初中数学学法指导

初中数学学法指导文档由出行旅游海陆空一体化搜索引擎达达搜 分享去哪儿？上达达搜！达达搜，一键搞定，出行无忧！人类最早是利用数字进行交流的学习数学可以提高你的合情推理和演绎推理能力，可以帮助你去认识、鉴别、优化、创造事物用合情推理可以猜测规律的存在，同时用演绎推理可以证明规律的正确性“牛顿定律”不就是牛顿按照这种研究方法发现的吗？试想世界还有哪一项发明能离开这种研究方法？数学是学习自然科学的工具，是认识未知世界的探测器大脑需要数学去营养，美好生活需要数学去设计学好数学可以使你的理想插上翅膀，使你的理想成为现实在你刚刚学步的时候，家长就教你识数算数，现在学的是基本的数学，将来需要学习高深的数学并运用数学知识解决生活中的实际问题举个简单例子：你现在所能计算面积的图形都是一些理想图形，你会求更多的用曲线围成的封闭图形的面积吗？会推导球体的体积公式吗？会求椭圆形储水罐的体积吗？等等，这些你可能都不会，等你上了大学，运用极限、微积分的知识就可以解决了需要、情感是最强的内驱力，你没有任何理由也绝对不应该不重视数学，不去努力学好数学，以至将来用好数学同学们，学好数学需要勇气和智慧，更需要耕耘和方法下面围绕学习习惯、预习教材、相关内容、数学思想、常见题型、预防错误、答卷策略等方面，利用例举的方式，介绍一些方法，以期能为同学们的数学学习提供章法，灌注内力同学们，光阴似白驹过隙，稍纵即逝，赶快行动起来吧！只要肯付出，只要肯用“法”，就一定会有收获的如何养成良好的数学学习习惯“习惯是所有伟人的奴仆，也是所有失败者的帮凶伟人之所以伟大，得益于习惯的鼎力相助，失败者之所以失败，习惯的罪责同样不可推卸”由此可知，良好的数学学习习惯是提高数学成绩的制胜法宝良好的数学学习习惯有哪些呢？初中数学应该从课堂学习、课外作业和测试检查等方面养成良好的学习习惯一、课堂学习的习惯课堂学习是学习活动的主要阵地课堂学习习惯主要表现为：会笔记、会比较、会质疑、会分析、会合作1会笔记 上课做笔记并不是简单地将老师的板书进行抄写，而是将学到的知识点、一些类型题的解题一般规律和技巧、常见的错误等进行整理做笔记实际是对数学内容的浓缩提炼要经常翻阅笔记，加强理解，巩固记忆另外，做笔记还能使你的注意力集中，学习效率更高2会比较 在学习基础知识（如概念、定义、法则、定理等）时，要运用对比、类比、举反例等思维方式，理解它们的内涵和外延，将类似的、易混淆的基础知识加以区分如找出“同类项”和“同类二次根式”，“正比例函数”和“一次函数”，“轴对称图形”和“中心对称图形”，“平方根”和“立方根”，“半径”和“直径”，等概念的异同点，达到合理运用的目的3会质疑 “学者要会疑”，要善于发现和寻找自己的思维误区，向老师或同学提问积极提问是课堂学习中获得知识的重要途径，同时也要敢于向老师同学的观点、做法质疑，锻炼自己的批判性思维学习中哪怕有一点点的问题，也要大胆提问，不能留下知识上的“死角”，否则问题就会积少成多，为后续学习设置障碍4会分析 一是要认真审题：先弄清楚题目给出的条件和要解答的问题，把一些已知条件填在图形上，并将一些关键词做好标记，达到显露已知条件，同时又挖掘隐含条件的目的如做几何体时，将已知的相等的角、线段、面积及已知的角、线段、位置关系等在图形中做好标记，避免忘记再如做应用题时，象“不超过”“不足”等字眼，就暗示着存在不等量关系只有弄清楚已知条件和所要解答的问题才能有目的、有方向地解题；二是要认真思索：依据题目中题设和结论，寻找它们的内在联系，由题设探求结论，即“由因求果”，或从结论入手，根据问题的条件找到解决问题的方法，即“由果索因”，或将两种方法结合起来，需找解题方法要注意“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”、“一法多题”等，拓展思路，训练自己的求异思维5会合作 英国著名剧作家萧伯纳曾经说过“你给我一个苹果，我给你一个苹果，我们每人只有一个苹果；你给我一个思想，我给你一个思想，我们每人就有两个思想了”，这足以说明合作、交流的学习方式的重要性我们主要的学习方式是自主学习，在独立思考的基础上，要适时地和同桌交流意见在小组学习期间，要积极发表自己的观点和见解，倾听他人的发言，并作出合理的评判，以锻炼自己的表达能力和鉴别能力二、课外作业的习惯课外作业是数学学习活动的一个组成部分，它包括：复习、作业等1复习 及时复习当天学过的数学知识，弄清新学的内容、重点内容及难于理解和掌握的内容首先凭大脑的追忆，想不起来再阅读课本及笔记在最短的时间内进行复习，对知识的理解和运用的效果才能最好，相隔时间长了去复习，其效果不明显，“学而时习之”就是这个道理同时，要坚持每天、每周、每单元、每学期进行复习，使复习层层递进、环环紧扣，这样才能在正确理解知识的基础上，熟练地运用知识2作业 