概率论入门1部分(doc 15).doc

概率论入门第六版Shildon Ross第六版概率论基础Sheldon Ross加州大学，伯克利PRENTICE HALL 出版公司，新泽西 07458议会编目出版数据图书馆Ross, Sheldon M.概率论入门 / Sheldon Ross.第六版索引：ISBN 0-13-033851-61. 概率论. I. 标题.QA273. R83 2002519.2dc21 2001033915责任编辑：Quincy McDonald主编：Sally Yagan副理事 / 生产制造商：David W. Riccardi执行编辑：Kathleen Schiaparelli高级编辑：Linda Mihatov Behrens管理编辑：Bayani Mendoza de Leon生产编辑：Steven S. Pawlowski制造购买商：Alan Fischer制造经理：Trudy Pisciotti 市场经理：Angela Battle运行主编. 声音 / 图像监制：Grace Hazeldine编辑管理 / 补充编辑：Joanne Wendelken艺术指导：Jayne Conte封面设计：Bruce Kenselaar艺术演播：艺术工作：高级理事：Patty Burns生产理事：Rhonda Whitson技术生产理事：Matt Haas项目合作：Jessica Einsig说明：Steve McKinley 2002 Prentice-Hall, Upper Saddle River,NJ07458产权保护，未经出版商的许可不能以任何形式或意图翻印本书的任何章节.美国出版10 9 8 7biaoshima皮尔森教育？目录（可选章节用星号表示）序 i1 组合分析 11.1 引言 11.2 计数的基本原则 21.3 排列 31.4 组合 51.5 多项式系数 101.6 方程实数解的个数 12总结 15问题 15理论练习 18自测问题和联系序法国著名的数学家和天文学家（“法国的牛顿”）皮埃尔.西蒙.拉普拉斯侯爵曾说过：“我们发现，概率论实质上仅仅是被归纳为计算问题的常识，它使得我们能正确的评价凭某种直觉所感受到的、往往又不能解释清楚的见解的合理性，非同寻常的是这门源于机会对策的科学本应成为人类知识中最重要的目标对于大多数人来说，生活中最重要的问题正是概率问题。”尽管很多人可能会认为这位曾为概率论发展做出很大贡献的侯爵多少有些夸张，但概率论确实已经成为几乎所有的科学家、工程师、开业医生、法学家和实业家手中的一个有力的基本工具。事实上，有知识的人已经习惯于问“是这样的概率是多少？”而不是问“是这样的吗？”此教材试图写成概率的数学理论入门书，对象是具有初等微积分必备知识的学数学，统计，工程学以及其它科学（包括计算机科学，社会科学和管理科学）学生，它不仅试图介绍概率的数学理论，而且通过大量的例子来说明它有很多不同的应用。第一章介绍了组合分析的基本原则，这些原则在计算概率的时候非常有用。第二章研究了概率论的公理，并说明了这些定理如何应用于计算不同的有关概率。第三章论述了有关条件概率和事件独立性的一些极其重要的课题。通过一系列的例子说明，不仅在只有部分信息可利用时，条件概率是如何起作用的，而且甚至在没有部分信息的情况下，条件概率作为一种工具也可以使我们能更容易得计算概率，通过“条件化”获得概率这个极其重要的技能在第七章中会重新提到，在那里我们用它来计算数学期望。第四，五，六章重点介绍了随机变量的概念。第四章介绍了离散随机变量，第五章介绍了连续随机变量，随机变量的联合分布放在第六章。随机变量的期望和方差等重要概念在第四章和第五章中均有提到：对于很多一般类型的随机变量这些量都是待定的。第七章介绍了数学期望的补充性质，得到了这样一个结果，即一个随机变量和的数学期望等于它们数学期望的和，并通过大量的例子说明了此结果的重要性。有关条件期望，包括它在预报中的使用和距函数的内容都包括在这一章。另外，在最后一章还介绍了多元正态分布并给出了一个简单证明，关于来自一个正态分布的样本其样本均值和样本方差的联合分布的证明。