二次型及其应用论文.doc

渤海大学学士论文 题目 二次型及其应用 系别 数理学院 专业 数学与应用数学 班级 08 级 4 班 姓名 孙兴建 指导教师 赵亚莉 完成日期 2012 年 5 月 30 日 目 录 引 言 2 一 二次型及其有关定义 2 一 二次型的概念及相关定义 3 二 替换后的二次型与原二次型的关系 4 三 写出二次型的方法 5 四 二次型的标准型 6 五 二次型在复数域下的规范型 10 六 二次型的一般定理 12 二 一般二次型的应用 13 一 一般的n元二次式的最值的判定与求法 13 二 n元二次型的特征方程的求法 17 三 二次型在因式分解中的应用 19 四 利用二次型的正交变换求某些曲线或曲面积分 22 三 正定二次型的判断及相关应用 22 一 正定二次型的判断 22 二 正定二次型的相关性质 29 三 正定 半正定二次型的相关应用 30 结束语 36 1 二次型及其应用 孙兴建 渤海大学数理学院 辽宁 锦州 121000 中国 摘要摘要 二次型是线性代数的重要内容之一 二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线 方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究 二次型理论与域的特征有关 现在二次型的理 论不仅在几何而且在数学的其他分支物理 力学 工程技术中也常常用到 通过矩阵乘法将 二次型与对称矩阵联系起来 从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究 另 一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决 所以正确写出二次型的矩阵是 研究二次型的基础 本文在对二次型性质研究的基础上 介绍了正定矩阵的性质 简单的举 了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用 并对二次型的理论进行了推广 讨论了二次型的应 用 关键词关键词 二次型 正定二次型 正交矩阵 二次型的应用 The quadratic form and it s matrix Sun Xingjian Department of Mathematics Bohai University Jinzhou Liaoning 121000 China Abstraect The quadratic form is an important part of linear algebra quadratic form theory originated in the study of analytic geometry quadratic equation and quadratic equation into standard form surface of the problem Quadratic form theory related to the characteristics of the domain now quadratic forms not only in geometry but also in other branches of mathematics physics mechanics engineering technology are often used Quadratic matrix multiplication by the link with the symmetric matrix which on the one hand makes the problem of quadratic matrix can be used to study the theory and method on the other hand the problem can be transformed into symmetric matrices with the method of quadratic to solve So the right to write it s matrix is to study the quadratic matrix quadratic basis In this paper on the basis of the nature of the quadratic form we describe the property of positive semi definite matrix quadratic and cited simply some examples to described the application of matrix is qualitative and promote the theory of quadratic and then discuss the application of it Key words Quadratic forms Positive semi definite quadratics Orthogonal matrixs Applications of quadratic form 2 二次型及其应用 引 言 在数学中 二次型的理论起源于解析几何中化二次曲线和二次 曲面方程为标准形的问题 现在二次型的理论不仅在几何而且在数 学的其他分支及物理 力学 工程技术中也常常用到 