会学习的同学都是当天作业当天完成，先复习，后做作业一定要独立完成，决不能依赖别人书写一定要整洁，逻辑一定要条理对作业要自我检查，及时改正存在的错误，三、测试、检查的习惯1认真总结 测试、检查前，可以借助于笔记，把某一阶段的知识加以系统化、深化，弥补知识的缺陷，进一步掌握所学知识 2认真反思测试、检查后，通过回顾反思，查清知识缺陷和薄弱环节，寻找失误的原因，改进学习方法，明确努力方向，使以后的测试、检查取得成功良好的学习习惯是提高我们学习成绩的决定因素，但必须持之以恒如何预习数学教材人的智力没有大的差别，掌握好的学习方法是提高数学能力的前提会预习数学教材就是一种好的学习方法如果做好课前预习教材，带着问题或兴趣进课堂，那么就会产生一种想学、想问、想练的良好心理和思维习惯，有利于集中精力应付新课的重点和弄不懂的难点可以按以下方法预习一、读由粗到精拿过教材后，先将预习内容浏览一遍，了解本节要学习什么内容，确定出预习的重点，然后根据重点内容再进行精读在预习过程中，对概念、定义、定理、公式等的理解是最重要的，它们是解决问题的关键因此在预习这部分内容时，重点不是放在对它们的记忆上，而是放在对它们的理解和推导上不仅要能用自己的语言叙述它们的内涵，也会进一步用符号语言、图形语言来表达它们的实质，更要结合已有的知识对它们进行证明，并达到会对公式进行适当的变形，也会判断定理的逆命题是否成立的目的二、写做好记录在预习过程中，同学往往有许多不明白的地方，可以在书上记录一些自己的看法及不明白的问题，以便上课时，通过老师的讲解、同伴们的合作，充分探究知识的内涵，从而加深自己对知识的理解，形成符合自己认知特点的知识结构三、练初步应用应用所学知识解决问题是数学学习的目的在预习过程中，要求在预习完知识点后，再预习例题，并将课本中配套的简单练习做一下在预习例题时，要做好如下思考：属于哪种类型题，涉及到哪些知识点？用到什么解题方法？每一步的依据是什么？有没有其它解题方法？等等课本例题的选取是极有代表性的题目，它的难度通常不太大，多是对所学新知识的简单利用，在理解概念、定义、定理及公式的基础上，完全有能力自己去解决为了巩固预习效果，需要做适量的练习，教材中的简单的、与例题相似的题目是我们自学时最好的练习四、思总结提升在预习过程中会产生各种各样的问题，会犯各式各样的错误，通过反思加深对存在问题的记忆，以便上课时在教师和同学的帮助下，有针对性地解决相关数学内容的学习方法一、数学概念、定义的学习方法学习数学概念、定义，贵在抓住本质，可从以下几个方面进行：（一）通过概念、定义的形式来理解 数学概念、定义是通过模式（或实例）、图形、计算等引入的加强对概念、定义形成的认识，可增强直观效果，有助于对概念、定义的正确理解1通过模式（或实例）引入 如初一代数式是这样引入的：象4+3（x-1）、x+x+(x+1)、a+b、ab、2（m+n）、 、a3等式子都是代数式；初二一次函数是这样引入的：若两个变量x、y之间的关系式可以表示成y=kx+b（k、b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数；初三分式是这样引入的：整式A除以整式B，可以写成（B0）的形式，如果除式B中含有分母，那么称为分式，等等我们在学习事件、全等图形、方程（组）、 不等式（组）、函数时都是采用通过模式（或实例）来引入的2通过图形引入 如初一学习的三角形是通过生活中的屋顶的实物图引入的；初一学习的同位角、内错角、同旁内角等都是通过图形引入的；初二以后学习的平行四边形、梯形的概念是通过四边形引入的，菱形、矩形的概念是通过平行四边形引入的，正方形的概念是通过矩形引入的，等等3通过计算引入 如初一的科学计数法，初二学习的平方根、立方根，初三学习的比例线段等都是通过计算引入的（二）将概念、定义进行解剖来理解 如对初三同类二次根式的理解：“几个二次根式化简成最简二次根式后”指的是同类二次根式首先必须是最简二次根式，“如果被开方数相同”指的是被开方数必须相同，从而具备了“最简二次根式”和“被开方数相同”这两个条件的根式才是同类二次根式（三）通过变式或举反例来理解 如初三反比例函数的定义形式是，这个式子可以等价变形为或；也可以举反例与定义比较，进一步清楚字母系数与自变量的区别（四）通过对比或类比来理解 如可以利用对比的方法，找出初一线段、射线、直线三个概念或全等三角形、相似三角形、位似三角形三个概念等的相同点和不同点，加深对它们的理解；再如学习分式的概念时，可以类比分数的概念，加深对分式分母不能为0的理解（五）通过举错例来理解 