（通用版）2020版高考数学复习专题四数列4.1数列基础题练习理.docx

4.1数列基础题命题角度1求数列的通项公式高考真题体验对方向1.(2016浙江13)设数列an的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1=,S5=.答案1121解析由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2).又因为a2=3a1,所以数列an是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S5=1-351-3=121.2.(2015全国16)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.答案-1n解析由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得1Sn-1Sn+1=1,即1Sn+1-1Sn=-1,则1Sn为等差数列,首项为1S1=-1,公差为d=-1,1Sn=-n,Sn=-1n.典题演练提能刷高分1.(2019四川广元万达中学、八二一中学高一下学期期中考试)设数列an中,已知a1=1,an=1+1an-1(n1),则a3=()A.85B.53C.32D.2答案C解析因为a1=1,an=1+1an-1(n1),所以a2=1+1a1=2,a3=1+1a2=32.故选C.2.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=32n2+12n,则a5=.答案14解析由题意得a5=S5-S4=3252+52-3242+2=14.3.已知Sn是数列an的前n项和,且log3Sn+1=n+1,则数列an的通项公式为.答案an=8,n=1,23n,n2解析由log3(Sn+1)=n+1,得Sn+1=3n+1,当n=1时,a1=S1=8;当n2时,an=Sn-Sn-1=23n,所以数列an的通项公式为an=8,n=1,23n,n2.4.已知数列an前n项和为Sn,若Sn=2an-2n,则Sn=.答案n2n解析Sn=2an-2n=2(Sn-Sn-1)-2n,整理得Sn-2Sn-1=2n,等式两边同时除以2n有Sn2n-Sn-12n-1=1,又S1=2a1-2=a1,可得a1=S1=2,所以数列bn=Sn2n可看作以1为首项,1为公差的等差数列,所以Sn2n=n,所以Sn=n2n.5.已知数列an的前n项和是Sn,且an+Sn=3n-1,则数列an的通项公式an=.答案3-12n-2解析由题得an+Sn=3n-1,an-1+Sn-1=3n-4,两式相减得an=12an-1+32,an-3=12(an-1-3),an-3是一个等比数列,所以an-3=(a1-3)12n-1=(1-3)12n-1,an=3-12n-2.故填3-12n-2.命题角度2等差数列基本量的运算高考真题体验对方向1.(2019全国9)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n答案A解析由题意可知,S4=4a1+432d=0,a5=a1+4d=5,解得a1=-3,d=2.故an=2n-5,Sn=n2-4n,故选A.2.(2018全国4)记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案B解析因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.3.(2017全国4)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1B.2C.4D.8答案C解析设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+652d=48,联立可得2a1+7d=24,6a1+15d=48,3-,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.4.(2017全国9)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8答案A解析设等差数列的公差为d,则d0,a32=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=61+652(-2)=-24,故选A.5.(2019全国14)记Sn为等差数列an的前n项和.若a10,a2=3a1,则S10S5=.答案4解析设等差数列an的公差为d.a10,a2=3a1,a1+d=3a1,即d=2a1.S10S5=10a1+1092d5a1+542d=100a125a1=4.典题演练提能刷高分1.设等差数列an的前n项和为Sn,若a3=7,S3=12,则a10=()A.10B.28C.30D.145答案B解析由题意,设等差数列的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d=7,S3=3a1+3d=12,解得a1=1,d=3,所以a10=a1+9d=1+93=28,故选B.2.(2019四川百校高三模拟冲刺)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S7=28,则a4=()A.4B.7C.8D.14答案A解析S7=7(a1+a7)2=7a4=28,故a4=4.故选A.3.我国古代数学名著九章算术均输中记载了这样一个问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种重量单位).这个问题中,等差数列的通项公式为()A.-16n+76(nN*,n5)B.16n+32(nN*,n5)C.16n+76(nN*,n5)D.