二次型应用 的领域很广 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常 有利用图象法或微分理论 而下面将利用二次型的性质来求函数的 最值 并给出了半正定矩阵的性质及其证明 最后用半正定矩阵的 有关知识解决了一类初等数学中的问题 不等式的证明 关于二次型 的一般理论 可参看文献 1 3 一些专题研究可参看文献 4 6 一 二次型及其有关定义 在这一节 我们首先回顾 高等代数 中关于二次型的一般理论 设 是一个数域 个文字 的二次齐次多项式PPaij n n xxx 21 22 222 11 2 223223 2 222 1131132112 2 11121 n i n j jiij nnn nn nnn xxa xa xxaxxaxa xxaxxaxxaxaxxxf 称为数域上的一个 元二次型 简称二次型 当为实数时 称为Pn ij af 实二次型 当为复数时 称为复二次型 ij af 设 阶对称矩阵n 3 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 则 元二次型可表示为下列矩阵形式 n AXX x x x aaa aaa aaa xxxxxxf T nnnn n n nn 2 1 21 22221 11211 2121 其中 对称矩阵称为二次型的系数矩阵 简称为二 T n xxxX 21 A 次型的矩阵 二次型与非零对称矩阵一一对应 即 给定一个二次型 则确定了 一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵 反之 给定一个非零的对称矩 阵 则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵 如果二次型中只含有文字的平方项 即 22 22 2 1121 nnn xdxdxdxxxf 称为标准型 在 高等代数 的教材中 还有以下关于二次型理论f 的结果 一 一 二次型的概念及相关定义二次型的概念及相关定义 定义定义 1 11 1 1 二次型可唯一的表示成 n xxxf 21 AXXxxxf n 21 其中 为对称矩阵 称上式二次型的矩阵形 21 n xxxX nn ij aA 式 称为二次型的矩阵 都是对称矩阵 称的秩为二次型的秩 AAf 定义定义 1 21 2 1 设是两组文字 系数在数域中 nn yyyxxx 2121 P 的一组关系式 4 1 1 2211 22221212 12121111 nnnnnn nn nn ycycycx ycycycx ycycycx 称为由到的一个线性替换 或简称线性替换 用矩 n xxx 21 n yyy 21 阵形式可写为 CYX 其中 如果系数行列式 21 n xxxX nn ij cC 21 n yyyY 0 C 那么线性替换 1 1 就称为非退化的 或可逆的 或满秩的 定义定义 1 31 3 1 数域上的矩阵称为合同的 如果有数域Pnn BA 上的可逆的矩阵 使Pnn C ACCB 定义定义 1 41 4 1 设是一实二次型 对于任意一组不全 n xxxf 21 为零的实数 如果都有 那么 n ccc 21 0 21 n cccf 称为正定的 如果都有 那么 n xxxf 21 0 21 n cccf 称为负定的 如果都有 那么 n xxxf 21 0 21 n cccf 称为半正定的 如果都有 那么 n xxxf 21 0 21 n cccf 称为半负定的 如果它既不半正定又不半负定 那么 n xxxf 21 就称为不定的 n xxxf 21 二 二 替换后的二次型与原二次型的关系替换后的二次型与原二次型的关系 设 是一个二次型 作非退化线性替换 AXXxxxf n 21 AA 1 2 CYX 5 我们得到一个的二次型 n yyy 21 1 3 BYYyyyf n 21 把 1 3 代入 1 2 有 BYYYACCYACYCYCYACYAXXxxxf n 21 容易看出 矩阵也是对称的 AC C 事实上 由此 即得这就是前后两 ACCCACACC ACCB 个二次型的矩阵关系 定义定义 1 51 5 数域上 矩阵 称为合同的 如果有数域上Pnn ABP 可逆的矩阵 使 nn CACCB 因此 经过非退化的线性替换 新二次型的矩阵与原二次型的矩 阵是合同的 三 三 写出二次型的方法写出二次型的方法 正确写出二次型的矩阵是化简二次型的基础 对于含 个变元n 的二次型 可以按下述方法得到二次型的矩阵 n xxxf 21 nn ij aA 的主对角线上的元素依次为二次型的平方项的系数 而A 22 2 2 1 n xxx 的 第 行 第 列元素是交叉项的系数的一半 在取Aij jiaij jix x 即得到对称矩阵 于是这个二次型就可以用矩阵形式 jiaa jiij A 表示为 其中 AXX T T n xxxx 21 注注 一个二次型的矩阵之所以要求是对称矩阵 原因之一是使 得二次型矩阵是唯一确定的 例例 1 11 1 3 写出二次型的矩阵 323121 2 3 2 2 2 14321 3223 xxxxxxxxxxxxxf 6 解解 应注意由可知右端的二次型为 4 元二次型 虽 4321 xxxxf 然二次型右边表达式中没有含有的项 但其对应矩阵必须补零做成 4 x 4 阶对称矩阵 0000 01 2 3 1 0 2 3 31 0111 A 四 四 