如提出初一“”，初三“不是分式”等，揭示有理数的实质，突显分式概念再如举初二“对角线互相垂直的四边形是菱形”来加深对菱形概念的理解（六）通过对知识系统化来理解 如学完整式、分式、根式后，要找出它们本质的不同；如学完四边形后，可以将几种特殊四边形归在一起去比较；学完函数、方程后，可以将几种不同函数、几种不同方程进行对比；学完对称图形后，可以将轴对称图形、中心对称图形做一比较，弄清它们的实质，等等二、公式（法则）、定理的学习方法学习公式（法则）、定理时，要找出它们的条件和结论（公式的左边可以看做条件，右边可以看做结论），要清楚它们的推导或证明过程，要达到会用的目的贵在学会“三用”：正用、逆用、变用如初一两数和的平方公式的推导是根据多项式的乘法得到的，两数差的平方公式的一种推导方法是将转化为，再利用两数和的平方公式进行运算要理解公式中a和b的含义，可以是具体的数字也可以是代数式按从左到右的顺序应用是正用，按从右到左的顺序应用是逆用；也可以变用,如两数和的平方公式可以变形为：, , 如初三梯形中位线定理的条件是“梯形中位线”，结论是“平行于两底，且等于两底和的一半”，结论既体现了位置关系也体现了数量关系梯形中位线定理的证明过程是运用转化思想将梯形转化为三角形或一个平行四边形及一个三角形，利用三角形中位线定理来证再如初二勾股定理，正用可以得到三边的数量关系，逆用可以判断一个三角形是不是直角三角形同学如能恰当地逆用或变用公式（法则），既可以使运算过程更加简捷，又可以锻炼逆向思维；如能清楚定理成立的条件，应用的范围，就可以正确地运用定理三、运用数学模型解决实际问题的学习方法了解何谓数学模型、数学建模，清楚应用数学模型解决实际问题的一般步骤所谓数学模型，是指通过抽象和模拟，利用数学语言（文字、符号、图形）和方法对所解决的实际问题进行的一种刻画常见的数学模型有：方程（组）、不等式（组）、函数、几何、概率等方程（组）刻画现实世界中的等量关系；不等式（组）刻画现实世界中的不等关系，如设计投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、商品销售、交通运输等；函数或代数式刻画变量之间的相互关系，涉及成本低、利润或产出最大、效益最好等实际问题；几何涉及图形面积的计算、合理下料、跑道的设计与计算、工程选点定位、优化设计等应用问题；概率涉及到提前预测相关事件发生的可能性大小等一般地，通过数学建模来解决实际问题的过程称为数学建模数学模型解决实际问题的一般步骤：（1）明确实际问题，并熟悉问题的背景；（2）构建数学模型；（3）求解数学问题，获得数学模型的解答；（4）回到实际问题，检验模型，解释结果下面根据相应模型举几个例子，并给出解答过程1方程（组）模型解题思路：合理设未知数，根据已知的或隐含的等量关系，列出含有未知数的等式，然后解方程（组），验证解的合理性如（初一）：在月历上用正方形圈出22个数的和是76，这4个数分别是几号？解：设最小的数为x，则其余3个数分别为x+1，x+7，x+8根据题意，得 x +x+1+x+7+x+8=76，4 x=60，x =15因此，这4天分别是15号，16号，22号，23号如（初二）某地区实施“退耕还林”工程退耕还林后林场与耕地共有168公顷，其中耕地面积仅占林场面积的20%退耕还林后林场和耕地的面积分别是多少？解：设退耕还林后林场的面积为公顷，则有方程组解略再如（初三）：今年1月1日起政府调整了汽油价格，每升汽油的价格下降了10%去年2月份李老师用了汽油1000元，而今年2月份李老师用了汽油450元已知李老师去年2月份用油量比今年2月份用油量多100升，求今年每升汽油多少元？解：设去年每升汽油元，根据题意，得解，得，=4.5答：今年每升汽油4.5元解这题关键是找出等量关系，对“下降了”要正确理解2不等式（组）模型解题思路：合理设未知数，根据已知的或隐含的不等关系，列出含有未知数的不等式（组），然后解不等式（组），最后验证解的合理性如（初二）：某单位决定购买8台空调，现有甲、乙两种空调供选择甲种空调每台0.8万元，乙种空调每台0.5万元，经过预算，本次购买空调所耗资金不能超过4.6万元（1）设购买甲种空调x台，请写出x应满足的不等式；（2）写出所有的购买方案？解：（1）；（2）解不等式，得因为x为整数，所以x=0，1，2第一种方案是卖0台甲空调，8台乙空调；第一种方案是卖1台甲空调，7台乙空调；第一种方案是卖2台甲空调，6台乙空调“不能超过”隐含着不等关系，这是选用不等式模型的主要依据3函数模型解题思路：根据实际问题或几何中的等量关系，求出函数的解析式如（初二）：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李票y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元（1）写出y与x之间的函数表达式；（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？