第八章展示了概率论中主要的理论结果。特别是证明了强大数定理和中心极限定理，我们对强大数定理的证明是相对简单的一个，即假设随机变量有有限的四阶距,并且我们的证明是建立在Levy连续理论的假设基础之上的。另外本章还给出了诸如马尔科夫不等式，车里雪夫不等式，车尔诺夫界等概率不等式，第八章的最后一节给出了一个误差的界，此误差为当一个独立伯努里随机变量和的概率被近似的认为是具有相同均值的柏松随机变量的相应概率时产生的误差。第九章介绍了一些补充话题，例如马尔科夫链，泊松过程，信息和编码理论的介绍。第十章给出了模拟。第六版继续对文章内容进行了扩展和有效的协调，加入了很多新的练习和例子，后者中很多是实用例子（如第四章的例4c），正态近似的例子（第五章中的例4i），对数正态分布在金融中应用的例子（第六章的例3d）和有关一般托收概率的息票托收的例子（第七章中的例2v）。第七章还补充了关于概率方法（7.2.1节）和极大极小恒等式（7.2.2节）的新的可选内容。在以前的版本中每一章最后都有三种类型的习题。它们分别被划分为问题，理论练习和自测问题与练习，习题的最后一部分的完整答案附在附录B中，这样设计是为了帮助同学们测试他们的理解能力和对考试的学习。所有有关当前版本的概率模型软件的内容都可以在Ross公司网页上下载，网址为：/Ross. 使用网页可以让学生们在以下六个重要内容上快速容易得计算和模拟。 其中的三个模块可以分别导出双参数正态，泊松和正态随机变量的概率。 另一个模块解释了中心极限定理。它考虑取值可以为0，1，2，3，4并允许数用数代替这些值求出概率的随机变量，并考虑了个独立随机变量和以及此类随机变量的概率质量函数。可以看到增大值，质量函数收敛于一个正态密度函数的图形。 另外两个模块解释了强大数定理，整数还是代替随机变量可取的以上五个可能值，程序用随机数来模拟具有指定分布的个随机变量，模块画出每一个结果发生的次数和所有结果发生的平均次数的图。有关对试验结果画图各个模块式不同的。我们非常感谢以下工作者对此书的最新版本提出的有价值的意见和建议：Anastasia Ivanova，北卡罗来纳大学；Richard Bass，康涅狄格大学；Ed Wheeler, 田纳西大学; Jean Cadet, SUNY 纽约州立大学；Stony Brook；Jim Propp, 维斯康星大学；Mike Hardy, 马萨诸塞技术学院；Anant Godbole, 密歇根技术大学；Zakkula Govindarajulu, 肯塔基大学；Richard Groeneveld, 爱荷华州立大学；Bernard Harris, 维斯康星大学；Stephen Herschkorn, Rutgers 大学；Robert Keener, 密歇根大学；Thomas Liggett, 加利福尼亚大学,洛杉矶；Bill McCormick, 乔治亚大学；Kathryn Prewitt, 亚利桑那州立大学；特别对Hossein Hamedani , 马科萨斯大学和Ben Perles为原稿进行精确检查表示感谢。在此还要对早期版本的评论者表示感谢：Thomas R. Fischer, 得克萨斯大学；Jay DeVore, 加州理工学院,San Luis Obispo；Robb J. Muirhead, 密歇根大学；David Heath, 克内尔大学；Myra Samuels, 普杜大学；I. R. Savage, 耶鲁大学; R. Miller, 斯坦福大学；K. B. Athreya, 爱河华州立大学；Phillip Beckwith, 密歇根教育学院；Howard Bird, St. 克劳得州立大学；Steven Chiappari, 桑塔考拉大学；James Clay, 图森亚利桑那大学；Francis Conlan, 桑塔考拉大学；Fred Leysieffer, 弗洛里达州立大学；Ian McKeague, 弗洛里达州立大学；Helmut Mayer, 乔治亚大学；N.U.Prabhu, 克内尔大学；Art Schwartz, 安巴伯米歇根大学；Therese Shelton, 西南学院；Allen Webster, 布拉德里大学。