(有答案)常微分方程模拟题(浙江师范大学).doc

浙江师范大学 数理与信息工程学院模拟试题1一、填空题: (每小题2分,共8分) 参考答案 o 1. 2. o 3. 4. 二、是非判断题: (每小题2分,共12分) 参考答案 o 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. . 1 =; 2. =; 3. ; 4. . 参考答案 o 1. = 通解为 或者 写成;o 2. = = =,即,通解为;o 3. ,设,则=, 所以 ,即得通解; o 4. x()2-2y( )+x=0 ,设,则,两边关于求导得或 . 由得 , 所以通解是,由得奇解 .1. ;2. . 参考答案 所以有 , 参考答案 o 由 =0 得 ,所以，特征值是 . 记,则.对于,可求得一特征向量.g(x)= 参考答案 o 1.当时,所以,.由得; 当时,所以,.因为y(x)在x=1连续,所以.所以,所求函数是.1 2 参考答案 因为,特征根的实部都,o 2. 构造Lyapunov函数(定正), 则 定负, 模拟试题2 一填空题：（第1小题4分，其它每小题3分，共25分）则满足关系 . 参考答案 1. 三 ，非 2 3充分， 4(a,b)， 5，1234.5.6.7. 参考答案 o 1. (6分) o 2. ，解为 o 3. 积分因子为，解为 (6分)； o 4. 设(1分)，令，解为 (6分)； o 5. （I）当，;o 6. x+x=0的通解是 (2分)， 所以有 ,o 7. ,设，则（2分）. 由得，因此得 （6分）三（本题11分） 参考答案 o 1. 称是的基解矩阵，如果满足 （a） (b) .（4分）o 2. 令，可求得（7分） 对于 由可取, 对于，由可取对于，由可取因此基解矩阵为.（11分）四讨论题：（本题12分） 参考答案 其解为 （3分）再令，则又可化为可求其解为，五证明题：（本题10分）满足初始条件的解可表为（其中w 为解所成的Wronski行列式），试证明之. 参考答案 令 ，则（1）化为，其中 （3分）其中 代入可算得 . 模拟试题3一、填空题：（每小题3分，共21分） 参考答案 o 1. 三 ， o 2， o 3， o 4 ， o 5, o 6 ， o 7.无穷多. 二、是非判断题：（每小题2分，共10分） 参考答案 o 8. ， 9. ， 10 ， 11, 12,. 1. ；2. =； 3. -=；4. . 参考答案 o 1. =(3分) 通解为 或者写为 (6分)； o 2. =(3分) (6分)； o 3. 设(2分)，则= (4分)，所以 ， 通解是(6分)； o 4. 设(1分)，则，两边关于求导得 (4分)代入得(5分)，所以通解是 (6分).1. ；2. . 参考答案 五、（15分） 参考答案 o (1) . o (2) . 参考答案 o 当时，所以，.由得； 当时，所以，.因为在x=1连续，所以.所以，所求函数是. 模拟试题4 一、填空题: (每小题3分,共21分) 参考答案 o 1. 三 , 2. , 3., 4. , o 5., 6., 7. 无穷多. 二、是非判断题: (每小题2分,共10分) 参考答案 o 1., 2., 3., 4., 5. 1. ; 2. ;3. ;4. .5. x+x=et;6. ;7. . 参考答案 o 1.; 2. 或者 ;3. 设，则 ,所以，通解是 ;4. ;通解是 y=0也是解; ,所以有 6. ,设 ,的通解是,的通解是, . 参考答案 o 因为 所以,特征值是 .同理,对于,可求得特征向量.五、证明题:(11分)证明极限存在. 参考答案 所以 的通解 ,所以 ,从而极限 存在.由得,所以.因此,所求解是. 模拟试题5 一、填空题：(310)则基解矩阵为() =_.5考虑定义在区间a，b上的函数, 如果存在 ，6设函数组，则在区间上它们的伏朗斯基行列式是它们在区间上线性相关的 条件（填“充分”，“必要”或“充要”）. 参考答案 o 1. o 2. o 3. o 6. 必要. o 7. . o 8. 1 2. 3. 4. 参考答案 两端积分得不为0；此外，也是解，三、解答题（本大题共15分，其中第一题7分） 参考答案 o 1. 特征根为，对应的特征向量为 .故此初值问题的解存在且唯一，作比卡逐步逼近序列： ，由此取极限得： .四、证明题证明：(1) 满足(2) 参考答案 ，由行列式的求导公式得 . 把这个行列式的第1行、第2行、第n行分别乘以后加到最后一行上，最后一行全部变成0，所以 .（2）当时，等式当然成立。当时，两端取到的定积分，得化简即得 . ，这就说明是解矩阵 而，所以，所是基解矩阵 =系数行列式=0 线性相关（见课本定理，证略） 模拟试题6 一、(310)填空题:8. 对,若有定正函数,则当为 时,零解为渐近稳定的. 参考答案 1. ; 2. ;3. . 参考答案 3. , 解为:.(1)、(2)、R : 参考答案 (2) 不满足,因为 当时,所以 在区域R上不满足利普希斯条件,1、 2、 参考答案 o 1.鞍点 不稳定 o 2.稳定焦点,渐近稳定 五、证明题它们所构成的伏朗斯基行列式为,试证明:（1） W(t)满足;（2） ,其中,. 参考答案 o 1. 证 o 2 证明: ,由行列式的求导公式得 .把这个行列式的第1行、第2行、第n行分别乘以后加到最后一行上,最后一行全部变成0,所以 (2) 当时,等式当然成立.当时,两端取 到 的定积分 ,得 化简即得 . 模拟试题7 一、填空题(310):8.与初值问题 等价的 参考答案 o 1.,; 2. ; 3. ; 4., , 5.,; 6 ;7.;8.二、判断题(25)2.在解的存在唯一定理中,若满足利氏条件,则一定连续. 参考答案 o 1., 2., 3., 4., 5. 1.2.3.4. 参考答案 o 1.积分因子为 ,通解为 . .(以下四七题每题十分):四. 已知连续函数满足关系式,试求函数的表达式. 参考答案 参考答案 o 由得特征根为, 所以基本解组为 .标准基本解矩阵为 参考答案 七.若的个解,在区间上线性无关, 参考答案 模拟试题8一、填空题：（310）则基解矩阵为(t)= .8、考虑定义在区间上的函数, 如果存在 ，使得恒等式 对于都成立，则说这些函数是线性相关的. 参考答案 o 1.能使它变为恒等式, o 2., o 4. , 5. o 6. , 7. , o 9. . 1. ;2. ;3. ;4. ;5. ;6. . 参考答案 o 2. , 令, 则, 再令, 得通解为, 从而通解为, 其中已经包括 , 这个特解.o 5. 当时, ,得到. 从而通解为或. o 6. 首先判断存在只与有关的积分因子, 因为, 所以 , 两边同乘以, 最后得到通解为.三、（52）（1）、 = ;（2）、= . 参考答案 1. 因为,有 , 从而存在满足条件,即满足存在唯一性定理的条件.2. 不满足，因为 当时，所以 在区域R上不满足利普希斯条件.四、证明题它们所构成的伏朗斯基行列式为，证明： 满足; ，其中，. 参考答案 ，由行列式的求导公式得 .把这个行列式的第1行、