-16n+32(nN*,n5)答案D解析依题意甲、乙、丙、丁、戊所分得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由题意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,所以a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,所以a=1,所以此等差数列首项为43,公差为-16,故通项公式为an=-16n+32(nN*,n5),故选D.4.在等差数列an中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示an的前n项和,则使Sn达到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18答案B解析因为a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,所以a3=35,a4=33,从而d=-2,a1=39,Sn=39n+12n(n-1)(-2)=-n2+40n,所以当n=20时,Sn取最大值,故选B.5.(2019广东潮州高三二模)我国古代名著九章算术中有这样一段话:“今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.”意思是:“现有一根金锤,长5尺,头部1尺,重4斤,尾部1尺,重2斤”,若该金锤从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,该金锤共重多少斤?()A.6斤B.7斤C.9斤D.15斤答案D解析因为每一尺的重量构成等差数列an,a1=4,a5=2,a1+a5=6,数列的前5项和为S5=5a1+a52=53=15.即金锤共重15斤,故选D.6.设等差数列an的前n项和为Sn,若S6S7S5,则满足SnSn+1S7S5,6a1+652d7a1+762d5a1+542d,a70,S13=13(a1+a13)2=13a70,满足SnSn+10的最大的自然数n是()A.7B.8C.9D.10答案C解析a2=a1+d=7,a4=a1+3d=3,解得a1=9,d=-2,所以Sn=9n+n(n-1)2(-2)=-n2+10n,所以-n2+10n0,所以0n0),则a1(1-q4)1-q=15,a1q4=3a1q2+4a1,解得a1=1,q=2,所以a3=a1q2=122=4.故选C.2.(2017全国3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案B解析设塔的顶层共有x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由x(1-27)1-2=381,可得x=3,故选B.3.(2019全国14)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=13,a42=a6,则S5=.答案1213解析设等比数列an的公比为q,则a4=a1q3=13q3,a6=a1q5=13q5.a42=a6,19q6=13q5.q0,q=3.S5=a1(1-q5)1-q=13(1-35)1-3=1213.4.(2017北京10)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2=.答案1解析设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即-1+3d=8,-q3=8,解得d=3,q=-2.故a2b2=-1+3-1(-2)=1.典题演练提能刷高分1.Sn是正项等比数列an的前n项和,a3=18,S3=26,则a1=()A.2B.3C.1D.6答案A解析由题得a1q2=18,a1+a1q+a1q2=26,a10,a1=2,q=3,故选A.2.等比数列an中各项均为正数,Sn是其前n项和,满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=()A.9B.15C.18D.30答案D解析设等比数列an的公比为q(q0).2S3=8a1+3a2,2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即2a3-a2-6a1=0.2q2-q-6=0,q=2或q=-32(舍去).a4=16,a1=a4q3=2,S4=a1(1-q4)1-q=2(1-24)1-2=30.故选D.3.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,出行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请计算此人第二天走的路程”.该问题的计算结果为()A.24里B.48里C.96里D.192里答案C解析由题意得此人每天走的路程构成公比为12的等比数列,且前6项的和为378,求该数列的第2项.设首项为a1,则有a11-(12)61-12=378,解得a1=192,则a2=19212=96(里).故选C.4.(2019河北保定高三第二次模拟考试)等比数列an中,若an0,a2a4=1,a1+a2+a3=7,则公比q=()A.14B.12C.2D.4答案B解析设等比数列an的首项为a1,公比为q,且q0.由题意可得a2a4=a1qa1q3=1,a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=7,解得q=12.故选B.5.已知公比q1的等比数列an的前n项和为Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=()A.1B.5C.3148D.1116答案D解析由题意得a1(1-q3)1-q=3a1q2,解得q=-12,q=1(舍),所以S5=a1(1-q5)1-q=1-(-12)51-(-12)=1116,故选D.6.古代数学著作九章算术有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第一天,长为3尺;莞生长第一天,长为1尺.