第一章组合分析1. 1引言这是一个典型的涉及概率的有意思的问题。一个通讯系统由个看似一样的天线组成，这些天线要以线性顺序排列。合成系统可以接受所有的信号称为泛函只要没有两个相连的天线发生故障。如果结果表明条天线中有条是有缺陷的，那么合成系统成为泛函的概率有多大？例如，特殊一点令，则就有6种可能的构形，即其中1表示天线正常，0表示天线出现故障。由于合成系统在前三种排列中是泛函，而在后三种排列中不是，那么取作为要求的概率似乎是合理的。对于一般的也可以用同样的方法计算系统是泛函的概率，即数出系统中结果是泛函的构型数，然后除以所有可能的构形数。从前面可以看到找到一个数出事件发生方式的数目的有效方法是非常有用的，事实上，概率论中很多问题都可以简单得通过数出一个特定事件可能发生的不同方式的数量来解决。这种数数的数学理论形式上被称为组合分析。1.2 计数的基本原则下列计数原则是我们所有工作的基础。简单来说，它就是说如果一个试验可以产生m个可能的结果，而另一个试验可以产生个可能的结果，那么这两个试验就有mn个可能结果。计数的基本原则假设同时进行两个试验，如果试验1可以产生m个可能结果，而对试验1产生的每一个结果试验2都有个可能的结果，那么这两个试验一共有mn个可能结果，基本原则的证明：可以通过枚举两个试验可能产生的所有结果来证明基本定理，如下所示：其中结果表示试验1得到它的第个结果，试验2得到它的第个可能结果，这样所有可能的结果就由每一行有个元素的m行组成，从而得证。 例 2a. 一个小社区有10个妇女，每个妇女有3个孩子，如果其中一个妇女和她其中的一个孩子被选为本年的母子，那么有多少种可能的选择？解 把对妇女的选择作为试验1的结果，随后对她的孩子的选择作为试验2的结果，有基本原则有中可能的结果。其中若进行两个以上的试验，基本原则被如下推广：推广了的计数基本原则如果进行试验，第一个试验可能有个可能结果，对其每一个可能的结果试验2对应有个可能结果，若对这前两个试验的每一个结果，第三个试验都对应有个可能结果，若，那么这个试验一共会有个可能结果。例 2b. 一个计划委员会由3个新生，4个大学二年级学生，5个三年级学生，2个四年级学生组成，现从这四个班级中的每个班级抽取一人组成4个人的小组委员会，有多少种不同的小组委员会？ 解 我们可以把小组委员会的选择作为从每个年级抽取一名代表的四个独立试验的联合结果，从而由推广了的计数基本原则有种可能的小组委员会。例 2c. 如果前3个位置用字母，后4个位置用数字，那么有多少不同的7位的牌照？解 由推广了的计数基本原则，答案是。例 2d. 如果每一个函数值都取0或1，那么定义在各点上函数有多少？解 设这个点分别是1，2，因为对每一个都等于0或者1，那么只有两种可能的函数。例 2e. 在例2c中，若字母和数字都不允许重复，那么有多少牌照？解 有种牌照。1.3 排列字母有多少不同顺序的排列？通过直接计数有6种，即,每一种安排都称为排列。这样三个事件就可能有6种排列，此结果还可以通过计数基本原则得到，因为排列中的第一个字母有3个位置，第二个字母有只能在剩下的2个位置中选择，第三个字母只能放在剩下的1个位置，因此有个可能的排列。假设我们现在有个事物，道理上类似于以上3个字母所使用的方法，则个事物就有！种不同的排列。例 3a. 由9个队员组成的棒球队有多少种不同的击球员上场顺序？解 有！种可能的出场顺序。例 3b. 概率理论班有6位男士，4位女士，一次考试过后，根据他们的表现排队，假设没有两个同学的一样的分数。 (a) 有多少不同的排列？ (b) 如果对男士和女士分别进行排列,那么有多少种不同的排列?解 (a) 因为每一个排列都对应一个有顺序的10个人的排列，从而此题的答案为10！=3，628，800。(b) 因为男士中有6！中排列，女士中有4！中排列，从而由基本计数原则有(6!)(4!)=(720)(24)=17,280种排列。例 3c. 