结构 一 定点原码1位乘法 手工乘法过程 已知 X 1101 Y 1011 求 X Y 积 十进制数143 部分积 乘数 十进制数11 被乘数 十进制数13 一 定点原码1位乘法 原理推导 设 X 原 Xf X1X2 Xn Y 原 Yf Y1Y2 Yn则有 Z 原 X 原 Y 原 Xf Yf X1X2 Xn Y1Y2 Yn 设 X Y X 0 Y1Y2Y3 X Y12 1 Y22 2 Y32 3 2 1 X Y1 2 1 X Y2 2 1 X Y3 0 一 定点原码1位乘法 递推公式 Z0 0Z1 2 1 Z0 X Yn Z2 2 1 Z1 X Yn 1 Zn X Y 2 1 Zn 1 X Y1 运算规则 两个n位数相乘 可用n次加法和右移1位操作来实现 初始部分积Z0 0 乘数末位决定加 X 还是 0 每次加法时 部分积高位与被乘数相加 符号单独处理 由异或产生 一 定点原码1位乘法 硬件实现设置3个寄存器 部分积寄存器A 被乘数寄存器B 乘数寄存器C 部分积寄存器 和1个计数器 N位数乘N位数可以看做求N次N位数乘1位数 每求出一个加数就与上次的部分积相加 每次求出的部分积右移1位 以便与下一次的部分积相加 一共右移N次 加N次 部分积右移时 乘数寄存器也右移1位 乘数寄存器最低位控制相加数 最高位接收移出的部分积 N位加法器实现2个N位数相乘 一 定点原码1位乘法 逻辑图 一 定点原码1位乘法 运算流程 一 定点原码1位乘法 已知 X 0 1101 Y 0 1011 用原码1位乘的方法求 Z X Y 解 X 原 1 1101 Y 原 0 1011符号 Zf Xf Yf 1数值部分求解如下 说明A部分积C乘数YB被乘数X 1101初始0000001011 X001101001101右移1位00011011011丢失 X001101010011右移1位00100111101丢失 0000000001001右移1位00010011110丢失 X001101010001右移1位00100011111丢失乘积高位乘积低位所以 Z 原 1 10001111所以 Z 0 10001111 CH3运算方法及运算器 一 定点原码1位乘法二 定点补码1位乘法三 原码1位恢复余数除法四 原码1位不恢复余数除法五 补码1位加减交替除法六 浮点数算术运算七 运算器基本结构 二 定点补码1位乘法 设 X 补 X0 X1X2 Xn Y 补 Y0 Y1Y2 Yn补码与真值的关系X 0时 X0 0 X 补 0 X1X2 Xn XX 0时 X0 1 X X 补 2 1 X1X2 Xn 2 1 0 X1X2 Xn得到对X正负数都合适的公式 X X0 0 X1X2 Xn补码的右移补码连同符号位将数右移1位 并保持符号位不变 相当于乘1 2 即除2 二 定点补码1位乘法 补码乘法算法被乘数和乘数都使用补码 X Y 补 X 补 Y0 0 Y1Y2 Yn X正负任意 Y为正数 X Y 补 X 补 0 Y1Y2 Yn X正负任意 Y为负数 X Y 补 X 补 0 Y1Y2 Yn X 补采用双符号位 数据和符号位都参与运算 取乘数Y的数值位放入乘数寄存器运算 二 定点补码1位乘法 已知 X 0 1101 Y 0 1011 用补码1位乘的方法求 Z X Y 解 X 补 00 1101 Y 补 11 0101 X 补 11 0011计算过程如下 部分积乘数说明0000000101初始状态 001101 X 补001101 0001101010右移1位 000000 0000110 0000110101右移1位 001101 X 补010000 0010000010右移1位 000000 0001000 0001000001右移1位 110011 X 补1101110001所以 Z 补 1 01110001所以 Z 0 10001111 二 定点补码1位乘法 Booth补码乘法规则 将部分积初始化为0 并在乘数的尾部增加1位0作为 Y 补的第n 1位 比较Yi与Yi 1 i n 1 n 2 1 若Yi Yi 1 1 Yi 1Yi 01 部分积加 X 补 若Yi Yi 1 1 Yi 1Yi 10 部分积加 X 补 若Yi Yi 1 0 Yi 1Yi 11或00 部分积加0 每次运算完成后 部分积右移1位 反复n 1次 但最后一次不移位 所得的结果即为 X Y 补 二 定点补码1位乘法 运算流程 二 定点补码1位乘法 逻辑图 二 定点补码1位乘法 已知 X 0 1101 Y 0 1011 