以后蒲的生长长度逐天减半,莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等?”以下给出了问题的4个解,其精确度最高的是(结果保留一位小数,参考数据:lg 20.30,lg 30.48)()A.1.3日B.1.5日C.2.6日D.3.0日答案C解析由题意可知蒲的长度是首项为3,公比为12的等比数列,莞的长度是首项为1,公比为2的等比数列,设n天后长度相等,由等比数列前n项和公式有:3(1-12n)1-12=1(1-2n)1-2,解得n=log26=lg2+lg3lg22.6.故选C.7.在数列an中,a1=1,an+1=2an,Sn为an的前n项和,若Sn+为等比数列,则=()A.-1B.1C.-2D.2答案B解析由题意an是等比数列,公比为2,Sn=2n-1,Sn+=2n-1+,Sn+为等比数列,则-1+=0,即=1,故选B.8.已知递减的等比数列an,各项均为正数,且满足a1+a2+a3=269,1a1+1a2+1a3=132,则数列an的公比q的值为()A.12B.13C.23D.34答案B解析因为数列是等比数列,故得到1a1+1a2+1a3=a2a3+a1a3+a1a2a1a2a3=a2a3+a2a2+a1a2a1a2a3=a3+a1+a2a1a3=132,化简得到a1a3=a22=49,a2=23.由a1+a2+a3=269=a2q+a2+a2qq+1q=103q=13.9.已知等比数列an的首项a1=2,前n项和为Sn,若S5+4S3=5S4,则数列2log2an+1log2an-6的最大项等于()A.-11B.-35C.193D.15答案D解析由已知得S5-S4=4(S4-S3)a5=4a4q=4,an=24n-1=22n-1,所以2log2an+1log2an-6=4n-12n-7,由函数y=4x-12x-7的图象得到,当n=4时,数列2log2an+1log2an-6的最大项等于15.故选D.10.如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为22,则其最小正方形的边长为.答案132解析由题意,正方形的边长构成以22为首项,以22为公比的等比数列,现已知共得到1023个正方形,则有1+2+2n-1=1023,则n=10,故最小正方形的边长为22229=132.命题角度4等差、等比数列性质的应用高考真题体验对方向1.(2016全国15)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.答案64解析由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得a1+a3q(a1+a3)=105,解得q=12,a1=8,所以a1a2an=8n121+2+(n-1)=2-12n2+7n2,抛物线f(n)=-12n2+72n的对称轴为n=-722-12=3.5,又nN*,所以当n=3或4时,a1a2an取最大值为2-1232+732=26=64.2.(2015广东10)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.答案10解析根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10.典题演练提能刷高分1.在等差数列an中,前n项和Sn满足S7-S2=45,则a5=()A.7B.9C.14D.18答案B解析S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9,故选B.2.(2019东北三省三校高三第三次模拟)等比数列an的各项均为正数,a1=1,a1+a2+a3=7,则a3+a4+a5=()A.14B.21C.28D.63答案C解析设等比数列的公比为q.a1=1,a1+a2+a3=7,a1(1+q+q2)=1+q+q2=7,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.又an0,q=2.a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=47=28.故选C.3.已知等比数列an中,a5=2,a6a8=8,则a2018-a2016a2014-a2012=()A.2B.4C.6D.8答案A解析数列an是等比数列,a6a8=a72=8,a7=22(与a5同号),q2=a7a5=2,从而a2018-a2016a2014-a2012=q4=(2)2=2.故选A.4.(2019吉林长春高三质量监测四)设Sn是各项均不为0的等差数列an的前n项和,且S13=13S7,则a7a4等于()A.1B.3C.7D.13答案C解析因为Sn是各项均不为0的等差数列an的前n项和,且S13=13S7,所以13(a1+a13)2=137(a1+a7)2,即a7=7a4,所以a7a4=7.故选C.5.(2019四川绵阳高三下学期第三次诊断性考试)已知an是正项等比数列,且a1a8=4a5,a4与2a6的等差中项为18,则a5=()A.2B.4C.8D.16答案C解析设正项等比数列an的公比为q,且q0,a1a8=4a5,a4与2a6的等差中项为18,a12q7=4a1q4,a4+2a6=36,即a12q7=4a1q4,a1(q3+2q5)=36,解得a1=12,q=2,则a5=a1q4=8.故选C.6.已知等比数列an中,a2a5a8=-8,S3=a2+3a1,则a1=()A.12B.-12C.-29D.-19答案B解析因为a2a5a8=-8,所以a53=-8,a5=-2,因为S3=a2+3a1,所以a1+a2+a3=a2+3a1,所以a3=2a1,所以q2=2,因此a5=a1q4=-2,a1=-222=-12.故选B.7.(2019福建厦门外国语学校高三最后一模)已知公差d0的等差数列an满足a1=1,且a2,a4-2,a6成等比数列,若正整数m,n满足m-n=10,则am-an=()A.30B.20C.10D.5或40答案A解析设等差数列的公差