二次型的标准型二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 22 22 2 11nnx dxdxd 定理定理 1 11 1 2 数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性P 替换变成平方和的形式 不难看出 上面二次型的矩阵是对角矩阵 nn nnn x x x d d d xxxxdxdxd 2 1 2 1 21 22 22 2 11 00 00 00 反过来 矩阵为对角形的二次型就只含有平方项 所以经过非退 化的线性替换 二次型的矩阵变到一个合同的矩阵 定理定理 1 21 2 在数域上 任意一个对称矩阵都合同于一对角矩P 阵 也就是说 对于任意一个对称矩阵都可以找到一个可逆矩阵A 使成对角矩阵 CAC C 定义定义 1 61 6 二次型经过非退化线性替换所变成的平 n xxxf 21 方和称为的一个标准型 n xxxf 21 例例 1 21 2 用可逆的线性变换化二次型为标准型用可逆的线性变换化二次型为标准型 7 方法方法 1 1 配方法配方法 用配方法化二次型为标准型的关键是消去交叉项 其要点是利 用两数和的平方公式与两数平方差公式逐步消去非平方项并构造新 平方项 分两种情形来处理 二次型中含某个变量的平方项和交叉项 i x 先集中含的交叉项 然后与配方 化成完全平方 令新变量代 i x 2 i x 替各个平方项中的变量 即可做出可逆的线性变换 同时立即写出它 的逆变换 即用新变量表示旧变量的变换 这样后面求总的线性变 换就比较简单 每次只对一个变量配平方 余下的项中不应在出现这 个变量 再对剩下的个变量同样进行 直到各项全化为平方项为1 n 止 二次型中没有平方项 只有交叉项 先利用平方差公式构造可逆线性变换 化二次型为含平方项的二 次型 如当的系数时 进行可逆的线性变换 jix x0 ij a 代入二次型后出现平方项 jikyxyyxyyx kkjijjii 在按情形 来处理 22 jijiij yaya 方法方法 2 2 初等变换法初等变换法 用可逆的线性变换化二次型为标准型Pyx AXXf T 相当于对于对称矩阵找到一个可逆矩阵 22 22 2 11nny dydydf A 使 其中 即合同于对角矩阵 由于PDAPPT n ddddiagD 21 AD 可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵乘积 即 P s PPP 21 s PPPP 21 从而有 8 DPPAPPPP s TTT s 2112 PPPEP n 21 根据初等矩阵的性质 由上式即可得到用初等变换法化二次型 为标准型的步骤如下 第一步 写出二次型的矩阵 并构造矩阵 Ann 2 E A 第二步 进行初等变换 P D E A E A 换只进行其中的初等列变对 和初等列变换进行同样的初等行变换对 当化为对角矩阵时 单位矩阵也相应地化为可逆矩阵 ADEP 第三步 可逆线性变换化二次型为标准型Pyx 22 22 2 11nn T ydydydDyyf 例例 1 31 3 化下列二次型为标准型 并写出所用的可逆线性变化 323121 2 3 2 1321 2423 xxxxxxxxxxxf 解解 方法方法 1 1 配方法 2 332 2 2 2 321 32 2 3 2 32 2 32132 2 3321 2 1 22 23222322 xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxf 令 即 得 2 33 22 3211 xy xy xxxy 2 33 22 3211 yx yx yyyx 2 32 2 1 2 332 2 2 2 1 2yyyyyyyyf 令 即 则 33 322 11 yz yyz yz 33 322 11 zy zzy zy 的标准型为 323121 2 3 2 1321 2423 xxxxxxxxxxxf 2 2 2 1321 zzxxxf 所用的可逆线性变换为 9 333 3222 32133213211 22 zyx zzyx zzzzzzzyyyx 方法方法 2 2 初等变换法初等变换法 二次型的矩阵为 由于 312 101 211 A 100 110 111 000 010 001 100 010 211 110 110 001 100 010 001 312 101 211 23 23 13 12 3 12 2 2 rr cc rr rr cc cc E A 故可逆线性变化 化二次型为 3 2 1 3 2 1 100 110 111 y y y x x x 2 2 2 1321 yyxxxf 2 2 用正交变换化二次型为标准型的步骤用正交变换化二次型为标准型的步骤 将 元实二次型用正交变换化为标准型的步n Axxxxxf T n 21 骤是 第一步 写出二次型的矩阵 则是是对称 n xxxf 21 nn ij aA A 矩阵 第二步 求 阶正交矩阵 使得 nQ n T diagAQQAQQ 21 1 第三步 正交变换化二次型为Qyx 22 22 2 1121 nnn yyyxxxf 例例 3 3求一正交变换 化二次型 为标准型 323121 2 2 2 1321 8444 xxxxxxxxxxxf 10 解解 二次型的矩阵为 由 442 442 221 A 9 442 442 221 2 AE 得的特征值为 A0 21 9 3 可求得对应的特征向量为 将其0 21 T p0 