长春市普通高中2016届高三质量监测(三)数学理科.doc

长春市普通高中2016届高三质量监测（三）数学理科（试卷类型A）第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1. 设集合，则A. B. C. D. 2. 复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，则 A. B. C. D. 3. 已知向量，则A.B. C. D. 4. 已知函数，则A. B. C. D. 5. 已知实数，且，则的概率为A. B. C. D. 6. 已知，为第一象限角，则A. B. C. D. 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. D. 8. 将函数的图象向右平移个单位后的图象关于对称，则函数在上的最小值为A. B. C. D. 9. 按右图所示的程序框图，若输入，则输出的把的右数第位数字赋给是否开始输入输出结束A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，若圆和双曲线的一个交点为, 满足，则双曲线的离心率是A. B. C. D. 11. 在中，是中点，已知,则的形状为A.等腰三角形B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形12. 定义在上的偶函数，满足，当时，总有 ，则的解集为 A. B. C.D. 第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 已知实数满足，则的最大值为_.14.设函数的图象与轴的交点为，则曲线在点处的切线方程为_.15. 在椭圆上有两个动点，点，满足，则的最大值为_.16. 如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥内接于半径为的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）已知数列满足，.（1）求证：数列为等比数列；（2）令，求数列的前项和为.18. （本小题满分12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：）：男生成绩不低于的定义为“合格”，成绩低于的定义为“不合格”；女生成绩不低于的定义为“合格”，成绩低于的定义为“不合格”. (1)求女生立定跳远成绩的中位数； (2)若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取个人，求抽取成绩“合格”的男生人数；（3）若从全班成绩“合格”的学生中抽取人参加选拔测试，用表示其中男生的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.19. （本小题满分12分）已知等腰梯形如图所示，其中，分别为和的中点，且，为中点，现将梯形按所在直线折起，使平面平面，如图所示，是线段上一动点，且.（1）当时，求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.20. （本小题满分12分） 动点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，设. (1)求点的轨迹的方程;(2) 设点,过点的直线交轨迹于（不同于点）两点，设直线的斜率分别为，求的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数.（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）若，证明： ，总有.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.已知四边形为圆的内接四边形，且，其对角线与相交于点，过点作圆的切线交的延长线于点.（1）求证：；(2) 若，求证：.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上.（1）若直线与曲线交于,两点，求的值；（2）若曲线的内接矩形的周长的最大值.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.已知使不等式成立.(1)求满足条件的实数的集合；(2) 若，对，不等式恒成立，求的最小值.长春市普通高中2016届高三质量监测（三）数学(理科)参考答案及评分参考一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. B2. C3. B 4. B5. B6. C7. A8. D9. A 10. B 11. D12. B简答与提示：1. B【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题. 【试题解析】B 由题意可知，所以. 故选B.2. C【命题意图】本题考查复数的乘法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】C复数，所以. 故选C.3. B【命题意图】本题主要考查平面向量的运算性质. 【试题解析】B由得，故选B.4. B【命题意图】本题考查分段函数及指数、对数运算，是一道基础题. 【试题解析】B. 故选B.5. B【命题意图】本题考查古典概型，属于基础题. 【试题解析】B 由题意，的所有可能为共6种，其中满足的有4种，故概率为. 故选B.6. C【命题意图】本题考查三角函数定义及恒等变换. 【试题解析】C由三角函数定义，故. 故选C.7. A【命题意图】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力，属于基础题.【试题解析】A该几何体可以看成由两个四棱锥组成，每个四棱锥的底面面积为9，高为3，故其体积为9，所以整个几何体体积为18. 故选A.8. D【命题意图】本题主要考查三角函数的图象及性质，是一道基础题. 【试题解析】D由题可知，从而，则该函数在的最小值为. 故选D.9. A【命题意图】本题考查程序框图及进位制，属基础题.【试题解析】A经计算得. 故选A.10. B【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质与圆切线的性质，是一道中档题.【试题解析】B 由题可知，由，有，整理得，所以离心率. 故选B.11. D【命题意图】本题主要考查解三角形正弦定理的应用，是一道中档题. 【试题解析】D 如图，由题可知，在中，在中，所以，即，所以或，则此三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选D. 12. B【命题意图】本题考查函数导数运算、导数与单调性关系、奇偶性等综合应用，是一道较难题. 【试题解析】B 由题可知当时，从而，有函数在上单调递增，由函数为偶函数，所以其在上单调递减，由于时，所以等价于，由，故的解集为或. 故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 414. 15. 6416. 简答与提示：13. 4【命题意图】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题. 从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查. 【试题解析】令，根据可行域及的几何意义，可确定最优解为，从而的最大值为4. 14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义，是一道中档题. 【试题解析】由题意，从而曲线在点处的切线方程为.15. 64【命题意图】本题考查椭圆的简单几何性质和平面向量的基本运算，考查数形结合思想，是一道中档题. 【试题解析】由题意，由，有，从椭圆的简单几何性质可得，当点为时最大，故的最大值为64.16. 【命题意图】本题涉及球内接四棱锥体积运算，需要借助导数进行运算求解，是一道较难题. 【试题解析】由球的几何性质可设四棱锥高为，从而，有，可知当时，体积最大. 三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查数列递推关系、等比数列、等差数列前项和，对考生的化归与转化能力有较高要求. 【试题解析】解：(1) 证明：由知，由，则数列是以为首项，为公比的等比数列.(6分)(2) 由(1)知，设的前项和为，当时，当时，综上得. (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，包括茎叶图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 本题主要考查学生对数据处理的能力.【试题解析】(1) 女生立定跳远成绩的中位数cm（3分）(2) 男生中成绩“合格”和“不合格”人数比为，用分层抽样的方法抽取6个人，则抽取成绩“合格”人数为4人；（6分）(3) 依题意，的取值为0，1，2，则，因此，的分布列如下：P（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解：(1) 过点作于点，过点作于点，连接. 由题意，平面平面，所以平面 且，因为，所以平面，所以，由，所以平面，又，所以，即，则，由平面，平面，所以平面（6分）(2) 以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系. 由题意，平面的法向量为平面的法向量，即，在平面中，即则，所以二面角的余弦值为. (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解：(1) 设，有，将代入，得，从而点的轨迹的方程为. （4分）(2) 设，联立 ，得，则，因为，所以因为不同于点，所以，则故的取值范围是. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值等情况. 对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解(1) 由题意得，若函数存在单调减区间，则即存在取值区间，即存在取值区间，所以. (6分)(2) 当时，由有，从而，要证原不等式成立，只要证对恒成立，首先令，由，可知，当时单调递增，当时单调递减，所以，有构造函数，因为，可见，在时，即在上是减函数， 在时，即在上是增函数，所以,在上，所以.所以，等号成立当且仅当时，综上，由于取等条件不同，故，所以原不等式成立. (12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到切割线定理以及三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解(1) 由可知，在中，则，因此；(5分)(2) 由可知，又由(1)可知，则，由题意，可得，则，又，即，又为圆的切线，则，因此，即. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解(1) 已知曲线的标准方程为，则其左焦点为，则，将直线的参数方程与曲线的方程联立，得，则. (5分)(2) 由曲线的方程为，可