初中数学竞赛专题辅导(一至三年级）.doc

（精）初中数学竞赛专题辅导(一至三年级共70讲) 初中数学复习资料 专 题 辅 导 70 讲 适合初中一至三年级 二一年元月由我爱我家整理 0 2 1 3 初中数学竞赛专题辅导 初中数学竟赛辅导资料 1 数的整除一 甲内容提要 如果整数A 除以整数B B 0 所得的商AB 是整数那么叫做A 被B 整 除 0 能被所有非零的整数整除 一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2 或5 末位数能被2 或5 整除 4 或25 末两位数能被4 或25 整除 8 或125 末三位数能被8 或125 整除 3 或9 各位上的数字和被3 或9 整除 如77154324 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被11 整除 11 如14318591287908270 等 71113 从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段的各数和相减 其差能被7 或11 或13 整除 如100122743 1756721281 等 能被7 整除的数的特征 抹去个位数 减去原个位数的2 倍 其差能被7 整除 如 1001 1002 98 能被7 整除 又如7007 700 14686 681256 能被7 整除 能被11 整除的数的特征 抹去个位数 减去原个位数 其差能被 11 整除 如 1001 100199 能11 整除 又如10285 102851023 1023 99 能11 整除 乙例题 例1 已知两个三位数 和 的和仍是三位数 且能被9 整除 328 2 9x 5 7y 求xy 解xy 都是0 到9 的整数 能被9 整除y 6 5 7y 328 567x 3 2 9x 例2 己知五位数1234x 能被12 整除 求X 解五位数能被12 整除必然同时能被3 和4 整除 当12 34 X 能被3 整除时x 2 58 勤勉 笃信 精益求精 1 数学是一门很有趣的学科 初中数学竞赛专题辅导 当末两位 能被4 整除时X 048 4X X 8 例3 求能被11 整除且各位字都不相同的最小五位数 解五位数字都不相同的最小五位数是10234 但12 4 0 3 4不能被11 整除只调整末位数仍不行 调整末两位数为30415263均可 五位数字都不相同的最小五位数是10263 丙练习 1 分解质因数写成质因数为底的幂的连乘积 593 1859 1287 3276 10101 10296 2 若四位数987a 能被3 整除那么 a _ 3 若五位数 能被11 整除那么 X _- 12 34X 4 当 m _ 时 能被25 整除 35 5 m 5 当 n _ 时9610n 能被7 整除 6 能被11 整除的最小五位数是_最大五位数是_ 7 能被4 整除的最大四位数是_ 能被8 整除的最小四位 数是_ 8 8 个数12575610112457 785581049152 70972 中能被下列各数整除的有填上编号 6_8_9_11_ 9 从1 到100 这100 个自然数中能同时被2 和3 整除的共_个 能被3 整除但不是5 的倍数的共_个 10 由12345 这五个自然数任意调换位置而组成的五位数中 不能被3 整除的数共有几个为什么 11 己知五位数 能被15 整除试求A 的值 1234A 12 求能被9 整除且各位数字都不相同的最小五位数 13 在十进制中各位数码是0 或1并能被225 整除的最小正整数是 1989 年全国初中联赛题 勤勉 笃信 精益求精 2 数学是一门很有趣的学科 初中数学竞赛专题辅导 初中数学竞赛辅导资料2 倍数 约数 甲内容提要 1 两个整数A 和B B 0 如果B 能整除A 记作B A 那 么A 叫做B 的倍数B 叫做A 的约数例如3 1515 是3 的倍数3 是15 的 约数 2 因为0 除以非0 的任何数都得0所以0 被非0 整数整除0 是任何 非0 整数的倍数非0 整数都是0 的约数如0 是7 的倍数7 是0 的约数 3 整数A A 0 的倍数有无数多个并且以互为相反数成对出现0 A 2A都是A 的倍数例如5 的倍数有510 4 整数A A 0 的约数是有限个的并且也是以互为相反数成对出现 的其中必包括1 和A 例如6 的约数是12 36 5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数几正整数有最小的公 倍数和最犬的公约数 6 公约数只有1 的两个正整数叫做互质数例如15 与28 互质 7 