1 2 1 T p1 0 2 2 正交化 得 T p0 1 2 11 T 1 5 4 5 2 2 再单位化 得 T q 0 5 1 5 2 1 T q 53 5 53 4 53 2 2 又对应的特征向量为 单位化得 9 3 T p2 2 1 3 T q 3 2 3 2 3 1 3 故正交变换为 3 2 1 3 2 1 3 2 53 5 0 3 2 53 4 5 1 3 1 53 2 5 2 y y y x x x 化二次型为 2 3 9yf 五 五 二次型在复数域下的规范型二次型在复数域下的规范型 设是一个复系数二次型 经过以适当的非退化线性 n xxxf 21 替换后变成标准型 不妨假定它的标准型是 n xxxf 21 1 4 2 1 22 22 2 11 riydydyd rr 11 易知 就是的矩阵的秩 因为复数总可以开平方 我r n xxxf 21 们再作一非退化相性替换 1 5 1 1 11 1 1 1 nn rr r r r zy zy z d y z d y 1 4 式就变成 1 6 22 2 2 1r zzz 1 6 式称为复二次型的规范形 显然 规范形完全被 n xxxf 21 原二次型矩阵的秩所决定 因此有 定理定理 1 31 3 1 任意一个复系数的二次型 经过一适当的非退化线 性替换可以变成规范形 且规范行是唯一的 再来看实数域的情形 设是以实系数的二次型 经过某一非退化线性替换 n xxxf 21 在适当排列文字的次序可使变成标准形 n xxxf 21 1 7 22 11 22 11rpppp dydydyd 其中 是的矩阵的秩 因为在实数域中 ridi 2 1 0 r n xxxf 21 整实数总可以开平方所以再作一非退化线性替换 12 1 1 11 1 1 1 nn rr r r r zy zy z d y z d y 1 7 式就变成 1 8 22 1 22 1rpp zzzz 1 8 式称为实二次型的规范形 显然 规范形完全被 n xxxf 21 r 这两个数所决定 p 定理定理 1 41 4 任意一个实数域上的二次型 经过一适当的非退化线 性替换可以变为成规范形 且规范形是唯一的 六 六 二次型的一般定理二次型的一般定理 定理定理 1 51 5 惯性定理 惯性定理 在实二次型的规范形中 正 n xxxf 21 平方形的个数称为的正惯性指数 负平方项的个数P n xxxf 21 称为的负惯性指数 它们的差称为pr n xxxf 21 rpprp 2 的符号差 n xxxf 21 定理定理 1 61 6 3 元实二次型 是实对称矩阵 可以经nAXXf AX 过变量的正交变换为正交阵 可化为 这QYX 22 11nny yf 里 i 是矩阵的全部特征值 A 定理定理 1 71 7 5 设 元实二次型 则在条件下的最nAXXf f1 1 2 n i i x 大 小 值恰为矩阵的最大 小 特征值 A 13 定理定理 1 81 8 设为 阶正定矩阵 与An n xxxX 21 是实向量 为实数 则实函数当 n ccc 21 XAXXXf2 时 取得最小值 1 AX 1 A 证明证明 因正定 所以存在 对称 而 1 1 XA XXf A 1 A 111 0 0 1 0 1 0 A A A EA A E nn 1 0 1 0 1 1 1 A E A E nn 因此 10 0 1 1100 0 1 0 1 1 111 1 1 1 1 11 AAYY AAXAAX AX A A AX XAE A A A E XXf nn 其中 因正定 故当且仅当时 取最小值 0 从 1 AXY A0 YAY Y 而当且仅当 取得最小值 1 AX Xf 1 A 二 一般二次型的应用 一 一 一般的一般的 元二次式的最值的判定与求法元二次式的最值的判定与求法n 一般的 元二次多项式的形式为n 2 1 cxbxxa n i ii n i n j jiij 111 2 而 2 1 式存在最值的充要条件为 2 2 n i ii n i n j jiij xbxxa 111 2 存在最值 上式中 故只需要对 2 2 进行讨论 jiij aa 定理定理 2 12 1 4 实 元多项式 2 2 它的矩阵为 秩为 对 2 2 nAr 14 式作非退化的线性替换 其中PYX 000 00 00 sr s E E APP 那么 i 当半正定时 A 1 若 则 2 2 式存在最小值 nr 2 若 一次项所含新变数均在平方项中出现 则 2 2 式有nr 最小值 3 若 一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现 则nr 2 2 式不存在最值 ii 当半负定时 A 1 若 则 2 2 式存在最大值 nr 2 若 一次项所含新变数均在平方项中出现 则 2 2 式有nr 最大值 3 若 一次项所含新变数至少一个不在平方项中出现 则nr 2 2 式不存在最值 iii 不定 则 2 2 式不存在最值 A 证明证明 i 令 则 2 2 n xxxX 21 nn ij aA n bbbB 21 式改写为 2 3 BXAXX2 因半正定 故存在可逆矩阵 使 对 2 3 式作非退化AP 00 0 r E APP 线性替换 变为PYX 2 4 BPYAPYPY2 15 其中 而 其中 n yyyY 21 nny cycycBPY2222 2211 n j jiji pbc 1 1 若 这时 2 4 式变成nr n EAPP nnn ycycycyyy222 