用Booth补码1位乘的方法求 Z X Y 解 X 补 11 0011 X 补 00 1101 Y 补 00 1011部分积乘数初始值 最后一位补00000000 1011010为 X 补再右移 X 补001101001101右移1位00011010 10110丢失11仅右移 0000000000110右移1位000011010 1011丢失01为 X 补再右移 X 补110011110110右移1位1110110010 101丢失10为 X 补再右移 X 补001101001000右移1位00010000010 10丢失01为 X 补 X 补1100111101110001不右移乘积高位乘积低位所以 Z 补 1 01110001 所以 Z 0 10001111 CH3运算方法及运算器 一 定点原码1位乘法二 定点补码1位乘法三 原码1位恢复余数除法四 原码1位不恢复余数除法五 补码1位加减交替除法六 浮点数算术运算七 运算器基本结构 三 原码1位恢复余数除法 设 X XsXnXn 1 X3X2X1 Y YsYnYn 1 Y3Y2Y1则X Y Xs Ys XnXn 1 X3X2X1 YnYn 1 Y3Y2Y1 规则 商的符号位独立运算 比较被除数X与除数Y的大小 若 X Y 则溢出 否则继续 被除数 余数 左移1位 与除数Y相减 若余数大于等于0 则商上1 余数左移1位 若余数小于0 则商上0 恢复余数 Y 余数左移1位 重复上述过程n次 除数的尾数位数 得到商及余数 三 原码1位恢复余数除法 例 设X 0 1001 Y 0 1011 用原码1位恢复余数除法求X Y 解 X Y 不溢出 X 原 00 1001 Y 原 00 1011 Y 补 11 0101被除数 余数 商说明00100100000开始 110101 Y 即 Y 补11111000000余数 0 不够 商0 001011 Y 恢复余数1001001进位1丢失 01001000000左移1位 110101 Y 即 Y 补100011100001进位1丢失 够减 商1 00111000010左移1位 110101 Y 即 Y 补100001100011进位1丢失 够减 上商1 00011000110左移1位 110101 Y 即 Y 补11101100110不够减 商0 001011恢复余数 Y1000110进位1丢失 00110001100左移1位 110101 Y 即 Y 补10000010 1101进位1丢失 够减 商1则f商 fX fY 0 商0 1101 余数0 0001 2 4 CH3运算方法及运算器 一 定点原码1位乘法二 定点补码1位乘法三 原码1位恢复余数除法四 原码1位不恢复余数除法五 补码1位加减交替除法六 浮点数算术运算七 运算器基本结构 四 原码1位不恢复余数除法 在恢复余数的除法中 当某一次 Y的结果为负数时 要多做一次 Y恢复余数的操作 减低了执行速度 使用不恢复余数除法 也称加减交替除法 是对恢复余数除法的修正 规则 余数为正 商1 求下一位商的方法是 余数左移一位 减除数余数为负 商0 求下一位商的方法是 余数左移一位 加除数若最后一步不够减 商0 则应作恢复余数处理 Y 已知 X 0 1011 Y 0 1101 用原码1位加减交替除法求X Y 解 X 原 00 1011 Y 原 00 1101 Y 补 11 0011被除数 余数 商说明00101100000开始情形 110011 Y即 Y 补11111000000不够减 上商0 11110000000左移1位 001101 Y100100100001进位1丢失 够减 上商1 01001000010左移1位 110011 Y即 Y 补100010100011进位1丢失 够减 上商1 00101000110左移1位 110011 Y即 Y 补11110100110不够减 上商0 11101001100左移1位 001101 Y10001110 1101进位1丢失 够减 上商1f商 fX fY 0 余数 0 0111 2 4 商 0 1101 四 原码1位不恢复余数除法 四 原码1位不恢复余数除法 逻辑图 CH3运算方法及运算器 一 定点原码1位乘法二 定点补码1位乘法三 原码1位恢复余数除法四 原码1位不恢复余数除法五 补码1位加减交替除法六 浮点数算术运算七 运算器基本结构 五 补码1位加减交替除法 含符号位一起参与运算 X Y 补 X 补 Y 补规则 被除数X 除数Y 余数R 商的符号位和前n 1位数值位的操作如下表 