在有余数的除法中 被除数除数商数余数 若用字母表示可记作 A BQ R 当A B QR 都是整数且B 0 时A R 能被B 整除 例如23 3 72 则23 2 能被3 整除 乙例题 例1 写出下列各正整数的正约数并统计其个数从中总结出规律加以 应用2 22 3 4 2 3 4 2 2 2 2 2 33 3 3 2 32 32 3 解列表如下 正 个 正 个 正 个 整 正约数 数 整 正约数 数 整 正约数 数 数 计 数 计 数 计 12 13 12 4 2 2 3 2 2 3 36 12 4 2 12 3 6 2 2 133 2 2 3 3 3 2 3 4 612 12 13 12 3 9 23 4 33 2 3 4 2 2 4 8 3 3 2 3 4 69 121836 2 12 4 133 4 4 2 816 5 3 3 4 5 3 3 m n 其规律是设A a b ab 是质数mn 是正整数 那么合数A 的正约数的个是m1 n1 勤勉 笃信 精益求精 3 数学是一门很有趣的学科 初中数学竞赛专题辅导 例如求360 的正约数的个数 解分解质因数360 23 2 3 5 360 的正约数的个数是3 12 11124 个 例2 用分解质因数的方法求2490 最大公约数和最小公倍数 解24 23 2 390 2 3 5 最大公约数是2 3 记作24 90 6 最小公倍数是23 2 3 5360 记作2490 360 例3 己知3244 除以正整数N 有相同的余数2 求N 解32 2 44 2 都能被N 整除N 是3042 的公约数 3042 6而6 的正约数有12 36 经检验1 和2 不合题意N 63 例4 一个数被10 余9被9 除余8被8 除余7求适合条件的最小正整数 分析依题意如果所求的数加上 1则能同时被1098 整除所以所求的 数是1098 的最小公倍数减去1 解 1098 360 所以所求的数是359 丙练习2 1 12 的正约数有_16 的所有约数是_ 2 分解质因数300 _300 的正约数的个数是_ 3 用分解质因数的方法求20 和250 的最大公约数与最小公倍数 4 一个三位数能被7911 整除这个三位数是_ 5 能同时被3511 整除的最小四位数是_最大三位数是_ 6 己知14 和23 各除以正整数A 有相同的余数2 则A _ 7 写出能被2 整除且有约数5又是3 的倍数的所有两位数答_ 8 一个长方形的房间长135 丈宽105 丈要用同一规格的正方形瓷砖铺 满问正方形最大边长可以是几寸若用整数寸作国边长有哪几种 规格的正方形瓷砖适合 9 一条长阶梯如果每步跨2 阶那么最后剩1 阶如果每步跨3 阶 那么最后剩2 阶如果每步跨4 阶那么最后剩3 阶如果每步跨5 阶那么最后剩4 阶如果每步跨6 阶那么最后剩5 阶只有每步 跨7 阶才能正好走完不剩一阶这阶梯最少有几阶 勤勉 笃信 精益求精 4 数学是一门很有趣的学科 初中数学竞赛专题辅导 初中数学竞赛辅导资料3 质数 合数 甲内容提要 1 正整数的一种分类 质数的定义如果一个大于1 的正整数只能被1 和它本身整 除那么这个正整数叫做质数质数也称素数 合数的定义一个正整数除了能被1 和本身整除外还能被其他的正整数 整除这样的正整数叫做合数 2 根椐质数定义可知 质数只有1 和本身两个正约数 质数中只有一个偶数2 如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2 3 任何合数都可以分解为几个质数的积能写成几个质数的积的正整数就是 合数 乙例题 例1 两个质数的和等于奇数a a 5 求这两个数 解两个质数的和等于奇数 必有一个是2 所求的两个质数是2 和a2 例2 己知两个整数的积等于质数m 求这两个数 解质数m 只含两个正约数1 和m 又1m m 所求的两个整数是1 和m 或者1 和m 例3 己知三个质数abc 它们的积等于30 求适合条件的abc 的值 解分解质因数30 2 3 5 a 2 a 2 a 3 a 3 a 5 a 5 适合条件的值共有 b 3 b 5 b 2 b 5 b 2 b 3 c 5 c 3 c 5 c 2 c 3 c 2 应注意上述六组值的书写排列顺序本题如果改为4 个质数 abcd 它们 的积等于210即abcd 2 3 5 7 那么适合条件的ab cd 值共有24 组 试把它写出来 例4 试写出4 个连续正整数使它们个个都是合数 解本题答案不是唯一的 设N 是不大于5 的所有质数的积即N 2 3 5 那么N 2N 3N 4 N 5 就是适合条件的四个合数 即32333435 就是所求的一组数 勤勉 笃信 精益求精 5 数学是一门很有趣的学科 