2211 22 2 2 1 n i n inn cccycycy 1 2 1 222 22 2 11 等号成立当且仅当时取得 此时将代入 nicy ii 3 2 1 ii cy 得唯一一组的解 此即取最值的点 PYX X 2 若 因正定 故的秩等于它的正惯性指数 即存在可nr AA 逆矩阵 使 在非退化线性替换下 2 4 式变A 00 0 r E APPPYX 为 2 5 nnn r ycycycyyyBYY E Y2222 00 0 2211 22 2 2 1 若一次项所含新字母均在平方项中出现 即至少有 0 21 rr cc 2 5 式可变为 个数的完全平方加一个常数 故存在最小值 r 3 一次项所含新字母至少一个不在平方项中出现 即 中至少一个不为零 不妨设 此时 2 5 式变为 nrr ccc 21 0 1 r c nnnn ycycyccycycy222 2211 22 22 2 11 令 取绝对值很大的负值 则上式的值0 21 nrr yyyy 1 r y 会很小 故不存在最小值 又若取绝对值很大的正值 则上式的值 1 r y 将会很大 故不存在最大值 因此不存在最值 ii 半负定 则半正定 利用 i 可得 ii 的结论成A n ij aA 立 16 iii 不定 则存在可逆矩阵 使 其中 AP 000 00 00 s r E E APPr 均不为零 否则 则半正定 则半负定 都与不定矛盾 s0 sAor AA 这时 2 5 式变为 n i iisrrr ycyyyy 1 22 1 22 1 2 令 而取任意的数 可以知道上式的值大于任何给的正0 2 n yy 1 y 数 故不存在最大值 令 而取任意大的0 21 nrr yyyy 1 r y 数 则上式的值小于任何预先给定的负数 故不存在最小值 例例 2 12 1 4 讨论 322222222323 43214342413121 2 4 2 3 2 2 2 1 xxxxxxxxxxxxxxxxxx 是否有最值 解解 将上式的矩阵写出 对作合同变换得到AA 它使主对角线上有一零 故知 1000 2100 1 2 1 10 2 2 3 11 P 0 2 1 2 1 APP 而对角线上其余的非零数全是正的 故知半正定矩阵 是nr 3A 否存在极值还应看替换后的情形才能定 作线性替换 原多项PYX 式的二次齐次项部分变为 一次项部分为 2 2 2 3 2 2 2 1 y yy 3214434 3 24321 22222 2 42 2 3 2yyyyyyy y yyyyy 所含字母 均在平方中出现 属于定理 2 1 中的情况 存在最 1 y 2 y 3 y 小值 对变换后的多项式配方 得 17 2 1 2 2 2 1 213222 2 2 2 3 2 2 2 1321 2 3 2 2 2 1 y yyyyy y yy 故当 时 上式有最小值 将 代入1 1 y 2 1 2 y2 3 y 2 1 1 y 2 y 3 y 中 当 为任意常PYX 41 2 2 7 yx 42 2 1 yx 43 2yx 44 yx 4 y 数 时 原式有最小值 2 1 例例 2 22 2 已知实数 满足 求的最xy1 22 yx xyyxyxf22 22 大值和最小值 解解 的矩阵为 yxf 21 11 A13 21 11 2 AE 因此 特征值 于是 由定理可知 在 53 2 1 1 53 2 1 2 yxf 下的最大值为 最小值为 1 22 yx 53 2 1 53 2 1 二 二 元二次型的特征方程的求法元二次型的特征方程的求法n 定义定义 2 12 1 1 矩阵的 阶子式 在一个矩阵中任意选定Akns A 行 列 位于这些选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序kk 2 k 所组成的 阶行列式 称为的一个 阶子式 kAk 2 矩阵的 阶主子式 就是指行指标和列指标相同的 阶子式 kk 定理定理 2 22 2 设 元二次型为n 2 6 nnnnnnnnnn xxaxxaxaxaxaxaxxxF 1 1112112 22 222 2 11121 222 则 元二次型的特征方程是n 011 1 1 2 2 1 1 21 22221 11211 n n n n nnn nnnn n n IIII aaa aaa aaa 其中是 元二次型的矩阵的一切 阶主子式之和 niIi 2 1 nAi 18 证明证明 根据行列式的性质 将行列式 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 拆成个行列式之和 将其中的一个行列式12 n 设为 其余个行列式可依次有行列式的第 列 00 00 00 B12 n Ai 乘以代换的第 列 行列式的第 列和第 列 ni 11 BiAij nji 1 分别乘以代换的第 列和第 列 行列式的第列1 BijAkji 分别乘以代换的列 依次类推 即 njki 11 Bkji 011 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 1 1 2 2 1 1 21 22221 11211 1 2 1 2 1 1 2 1 21 22221 11211 n n n n nnn nnnn n n nji nj j j ni i i ni ni i i nnnn n n IIII aaa aaa aaa a a a a a a a a a aaa aAa aaa 