3[1].3泰勒公式

二 几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一 泰勒公式的建立 三 泰勒公式的应用 目的 用多项式近似表示函数 泰勒公式 第三章 一 问题的提出 matlab 问题 不足 1 精确度不高 2 误差不能估计 分析 2 若有相同的切线 3 若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1 若在点相交 三 泰勒 Taylor 中值定理 证明 拉格朗日形式的余项 佩亚诺形式的余项 麦克劳林 Maclaurin 公式 泰勒 1685 1731 英国数学家 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 重要著作有 正的和反的增量方法 1715 线性透视论 1719 他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式 他是有限差分理论的奠基人 麦克劳林 1698 1746 英国数学家 著作有 流数论 1742 有机几何学 1720 代数论 1742 在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的 麦克劳林级数 符号逻辑的先驱和公理化方法的推行人 撰写 数学百科全书 国际语的创立者 佩亚诺 1858 1932 意大利数学家 重要著作有 几何原理的逻辑表述 1898 创建了 数学杂志 1891 无穷小分析教程 1893 解 代入公式 得 例1求的n阶麦克劳林公式 常用函数的麦克劳林公式 回忆 欧拉公式 1 在近似计算中的应用 误差 M为 在包含0 x的某区间上的上界 需解问题的类型 1 已知x和误差限 要求确定项数n 2 已知项数n和x 计算近似值并估计误差 3 已知项数n和误差限 确定公式中x的适用范围 四 泰勒公式的应用 例2 计算无理数e的近似值 使误差不超过 解 已知 令x 1 得 由于 欲使 由计算可知当n 9时上式成立 因此 的麦克劳林公式为 说明 注意舍入误差对计算结果的影响 本例 若每项四舍五入到小数点后6位 则 各项舍入误差之和不超过 总误差限为 这时得到的近似值不能保证误差不超过 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 例3 用近似公式 计算cosx的近似值 使其精确到0 005 试确定x的适用范围 解 近似公式的误差 令 解得 即当 时 由给定的近似公式计算的结果 能准确到0 005 2 利用泰勒公式求极限 例4 求 解 由于 用洛必达法则不方便 3 利用泰勒公式证明不等式 例5 证明 证 2020 4 15 43 4 利用泰勒公式建立一维波动方程 均匀柔软的细弦 在平衡位置附近产生振幅极小的横振动 确定弦的运动方程 2 被研究的物理量遵循哪些物理定理 牛顿第二定律 3 按物理定律写出数学物理方程 即建立泛定方程 1 要研究的物理量是什么 弦沿垂直方向的位移 一根柔软均匀张紧的细弦 求它在平衡位置附近作微小的横向振动的规律 假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置 求弦的振动规律 弦的特点 匀 细 软 紧的一根弹性细线 振动特性 微小的 横向振动 振动的幅度很小 弦在任意位置处切线的倾斜角很小 考虑一根拉紧的长为的弦 线密度为 以弦的平衡位置所在直线为轴 并以弦的左端点为坐标原点 求它在平衡位置附近作微小的横向振动的规律 遵循牛顿第二定律 作用在物体上的力 该物体的质量 该物体的加速度 取弦的平衡位置为轴 运动平面为 在时刻 弦在点的位移为 上图中的放大图示 由微小振动的假设知倾斜角很小 从而 1 弧段在振动过程中长度近似不变 由牛顿第二定律有 横向 纵向 其中 两端除以dx 令 一维波动方程 令 非齐次方程 自由项 齐次方程 忽略重力作用 注意 物理问题涉及的因素较多 往往还需要引入适当假设才能使方程简化 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律 所以考察点不能取在端点上 但可以取除端点之外的任何位置作为考察点 内容小结 1 泰勒公式 其中余项 当 时为麦克劳林公式 2 常用函数的麦克劳林公式 P142 P144 3 泰勒公式的应用 1 近似计算 3 其他应用 求极限 证明不等式