约翰先生要在他的书架上放10本书，其中4本数学书，3本化学书，2本历史书，1本语言书，他想把相同学科的书放在一起，有多少种不同的排列？解 首先排列数学书，然后是化学书、历史书、语言书，有4！3！2！1！种排列，类似的，对每一个学科顺序，有4！3！2！1！种排列，因此，由于有4！各学科顺序，答案就是4！4！3！2！1！=6912。下面我们来看个个体中某些个体不互相区分，其排列的个数，为了更直接一些，我们来看下面的例子。例 3d. 字母可以形成多少种不同的字母排列?解 首先我们看到，对于字母，如果3个和2个均不互相区分，则有6！种排列，然而，如果之间是有排列的，之间也有排列，那么得出的排列仍然是，就有3！2！种形式为的排列。从而字母有种排列。 一般来说，道理和例3d相同，个个体有种排列，其中之间，之间，,之间互相不与区分。例 3e. 一个国际象棋比赛有10名赛手，4个俄罗斯人，3个美国人，2个英国人，1个巴西人，如果比赛结果的次序正好就是赛手国籍的次序，那么有多少可能的结果？解 有种结果。例 3f. 一组旗由4面白旗，3面红旗，2面蓝旗组成，并认为颜色相同的旗子是一样的，那么这9面旗子排成一行可以形成多少不同的记号？解 有种不同的记号。组合通常我们对从个个体的总体中取出个个体，能排成多少不同的组非常感兴趣，例如，从这5项中取出3个成为一组，那么有多少不同的组？为了回答这个问题，理由如下：因为第一项的选择有5种方法，第二项有4种，最后一项有3种，这样当被选项次序相关时选择3个一组就有种方法。然而，因为每一个3个项的组，即由项组成的组将会被记6次（也就是说，当选择次序相关时，所有的排列都会被记入在内），从而形成组。 一般来说，当选择次序相关，并且每一个项的组在计数时都被计次，则从项中选取项组成一组一共有种不同的方法，从而从项中选取项组成一组一共有组。记号与专业术语对，定义，即表示个个体每次取个的可能组合的个数。这样表示选取顺序不相关时，从个个体每次取个个体的不同组合的个数。例 4a. 从20个人中选取一个3人委员会，有多少个不同的取法？解 有个可能的委员会。依照惯例，定义，从而，并且定义，。例 4b. 从一个5位女士，7位男士的组中选取一个有2位女士，3位男士的委员会，有多少个不同的委员会？如果其中有2位男士不合，不能同时进入委员会，那么又有多少个不同的委员会？解 2位女士的组合有种，3位男士有种，从而由计数基本原则知有个2位女士，3位男士的委员会。另外，如果其中2位男士拒绝一起加入委员会，那么3位男士的组合中有组不包括那2个不和的男士中的任意一个，有组只包括那2个不和的男士中的一个，这就是说3位男士的组合中有+=30组均不包括两个不和的男士，因为选取2位女士有种方法，因此答案为30=300个不同的委员会。例 4c. 考虑条天线中有条有缺陷，可以用，假设所有有缺陷的天线和所有能用的天线都不互相区别，那么任意两条有缺陷的天线不连接的接线方法有多少种？解 对可以用的天线排队，现在假设任意两条有缺陷的天线均不连接，那么可用天线之间的每一个空间都最多只有一条有缺陷的天线，这就是说在条可用天线之间的种情况中 表1.1中用插入符号表示,必须选择其中的个位置来放有缺陷的天线。从而有种连接，其中在任意两条有缺陷的天线之间至少有一条可用的天线。表1。1一个有用的恒等式为 (4.1)等式(4.1)可以用解析方法证明，也可以用以下组合方法证明。现有个个体，其中特殊的一个称为个体1，则个个体中包括个体1的有组（因为每一个这样的组都是由从余下的个个体中选取个组成），个个体中不包括个体1的有组，因为抽取个个体一共有组，从而(4.1)成立。值通常被指定为二项式系数，这就是为什么它们在二项式理论中占有如此重要地位的理由。二项式定理 (4.2)下面用两种方法证明此二项式定理，第一种证明用数学归纳方法，第二种证明基于组合方法。归纳法证明二项式定理：时，等式(4.2)变为假设等式(4.2)对成立，则 在第一个和式中令，在第二个和式中令就有： 其中倒数第二个等式来自等式(4.1)。从而用归纳法证明了此定理。组合法证明二项式定理：考虑乘积它的展开项由项的