其中是 元二次型 2 2 1 的矩阵的一切 阶主子式之 niIi 2 1 nAi 和 例例 2 32 3 求四元二次型 的 434232413121 2 4 2 2 2 14321 2222442 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxF 特征方程 解解 四元二次型的矩阵为 根据上述定理可知 1111 1012 1122 1221 A 19 0 1111 1012 1122 1221 4 111 101 112 111 102 121 111 122 121 012 122 221 7 11 10 11 12 01 12 11 11 02 21 22 21 41021 4 3 2 1 I I I I 所以 四元二次型的特征方程为 0474 1111 112 1122 1221 234 三 三 二次型在因式分解中的应用二次型在因式分解中的应用 定理定理 2 32 3 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项 式乘积的充分必要条件是 它的秩为 2 和符号差为 0 或秩等于 1 证明证明 必要性必要性 设 nnnnn xbxbxbxaxaxaxxxf 2211221121 1 若两个一次多项式的系数成比例 即 不妨 nikab ii 2 1 设 令0 1 a 22 22111 nn nn xy xy xaxaxay 则 即二次型的秩为 1 2 121 kyxxxf n n xxxf 21 2 若两个一次多项式的系数不成比例 不妨设 令 2 2 1 1 b a b a 20 33 22112 22111 nn nn nn xy xy xbxbxby xaxaxay 则 再令 2121 yyxxxf n 33 212 211 nn zy zy zzy zzy 则 故二次型的秩为 2 符号 2 2 2 12121 zzyyxxxf n n xxxf 21 差为 0 充分性充分性 1 若的秩为 1 则经非退化线性替换使 n xxxf 21 其中 故 2 121 kyxxxf n nnx axaxay 22111 2 221121 xaxaxakxxxf nn 2 若的秩为 2 符号差为零 则可经非退化线性替 n xxxf 21 换使 2121 2 2 2 121 yyyyyyxxxf n 其中 均为的一次齐次多项式 即 1 y 2 y n xxx 21 nnx axaxay 22111nnx bxbxby 22112 故可表示成两个一次齐次多项式的乘积 n xxxf 21 例例 2 42 4 多因式在上能否分解 若 2121 2 2 2 121 6223 xxxxxxxxf R 能 将其分解 解解 考虑二次型 则 323121 2 2 2 1321 6223 xxxxxxxxxxxg 的矩阵为 321 xxxg 21 031 331 111 A 对施行合同变换 求得可逆矩阵A 且 100 2 1 10 2 3 11 P 0 4 1 APP 显然 的秩为 2 且符号差为 0 由定理 2 3 知 可以分解 A 321 xxxg 经非退化线性替换 3 2 1 3 2 1 100 2 1 10 2 3 11 y y y x x x 化为 由 得 2121 2 2 2 1321 224 yyyyyyxxxg XPY 1 于是 2 1 333223211 xyxxyxxxy 21321321 32 xxxxxxxxg 故 21212121 321 xxxxxxgxxf 例例 2 52 5 多项式在上 9266222 2121 2 2 2 121 xxxxxxxxfR 能否分解 如果能 将其分解 解解 考虑二次型 2 3323121 2 2 2 1321 9266222 xxxxxxxxxxxxg 其矩阵为 000 000 321 9233 2322 321 A 则秩 由定理 2 3 知 能在上分解 则 1 Ar 321 xxxgR 22 也能在上分解 易得 1 2121 xxgxxf R 2 212121 321 xxxxgxxf 四四 利用二次型的正交变换求某些曲线或曲面积分利用二次型的正交变换求某些曲线或曲面积分 利用二次型的正交变化可以方便地计算某些积分区域或曲面围 成的特殊积分 例例 2 62 6 求 其中 123 dx dx dx 12232 3221 2 3 2 2 2 1321321 xxxxxxxxxxfxxx 解解 由上例知正交变换能够保持几何形状不变 所以椭球 12232 3221 2 3 2 2 2 1321 xxxxxxxxxxf 与椭球 132322 2 3 2 2 2 1 yyyf 体积相同 记则 222 123123123 2 23 23 1Dy y yf y y yyyy 123123 41112 2 3232323 D dx dx dxdy dy dy 三 正定二次型的判断及相关应用 一 一 正定二次型的判断正定二次型的判断 定理定理 3 13 1 实二次型是正定二次型的 AAAXXxxxf n 21 充要条件是它的正惯性指数等于 n 证明证明 设实二次型经线形替换化为标 AXXxxxf n 21 PYX 准形 3 1 22 22 2 11nny dydydf 其中 由于为可逆矩阵 所以不全为零时Rdi ni 2 1 P n xxx 21 23 也不全为零 反之亦然 n yyy 21 必要性必要性 如果是正定二次型 那么当不全为零 即f