解：（1）设y=k x+b, 根据题意，可得方程组解得k=，b=-5y=x-5（2）当x=30时y=0所以旅客最多可以携带30千克的行李4几何模型解题思路：将实际问题转化为几何图形，然后根据几何图形的性质去求解如（初一）：如图1，要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸AB什么地方开沟，才能使水沟的长度最短？本题可以归结为一个数学模型“在直线上找一点，使这点到直线外一定点的距离最短”BA（图2）BAC（图1）如（初二）：如图2，要在公路旁修建一个蔬菜收购站，由蔬菜基地A，B向收购站运送蔬菜，收购站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？这题可以归结为一个数学模型：“在直线上找一点，使这点到直线外两点的距离之和最小”5概率模型解题思路：必须找出等可能结果的总数和某一事件可能发生的结果数，然后根据公式求解 如（初二）：小孙设的微机密码由6位数字组成，每位上的数字都是09这十个数字中的一个小孙忘了密码，如果他任意拨一个密码，恰好打开微机的概率是 答案是四、统计与概率的学习方法概率与统计是新课程的重要学习内容，在生产与生活中有着广泛的应用，也是中考考察的一个重点1统计基本 （1）需要明确统计的对象是数据统计是一门与数据打交道的学问；（2）明确基本概念如总体、个体、样本、平均数、方差、标准差、众数、中位数、频数、频率等并掌握它们的意义和求法；（3）会绘制图表包括折线图、扇形图、条形图并懂得它们常见的错误及改正方法；（4）会对一组数据进行相关处理2统计应用 （1）估计总体样本估计总体是统计中最常用的一种思想我们所处理的数据基本上都是样本数据对于给出的一组数据，会运用我们所学基本知识进行处理处理的最终方向是根据我们要作出的总体评价的要求进行的比如人家要选择的是发挥稳定性的内容，你不能给人家作出频率分布图来；（2）统计评价统计评价是对一组数据进行处理后，作出的科学的评判对于统计评价的角度不同因而也产生了评价的不唯一性所以对于评价应该是开放的，但这种评价必须是从自身角度出发，从数据整理来看是正确的评价直接决定决策，决策是由评价而产生的有了相关的评价才有了相应的决策，这也是统计学产生的意义所在3统计考点 （1）图表信息类这种类型的题目主要是给出不完整的图表，根据已知补充完整，作出相关评价其中往往会涉及到中位数落在哪个小长方形中（中位数在条形统计图中的求法），还会涉及到中位数意义频率、频数、样本容量是这种题目涉及较多的知识对于评价，同样具有开放性，主要是从频率分布的意义上作出评价（2）对普察和抽样考察的区分作为考点这样的题目一般涉及到设计的问题如：对于一个考察项目，设立了考察方向，让你选择普察或是抽样的方式进行；再次让你在选择了其中一个方式后，制定考察方法和步骤抽样考察实质上是用样本估计总体（包括（1）中的图表也是一个样本）体现了一个从部分到整体的一个转化样体容量越大，越接近总体（包括频率、平均数、众数、中位数、方差）（3）给出两组数据，让你整理分析作出比较，然后对数据作出选择考察的主要方向是平均数、方差、中位数、众数及统计评价这里的评价仍是开放性如给出两组学生成绩，选择哪个学生参加竞赛可以从高分的角度（中位数或是优秀率），也可以从发挥稳定性等各个方面来选择（4）加权平均数的应用涉及到设计的问题这里面最主要的是一个权的分布，由于注重点不同，所以权的分布也不同，产生此类题目的开放性（5）统计图的误区和改正方法4频率和概率的关系 频率是用样本的形式对总体作出的一种估计，概率是总体的一个精确值（或者说是一个极限值）频率不一定等于概率，因为频率是一种实际抽样操作，带有一定的随机性但当样本容量无限接近总体时，频率也就无限接近概率了在统计中，需要细致地研究样本数据的数字特征，以便对总体做准确的估计由于样本选取的随机性，所以会带来样本数据的随机性，但为了研究它，就尽量的把它转化为确定的问题加以解决五、开放性应用题的学习方法清楚开放性应用题的几种题型，把握不同题型的思维方式开放性应用题的题型共有三种：条件开放题、方法开放题、结论开放题条件开放题 