初中数学竞赛专题辅导 本题可推广到n 个令N 等于不大于n1 的所有质数的积那么N 2 N 3N 4 N n1 就是所求的合数 丙练习3 1小于100 的质数共_个它们是_ 2 己知质数P 与奇数Q 的和是11则P Q 3己知两个素数的差是41那么它们分别是 4 如果两个自然数的积等于19那么这两个数是 如果两个整数的积等于73那么它们是 如果两个质数的积等于15则它们是 5 两个质数x 和y己知 xy 91那么x _y _或x _y _ 6 三个质数abc 它们的积等于1990 a 那么 b c 7 能整除311513 的最小质数是 8己知两个质数A 和B 适合等式A B 99AB M A B 求M 及 的值 B A 9试写出6 个连续正整数使它们个个都是合数 10具备什么条件的最简正分数可化为有限小数 11求适合下列三个条件的最小整数 大于1 没有小于 10 的质因数 不是质数 12某质数加上6 或减去6 都仍是质数且这三个质数均在30 到50 之间 那么这个质数是 13一个质数加上10 或减去14 都仍是质数这个质数是 勤勉 笃信 精益求精 6 数学是一门很有趣的学科 初中数学竞赛专题辅导 初中数学竞赛辅导资料4 零的特性 甲内容提要 一零既不是正数也不是负数是介于正数和负数之间的唯一中性数 零是自然数是整数是偶数 1零是表示具有相反意义的量的基准数 例如海拔0 米的地方表示它与基准的海平面一样高 收支衡可记作结存0 元 2 零是判定正负数的界限 若a 0 则a 是正数反过来也成立若a 是正数则 a 0 记作 a 0 a 是正数 读作a 0 等价于a 是正数 b 0 b 是负数 c 0 c 是非负数即c 不是负数而是正数或0 d 0 d 是非正数 即d 不是正数而是负数或0 e 0 e 不是0 即e 不是0而是负数或正数 3在一切非负数中有一个最小值是0 例如 绝对值平方数都是非负数它们的最小值都是0 记作a0当a 0 时a 的值最小是0 2 2 a 0a 有最小值0 当a 0 时 4 在一切非正数中有一个最大值是 0 例如 X0当X 0 时X值最大是0X 0 时都是负数 2 2 X 2 0当X 2 时X 2 的值最大是0 二零具有独特的运算性质 1乘方零的正整数次幂都是零 2 除法零除以任何不等于零的数都得零 零不能作除数从而推出0 没有倒数分数的分母不能是0 3乘法零乘以任何数都得零 即a 0 0 反过来 如果 ab 0那么ab 中至少有一个是0 要使等式xy 0 成立必须且只需x 0 或y 0 4 加法 互为相反数的两个数相加得零反过来也成立 即ab 互为相反数ab 0 5减法 两个数a 和b 的大小关系可以用它们的差的正负来判定 若a-b 0则a b 若a-b 0则a b 若a-b0则ab 反过来也成立当 a b 时a-b 0 当a b 时a-b 0当a b 时a-b 0 三在近似数中当0 作为有效数字时它表示不同的精确度 例如 近似数 16 米与160 米不同前者表示精确到01 米即 1 分米 误差不超过 5 厘米 后者表示精确到001 米即 1 厘米误差不超过5 毫米可用不等式表示其值范围如下 155 近似数16 165 1595近似数160 1605 勤勉 笃信 精益求精 7 数学是一门很有趣的学科 初中数学竞赛专题辅导 乙例题 例1两个数相除什么情况下商是1是1 答两个数相等且不是0 时相除商是1两数互为相反数且不是0 时 相除商是1 例2 绝对值小于3 的数有几个它们的和是多少为什么 答绝对值小于3 的数有无数多个它们的和是0 因为绝对值小于3 的 数包括大于3 并且小于3 的所有数它们都以互为相反数成对出现而互 为相反数的两个数相加得零 例3 要使下列等式成立X Y 应取什么值为什么 2 X Y 10 X 3 Y 2 0 答根据任何数乘以0 都得0可知当X 0 时Y 可取任何数 当Y 1 时X 取任何数等式X Y 10 都是能成立 2 互为相反数相加得零而X 3 0Y 2 0 它们都必须是0即X 3 0 且Y 2 0 2 故当X 3 且Y 2 时等式X Y 2 0 成立 丙练习4 1有理数a 和b 的大小如数轴所示 b 0 a 比较下列左边各数与0 的大小用号连接 1 2 2a 0 3b 0 0 0 a b 2 3 a 0 b 0 ab 0 a b 0 3 a a ab 0 2b 0 0 0 b b 2 a 表示有理数下列四个式子正确个数是几个答个 a a a2 2 a a a a1 a 3 x 表示一切有理数下面四句话中正确的共几句答句 2 x 2 有最小值0 x3有最大值0 2 x2 有最大值2 3x 1 有最小3 4 绝对值小于5 的有理数有几个它们的积等于多少为什么 