n xxx 21 不全为零时 有 n yyy 21 3 2 0 22 22 2 11 nny dydydf 若有某个 不妨设 则对这组 1 nidi 0 n d1 0 121 nn yyyy 不全为零的数 代入 3 1 式式后得 这与是正定二次型0 n dff 矛盾 因此 必有 即的正惯性指数等于 2 1 0nidi fn 充分性充分性 如果的正惯性指数等于 则 于是当fn0 i dni 2 1 不全为零 即当不全为零时 3 2 式成立 从而 n xxx 21 n yyy 21 是正定型 f 定理定理 3 23 2 实二次型是正定二次型的充 21 AAAXXxxxf n 要条件是对任何 维实的非零列向量必有 nX0 AX X 证明证明 必要性必要性 由假设是正定二次型 故存在实的非退化的线形f 替换 使QYX 3 3 22 2 2 1n yyyAXX 对 因非奇异 故 于是由 3 3 式可知0 XQ0 Y0 AX X 充分性充分性 设的秩与正惯性指数分别为 与 先证 如果AX X rppr 则由惯性定理 存在非退化的线形替换 使得rp QYX 3 4 22 1 22 1 rpp yyyyAXX 由假设 对任何 但对列向量0 X0 AX X 0 0 0 1 0 0 QX 因是非奇异阵 1 是的第个分量 却有QX1 p 24 01 AX X 这与假设矛盾 故 再证 如果 则 3 4 式应化为pr nr nr 3 5 nryyyAXX r 22 2 2 1 于是取 0 1 0 0 QX 由 3 5 式即得 与假设矛盾 故 即是正定二次0 AX Xpnr f 型 定理定理 3 33 3 3 实二次型是正定二次型的 21 AAAXXxxxf n 充要条件是的规范形为 f 22 2 2 121 nn yyyxxxf 证明证明 必要性必要性 实二次型是正定二次型 则 21 AAAXXxxxf n 由定理 3 1 可知的正惯性指数为 则二次型可fnAXXxxxf n 21 经过非退化实线形替换变成 22 2 2 121 nn yyyxxxf 充分性充分性 的规范形为 则的正惯f 22 2 2 121 nn yyyxxxf f 性指数为 由定理 3 1 可知为正定二次型 nf 定理定理 3 43 4 实二次型是正定二次型的充 21 AAAXXxxxf n 要条件是矩阵与单位矩阵合同 A 证明证明 必要性必要性 实二次型是正定二次型 则 21 AAAXXxxxf n 由定理 3 3 可知的规范形为此即存在f 22 2 2 121 nn yyyxxxf 非退化线形替换 其中可逆 使得CYX C 22 2 2 121 nn yyyACYCYCYACYAXXxxxf 所以 因此矩阵单位矩阵合同 EACC A 25 充分性充分性 矩阵单位矩阵合同 则存在可逆矩阵 使得 ACEACC 令则CYX 22 2 2 121 nn yyyACYCYCYACYAXXxxxf 因此 由证明 4 可知是正定二次型 f 定理定理 3 53 5 实二次型是正定二次型的充 21 AAAXXxxxf n 要条件是矩阵的主子式全大于零 A 证明证明 必要性必要性 实二次型是正定二次型 以 21 AAAXXxxxf n 表示的左上角 阶矩阵 下证 考虑以为矩 k AAk 2 1 0nkAk k A 阵的二次型 j k i k j iijk xxaxxxg 11 21 由于所以当不全为零时 0 0 2121 kk xxxfxxxg k xxx 21 由正定二次型可知 从而 为正定二次型 固 f0 gg0 k A 充分性充分性 对二次型的元数 作数学归纳法n 当时 因为 所以正定 假设 且对1 n 2 1111 xaxf 0 11 af1 n 元实二次型结论成立 1 n 由于 用乘的第 1 列到第 列 再用乘第0 1111 aa 11 1 a a i Ai 11 1 a a i 的第 1 行到第 行 经此合同变换后 可变为以下的一Ai 3 2 ni A 个矩阵 B A a 0 0 00 1 11 因为矩阵与合同 所以是一个 阶对称矩阵 从而也是对称矩ABBn 1 A 26 阵 上述的变换不改变的主子式的值 因此的主子式也全大于零 AB 而的阶主子式等于的阶主子式乘以并且B 2 nkk 1 A1 k 11 a 于是的主子式全大于零 由归纳假设 与合同 所以与0 11 a 1 A 1 A 1 n IA 单位矩阵合同 此即是正定二次型 f 定理定理 3 63 6 实二次型是正定二次型的充 21 AAAXXxxxf n 要条件是矩阵的顺序主子式全都大于零 A 证明证明 必要性必要性 实二次型是正定二次型 则 21 AAAXXxxxf n 由定理 3 5 可知的主子式全大于零 所以的顺序主子式也全大于AA 零 充分性充分性 对二次型的元数 作数学归纳法 n 当时 由条件知 所以是正定的 1 n 2 1111 xaxf 0 11 a 1 xf 假设充分性的判断对于元的二次型已经成立 现在来证 元1 nn 的情形 令 1 11 1 1 111 nnn n aa aa A nn n a a 1 1 于是矩阵可以分块写成 则的顺序主子式也全大于A nn a A A 1 1 A 零 由归纳法假定 是正定矩阵 则存在可逆的阶矩阵 使得 1 A1 nG 令于是 1 n EAGG 10 0 1 G C nn n nn aG GEG a AG ACC 11 11 10 0 10 0 再令 则有 令 10 1 2 aGE C n GGa E CACCC nn n 0 0 