给出的条件不完备，而且符合问题要求的条件是不惟一的要解决这些问题，需要在使问题结论成立的众多条件之中，添加一个或几个条件解决这样的问题要从结论出发，需求使结论成立的条件ABCDE（图1）BACPD（图2）例如：如图1，点B在AE上，CBEDBE，要使ABCABD可补充的一个条件是再如，如图2，点P是RtABC的直角边AC上一点，点D是AB上一点过点P作直线截ABC，请你添加一个条件，使截得的三角形与ABC相似可以根据三角形全等及三角形相似的判断定理从边、角或边与角之间的关系添加方法开放题 解答方法不唯一要从不同角度分析，需求解决问题的办法，训练自己的求异思维例如：请你运用所学的知识，在下面提供的测量工具中选择合适的工具，设计一种测量学校旗杆高度的方法可供选择的测量工具有：DABC8cm6cm4cm测倾器米尺标杆平面镜这种方法开放的题目对培养同学们的创新思维与发散思维极有帮助，它考察我们同学综合应用知识的能力，我们可以根据所学的相似三角形的知识、解直角三角形的知识加以解决再如，如图所示，玻璃酒杯的轴截面是一段抛物线，求酒面的宽度DC本题采用不同的建系方式，得到的二次函数解析式不同结论开放题 由条件得到的结论不惟一或不确定这类题的解决思路是根据题目中给出的相关信息及要求，探索出相应的结论如写出一个代数式“3a”表示的实际意义：本题可以利用生活经验解答：“3千克单价为a元/千克的苹果的总价钱”；也可从所学的图形入手解答：“边长为a的等边三角形的周长” ；如用一种方法将两个全等的三角形拼成一个平行四边形本题有三种拼法；再如用一条直线将一个梯形分成面积相等的两部分本题有无数种分法六、运算题的学习方法造成运算能力差的主要原因一是对概念、公式、定理缺乏正确理解，弄不清蕴含的数学思想，机械地照搬公式；二是运算不明算理，缺乏方向性，不能合理选择简捷的方法；三是只重视解题思路，忽视了解题步骤的逻辑书写，对运算过程不进行回思以寻找失误的原因；四是对运算缺少足够的重视，过分依赖计算器，凡涉及数字之间的换算均不用脑算要提高运算能力要做好如下几点：（一）明确运算的内涵，把握运算的方向 运算既包括数字之间的换算、估算，也包括式子的变形，诸如探索规律、化简、解方程（组）、恒等变形、解不等式、求函数解析式等都属于运算的范畴运算是一种基本的能力，是智力因素，它与数学的其它能力互为依托，互为因果许多数学思想如化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等都能在运算中得到充分的体现（二）弄清运算如何学 找出各种运算蕴涵的数学思想，通性通法，技巧方法，易犯的错误及强化措施如学习“有理数混合运算”时，将“-”变成“+”、将“”变成“”等体现了数学的转化思想；根据“四则混合运算法则”从左往右依次运算是通性通法；根据运算率先恰当结合再进行运算是技巧方法；移项、去括号出现的符号问题或运算顺序颠倒等是我们易犯的错误；在解题过程中，说出每一步的依据，针对错误的解题过程，寻找错误的环节，针对常见的错误做一些相应的练习（三）养成作题好习惯 要仔细审题，寻找运算技巧，避免运算错误如有的同学计算时，利用两数差的完全平方公式，展开后再计算，既麻烦又容易出错，其原因是审题不认真，做题方向不明确一定要养成认真审题、先思后作的习惯；养成作题要规范解题步骤，作到步步有据，检查每步是否有误的习惯；养成解题后回思，善于总结运算方法的习惯涉及一题多解的运算题，要采取对比的方法七、复习的一般方法在复习时应做到“三抓”：一抓基础知识的复习 对课本中的知识点进行全面整理，进行系统的认识整理数学知识要串联知识编织网络，应从纵横两方面进行纵的方面，是按知识系统进行整理，使知识系统化，条理化如复习特殊四边形的性质时，可以从边、角、对角线、对称性等四方面进行总结，这样能做到不漏、不重，便于比较横的方面，是按专题进行整理，可以从解题思路、解题规律、解题技巧上进行总结如在复习平面图形的面积公式时，要将平行四边形、三角形、梯形、圆、扇形等联系起来，清楚它们的推导过程都是将未知图形通过割补变换成已知图形，然后计算它们的面积这样既加深了对转化数学思想的理解，又便于对公式的记忆二抓基础知识的深化 对课本知识的整理不能满足于会背、会证明，而应通过认真分析，掌握它们的本质，揭示联系如函数内容是初中乃至高中的重点学习内容，函数与方程、不等式有密切的联系以，为例说明三者之间的关系的解是当的函数值为0时，自变量x的取值，用函数图象去解释就是的图象与x轴的交点的横坐标； 的解是当的函数值大于0时，自变量x的取值范围，用函数图象去解释就是的图象在x轴上方哪部分射线所对应的x的取值范围要理清相近知识，易混知识，透彻理解知识，找出规律如学习了若干种特殊四边形后，必须清楚它们的定义是以哪种四边形为基础，从而进一步理解它们的性质定理和判断定理的异同点三抓基础知识的应用 在复习课本知识的同时，要认真研究例题和认真分析习题，学会对课本上的例题和做过的习题按知识和解题方法进行初步的归纳，找出一般规律数学思想及常见的解题方法一、数学思想数学思想与方法是数学学习的灵魂，假如数学思想是战略的话，数学方法就是具体的战术，数学方法是在数学思想的指导下采取的具体的解题办法如在“转化与化归”思想的指导下，采取加减消元法，将含有“两元”的方程组转化为含有“一元”的一元一次方程来解常见的有四大数学思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合1.