5要使下列等式成立字母X Y 应取什么值 0 2 0 X X 3 0 X 1 Y 3 0 X 6下列说法正确吗为什么 3 a 的倒数是1 a 方程a1X 3 的解是X a 1 n 表示一切自然数2n 1 表示所有的正奇数 2 2 如果a b 那么m a m b a b m 都是有理数 7X 取什么值时下列代数式的值是正数 X X 1 X X 1X 2 勤勉 笃信 精益求精 8 数学是一门很有趣的学科 初中数学竞赛专题辅导 初中数学竞赛辅导资料5 an 的个位数 甲内容提要 n 1 整数a 的正整数次幂a 它的个位数字与a 的末位数的n 次幂的个位数字 相同例如20023 与23 的个位数字都是8 2 0 156的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身例如57 的个 位数是5620 的个位数是6 3 2 37 的正整数次幂的个位数字的规律见下表 指 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 底 2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 数 7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 其规律是2 的正整数次幂的个位数是按2 486 四个数字循环出现 即24k1 1 4K2 2 4K3 3 4K4 4 与2 2 与2 2 与2 2 与2 的个位数是相同的K 是 正整数 3 和7 也有类似的性质 4 489 的正整数次幂的个位数可仿照上述方法也可以用4 22 3 2 82 9 3 转化为以2 3 为底的幂 5 综上所述整数a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律 4Km m a 与a 的个位数相同 km 都是正整数 乙例题 例1 20032003 的个位数是多少 解20032003 与32003 的个位数是相同的 2003 4 5003 32003 与33 的个位数是相同的都是7 2003 的个位数是7 例2 试说明632000 2002 147 的和能被10 整除的理由 解2000 4 5002002 4 5002 632000 4 2002 2 与3 的个位数相同都是1147 与7 的个位数相同都是9 632000 2002 147 的和个位数是0 632000 2002 147 的和能被10 整除 例3 K 取什么正整数值时3k 2k 是5 的倍数 例4 解列表观察个位数的规律 K 1 2 3 4 3 的个位数 3 9 7 1 2 的个位数 2 4 8 6 k k 5 5 3 2 的个位数 k k 从表中可知当K 13 时3 2 的个位数是5 am 与a4nm 的个位数相同mn 都是正整数a 是整数 当K 为任何奇数时3k 2k 是5 的倍数 勤勉 笃信 精益求精 9 数学是一门很有趣的学科 初中数学竞赛专题辅导 丙练习5 1在括号里填写各幂的个位数K 是正整数 20 5 2 的个位数是 4 的个位数是 30 7 3 的个位数是 8 的个位数是 4K1 7 的个位数是 11 9 16 14 3 7 的个位数是 2 3 的个位数是 2k-1 2k-1 3 7 的个位数是 72k 32k 的个位数是 74k-1 64k-3 的个位数是 10 15 20 25 77 33 22 55 的个位数是 2 目前知道的最大素数是2216091 1它的个位数是 3说明如下两个数都能被10 整除的理由 5353 3333 1987198919931991 4 正整数m 取什么值时3m 1 是10 的倍数 5设n 是正整数试说明2 n 7n2 能被5 整除的理由 6若a4 的个位数是5那么整数a 的个位数是 若a4 的个位数是1那么整数a 的个位数是 若a4 的个位数是6那么整数a 的个位数是 若a2k-1 的个位数是7那么整数a 的个位数是 2 2 2 2 7 1 2 3 9 的个位数是 2 2 2 2 1 2 3 19 的个位数是 2 2 2 2 1 2 3 29 的个位数是 8 abc 是三个连续正整数a2 2 2 14884c 15376那么b 是 A 15116B 15129C 15144D 15321 勤勉 笃信 精益求精 10 数学是一门很有趣的学科 初中数学竞赛专题辅导 初中数学竞赛辅导资料6 数学符号 甲内容提要 数学符号是表达数学语言的特殊文字每一个符号都有确定的意义即 当我们把它规定为某种意义后就不再表示其他意义 数学符号一般可分为 1 元素符号通常用