1 2112 27 就有 21C CC dGGann d ACC 1 1 两边取行列式 则由条件 因此 从而dAC 2 0 A0 d ddd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以矩阵与单位矩阵合同 因此是正定矩阵即是正定二次型 AAf 定理定理 3 73 7 实二次型是正定二次型的充 21 AAAXXxxxf n 要条件是矩阵 其中 是实可逆矩阵 TTA T 证明证明 必要性必要性 实二次型是正定二次型 则 21 AAAXXxxxf n 由定理 3 4 可知存在可逆矩阵 使得CEACC 则 令 则 1111 CCCCA 1 CTTTA 充分性充分性 若 则TTA 21 TXTXTXTXAXXAXXxxxf n 令 则所以为正定二次型 TXY 22 2 2 121 nn yyyYYxxxf f 定理定理 3 83 8 实二次型是正定二次型的充 21 AAAXXxxxf n 要条件是正定矩阵 其中 是实可逆矩阵 AT T T 证明证明 必要性必要性 实二次型是正定二次型 则 21 AAAXXxxxf n 是正定阵 令 其中 可逆 则AYXT 1 T ATYTYTYATYxxxf n 21 又因非退化线性替换不改变正定性 则 ATYTYxxxf n 21 28 是正定二次型 所以是正定阵 AT T 充分性充分性 是正定阵 令 则是正定AT T ATYTYyyyg n 21 21n yyyg 二次型 令 则是正定二次TYX AXXxxxfyyyg nn 2121 型 定理定理 3 93 9 实二次型是正定二次型的充 21 AAAXXxxxf n 要条件是矩阵的全部特征值都是正的 A 证明证明 必要性必要性 实二次型是正定二次型 则 21 AAAXXxxxf n 是正定阵 A 又对于任意一个 阶实对称矩阵 都存在一个 阶正交矩阵 nAnT 使得成为对角形 ATTATT 1 令 则否则与为正定二次 n ATTATT 1 1 2 1 0ni i f 型相矛盾 则特征值为均大于零 又相似矩阵有相同ATT 1 n 21 特征值 则的特征值也均为正的 A 充分性充分性 的全部特征值均为正的 则存在一个 阶正交矩阵 AnT 使得 n ATTATT 1 1 其中为的特征值 令 则 2 1 ni i ATYX 22 22 2 1121 nnn yyyATYTYAXXxxxf 所以为正定二次型 f 29 定理定理 3 103 10 实二次型是正定二次型的 21 AAAXXxxxf n 充要条件是矩阵是正定阵 A 证明证明 必要性必要性 实二次型是正定二次型 则 21 AAAXXxxxf n 由正定阵的定义可知是正定阵 A 充分性充分性 是正定阵 则的顺序主子式全都大于零 由定理 3 6AA 可知是正定二次型 f 二 二 正定二次型的相关性质正定二次型的相关性质 定理定理 3 113 11 二次型正定的充分必要条件是它的标准型的所有系 数都是正数 定理定理 3 123 12 设实二次型 若为实可逆方阵 AXXxxxf T n 21 P 则正定等价于 YAPPYyyyg TT n 21 AXXxxxf T n 21 正定 换句话说 经过非退化线性变换后 正 YAPPYyyyg TT n 21 定的二次型仍然是正定的 定理定理 3 133 13 实二次型正定的充 AXXxxaxxxf T n i n j jiijn 11 21 要条件是矩阵的一切级顺序主子式全大于零 AK 定理定理 3 143 14 为正定矩阵的充分必要条件的正惯性指数 AA np 定理定理 3 153 15 矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵是 存在非奇A 异矩阵 使 即与合同 C CCA AE 定理定理 3 163 16 阶矩阵为正定矩阵的充分必要条件是的所A ij aA A 有顺序主子式 0 k A nk 2 1 注注 1 若是负定矩阵 则为正定矩阵 AA 2 是负定矩阵的充要条件是 A 01 k k A nk 2 1 30 其中是的 阶顺序主子式 k A Ak 3 对半正定 半负定 矩阵可证明以下三个结论等价 a 对称矩阵是半正定 半负定 的 A b 的所有主子式大于 小于 或等于零 A c 的全部特征值大于 小于 或等于零 A 三 三 正定 半正定二次型的相关应用正定 半正定二次型的相关应用 1 1 不等式的证明不等式的证明 其证明思路是 首先构造二次型 然后利用二次型半正定性的定 义或等价条件 判断该二次型 矩阵 为半正定 从而得到不等式 例例 3 13 1 6 Cauchy 不等式 设 为任意实数 则 i a i b ni 2 1 n i i n i i n i ii baba 1 2 1 2 2 1 证明证明 记因 2 2 1 2 21 1 2 1 1 2 1 2 2121 2 xbxxbaxaxbxaxxf n i i n i ii n i i n i ii 为对于任意 都有 故关于 的二次型是半 1 x 2 x 0 21 xxf 1 x 2 x 21 x xf 正定的 因此 该二次型矩阵的行列式大于或等于 0 即 0 1 2 1 11 2 n i i n i ii n i ii n i i bba baa 故得 n i i n i i n i ii baba 1 2 1 2 2 1 例例 3 23 2 证明 2 11 2 n i i n i i xxn 31 证明证明 记 其中 AXXx