函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程（组）来使问题获解函数与方程有密切的关系，如一元一次函数，就可以看作关于x、y的二元方程；二元方程可以看成y是x的一次函数可以说，函数的研究离不开方程列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想的体现 2.转化与化归 转化与化归是把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；消元法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了转化与化归思想如很多四边形的问题可以转化为三角形的问题来研究；研究两直线的位置关系可以转化为研究角的数量关系；如学完初一有理数的运算法则后，将几种运算法则综合起来去认识：减法、乘法是转化为加法来研究的，除法、乘方是转化为乘法来研究的再如求不规则图形的面积可以将其分割或将其补充，转化为规则图形来求，等等3.分类讨论 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： （1） 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的如|a|的定义分a0、a0、a0和a0，0，0，=0三种情况进行考虑（4）解某些条件开放题时，需要根据条件的几种可能情况进行分类如“过一个三角形一边上一点，做一条直线，将原三角形分为两部分，使截得的三角形与原三角形相似，共有几种办法”，这就需要就直线的位置进行分类，共有四种办法再如证明圆周角定理时，就圆心在圆周角的内部、外部、边上三种情况进行证明等进行分类讨论时，要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复 4.数形结合 初中数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如简单的几何图形、三角形、四边形、相似形、解直角三角形、圆等；一类是关于数形的结合，如数轴上的点和数之间的对应关系，再如锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的，等数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质，再如“已知线段AB=2cm，在直线AB上有一点C，且BC=6cm，则线段AC的长是 ”，解本题可以画出图形，找出点C的两种不同位置；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用函数解析式来精确地阐明函数图象的几何性质等，再如根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系或根据两圆的半径与圆心距之间的数量关系来判断两圆之间的位置关系等 二、常见的解题方法下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的一、客观题的解题方法选择题是给出条件和结论，根据一定的关系找出正确答案的一类题型填空题是未给出答案，需要根据已知条件，运用一定的推理来求得答案要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧下面结合实例介绍常用方法1直接法 直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论如一个蚂蚁（看成一个点）在数轴上距原点2个单位长度，且位于原点左侧若蚂蚁沿数轴向右移动3个单位，再向左移动4个单位，此时蚂蚁所表示的数是 解这道题必须画出图形，找出蚂蚁最后在数轴上的位置 再如某幢建筑物，从10米高的窗口用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离是（ ）A2米B3米 C4米D5米解这道题要从已知条件入手，画出图形，利用待定系数法求出抛物线的解析式，进一步求解2验证法（代入法） 由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，也可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案如若反比例函数y=（k为常数，k不为零）的图象经过点（3，4），则下列各点在该函数图象上的是（ ）A（6，8） B（-6，8） C（-3，4） D （-3，-4）解这道题就得将每个选择支中的横坐标代入函数关系式，求其对应的纵坐标的值，然后验证3特殊元素法 用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答如若， ，则下列不等式关系成立的是（ ）A B C DABOPCD要比较a，b，c的大小，可以转化为比较，的大小再如如图，AB是半圆O的直径，AB=4，点C，D是弧AB的两个四等分点，点P是AB上任意一点，则图中阴影部分的面积是 已知点P是AB上任意一点，当然也可以是特殊点即圆心O，这样就将不规则图形的面积等价地转化为规则图形的面积4排除、筛选法 根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而得出正确的结论如“嫦娥一号”卫星发射后首先被送入一个地球同步椭圆轨道，通过加速再进入一个更大的椭圆轨道，距离地面最远为12.8万公里，这个距离用科学计数法表示为（ ）A公里 B公里 C公里 D公里从四个选择支看，A，D显然不符合定义，从而在B，C中选一个即可二、综合题目的解题方法1配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和的形式，用的最多的是配成完全平方式配方法在因式分解、化简根式、解方程、证明等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用如若，则 解这题需通过配方，将变为，然后运用韦达定理求值2因式分解法 因式分解就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式因式分解在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用因式分解的方法有提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、拆项添项法等等 如在求分式的值时可以将分子分母分解因式，然后约分，达到化简的目的，再如十字相乘法在解一元二次方程时经常用到3换元法 换元法是用新的变元去代替原代数式的一部分或改造后的一部分，得到新的代数式，使问题简化体现了转化的数学思想如在解一元二次方程时，可设，则原方程就等价地变为，再解就容易了4判别式法 一元二次方程ax+bx+c=0(a0)根的判别式=b2-4ac，不仅用来判定根的性质、判断二次函数图象与x轴的位置关系，而且作为一种解题方法，在代数式变形、解方程(组)、解不等式（组）、研究函数等方面有广泛的应用如求函数的自变量x的取值范围二次函数的开口向上，0，无论x取何实数，的值均是正数，从而x的取值范围是全体实数5待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值，从而解答数学问题如求函数解析式时，经常用到这种方法6图解法 有些题目，可以用数形（或数表）结合的方法来解，通过对图形（或函数图象或表格）的观察、分析，然后作出正确的判断，叫做图解法如解方程组：可先把方程组中的每个方程化成一次函数的形式，在平面直角坐标系中，画出这两个一次函数的图象，其图象的交点坐标就是原方程组的解xyO2再如：一次函数（k、b为常数，k0）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 不等式的解集，就是一次函数的图象上位于x轴上方的射线上所对应的x的值7反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已知定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立这种方法称为反证法直接证明有困难时常用反证法反证法是一种常用的间接证明方法，其逻辑依据是排中律：两个互相矛盾的判断不能都是假的运用反证法的关键是找出所证明的结论的反面是什么用反证法证明的一般步骤是：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、公理、已知定理或已知条件相矛盾的结果；（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确如若， ，都是正数，且=1，则这四个数中至少有一个大于或等于利用反证法证明这一结论时，关键是要确定“这四个数中至少有一个大于或等于”的反面是什么一定要正确理解“至少有一个”“大于或等于”的反面的含义再如证明“圆的切线垂直于过切点的直径”时也可以用反证法8不完全归纳法 