商的第n位数值位一般采用恒置1的方法 五 补码1位加减交替除法 方法一 严格按照上述表中的操作进行 但机器实现时 第一步操作与其余的操作不一致 控制稍微复杂一些 方法二 改进表中的操作一开始就将被除数X作为初始余数 R0 补 则 R0 补与 Y 补同号商1 异号商0 下一步作2 R0 补 Y 补操作 这样得到的商值正好与原来的相反 因此 最后要作取反操作将商校正 五 补码1位加减交替除法 已知 X 0 1001 Y 0 1101 用补码1位加减交替除法求X Y X 补 1 0111 Y 补 0 1101 Y 补 11 0011被除数 余数 商说明11011100000开始情形 001101两数异号 Y 补00010000001余数与除数同号 上商1 00100000010左移1位 110011上次商1 Y 补11101100010余数与除数异号 上商0 11011000100左移1位 001101上次商0 Y 补00001100101余数与除数同号 上商1 00011001010左移1位 110011上次商1 Y 补11100101010余数与除数异号 上商0 11001010101左移 商的最低位恒置1 X Y 补 1 0101 X Y 0 1011 余数 补 1 0010 2 4 CH3运算方法及运算器 一 定点原码1位乘法二 定点补码1位乘法三 原码1位恢复余数除法四 原码1位不恢复余数除法五 补码1位加减交替除法六 浮点数算术运算浮点数的加 减运算方法浮点数乘法运算方法浮点数除法运算方法七 运算器基本结构 浮点数的加 减运算方法 设有两浮点数X Y实现X Y运算 其中 X MX 2EX Y MY 2EY 均为规格化数 执行以下五步完成运算 浮点数的加 减运算方法 1 对阶 操作 比较两浮点数阶码的大小 求出其差 E 并保留其大值E E max EX EY 当 E 0时 将阶码值小的数的尾数右移 E位 并将其阶码值加上 E 使两数的阶码值相等 这一操作称之为 对阶 尾数右移时 对原码表示的尾数 符号位不参加移位 尾数数值部分的高位补0 对补码表示的尾数 符号位参加右移 并保持原符号位不变 浮点数的加 减运算方法 2 尾数的加 减运算 执行对阶后 两尾数进行加 减运算 得到两数之和 差 浮点数的加 减运算方法 3 规格化操作 规格化的目的是使尾数部分的绝对值尽可能以最大值的形式出现 设尾数M的数值部分有n位 规格化数的范围为 1 2 M 原 1 2 n 1 2 M 补 1 2 n 当M为正 1 2 M 补 1 当M为负 当运算的结果 和 差 不是规格化数时 需将它转变成规格化数 浮点数的加 减运算方法 规格化操作的规则是 如果结果的两个符号位的值不同 表示加 减运算尾数结果溢出 此时将尾数结果右移1位 阶码E 1 称为 向右规格化 简称 右规 如果结果的两个符号位的值相同 表示加 减运算尾数结果不溢出 但若最高数值位与符号位相同 此时尾数连续左移 直到最高数值位与符号位的值不同为止 同时从E中减去移位的位数 这称之为 向左规格化 简称 左规 浮点数的加 减运算方法 4 舍入 在执行右规或对阶时 尾数低位上的数值会移掉 使数值的精度受到影响 常用 0 舍 1 入法 浮点数的加 减运算方法 5 检查阶码是否溢出 阶码溢出表示浮点数溢出 在规格化和舍入时都可能发生溢出 若阶码正常 加 减运算正常结束 若阶码下溢 则置运算结果为机器零 若上溢 则置溢出标志 浮点数的加 减运算方法 对阶 E Ex Ey 小阶向大阶看齐 实现尾数的加 减 运算 规格化处理如果结果的两个符号位的值不同 表示运算尾数结果溢出 应 右规 即尾数结果右移一位 阶码 1如果最高数值位与符号位相同 应 左规 此时尾数连续左移 直到最高数值位与符号位的值不同为止 同时从阶码中减去移位的位数舍入处理0舍1入 移出的最高位为1 M最低位 1如果 1后 M又溢出 再右规1次检查是否溢出下溢 机器0上溢 置溢出标志 浮点数的加 减运算方法 浮点数的加 减运算方法 两浮点数相加 求X Y 已知 X 2010 0 11011011 Y 2100 0 10101100 解 计算过程 对阶操作 阶差 E EX 补 EY 补 00010 11100 11110X阶码小 MX右移2位 保留阶码E 00100 MX 补 000011011011下划线上的数是右移出去而保留的附加位 尾数相加 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