通过对特殊情形的观察、实验、猜想，从而归纳出一般的结论的方法叫做不完全归纳法不完全归纳法多用于探索规律题如将一张矩形纸片对折，可以得到1条折痕；对折2次（对折时折痕与上次的折痕保持平行），可以得到3条折痕；对折3次，可以得到7条折痕；对折4次，可以得到15条折痕；如果对折n次，可以得到多少条折痕？这题的数学模型是：已知1，3，7，15，求第n个数解题的关键是找出各项与对应的序号之间的关系再如计算：= ；= ；n个22n个1= ；猜想 = 解这道题用到的方法也是不完全归纳法9构造法 在解题时，会通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决如点E是ABC的边AC上一点，且AE=2EC，BE=8，ADBC于D，求AD的长解这题的关键是通过添加辅助线，构造EBC所在的直角三角形初中所学的三角函数都是在直角三角形中定义的，已知一个角的三角函数，一般是找出或者构造这个角所在的直角三角形10等积法 平面几何中讲的面积公式，不仅可用于计算面积，而且用它证明平面几何题面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过解方程达到求证的结果如在RtABC中，C=，AB=13，AC=12，BC=5，求AB边上的高AD的长这题的解法是：因为SABC=ABCD，又SABC=ACBC，所以 ABCD=ACBC，即13CD=125，得CD=不用添加辅助线做出高，利用等积法，列出等式，解方程即可窗体底端常见题型的特点、解题规律、受阻原因及破解方法题型名称特点解题规律受阻原因及破解方法选择题答案唯一直接法、排除法、验证法、特殊元素法原因：不会恰当选择方法 方法：认真审题，寻找简捷做法填空题答案唯一或不唯一直接法、特殊化法原因：凭想当然，忽视条件，计算马虎，表述不清 方法：要稳而准，不丢三拉四操作性围绕图形的割补、旋转、平移、折叠、对称等出题弄清运动过程，找出变化的原因，借助极限位置分析；掌握常见辅助线的添加方法；运用函数方程思想去分析原因：缺乏动态观念，不能将静态问题进行动态分析，找不到极限位置；不知道变量与不变量方法：记住常见辅助线的填加方法，多动手画，多借助实际模型演示阅读理解、学科渗透利用一定的形式或其它学科的知识创设问题情景，根据提供的信息作答认真审题，找出有价值信息，将信息合理迁移；抽出数学问题，建立数学模型原因：找不出有用信息，阅读能力差，不能抽象出数学问题，进行数学建模方法：进行限时阅读，训练捕捉信息的能力，找出其它学科与数学有关的知识实际应用以生活中的实际问题为模型，模型一般有函数、方程（组）、不等式（组）等巧设未知数（直接或间接），列出方程（组）或不等式（组）等，最后解答；根据提供的等量关系，列出函数关系式原因：读不懂题，找不出等量关系，不能恰当设未知数方法：用足够的时间专门训练建立数学模型解题中常见的错误及免错措施下面列举几处数学解题中常出现的错误，分析出错的原因，给出避免错误的措施一、对概念的内涵和外延把握不准有的同学对概念的理解仅仅停留在形式上，弄不清概念的实质，以致出现错误如在实数，中，分数有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个有些学生认为，带有分数线（形如“”）的实数一定是分数这是犯了形式错误我们知道，任何一个有理数都可以表示为分数，任何一个分数一定是有理数而，是无理数，所以属于分数的只有对于容易混淆的概念，应该采用对比的方法，弄清它们之间的区别和联系二、对有关性质、法则、公式理解不透在计算中出现“张冠李戴”“拉错抽屉”的现象经常发生如计算错误的解法是：其原因是忽略乘法对加法具有分配律而除法却不具有要减少此类问题的发生，在计算前看清数字、符号以及数字符号之间的关系，思考运算顺序怎样？符号如何确定？能否应用运算定律、性质等使运算简化？尽量作到做一步查一步，力争一遍正确无误再如化简错误的解法是=，计算过程出现了错误造成上述错误的原因，是忽视了积的算术平方根公式：（）成立的前提条件对于性质、法则、公式既要正确理解其内涵，又要注