第四章 不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动

第四章不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动 第一节流体微团运动分析第二节有旋流动和无旋流动第三节无旋流动的速度势函数第四节二维平面流动的流函数第五节基本的平面有势流动第六节平面势流的叠加流动 欢迎进入第四章的学习 流体由于具有易变形的特性 易流动性 因此流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多 在流体运动中 有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型 由流体微团运动分析可知 有旋流动是指流体微团旋转角速度的流动 无旋流动是指的流动 实际上 黏性流体的流动大多数是有旋流动 而且有时是以明显的旋涡形式出现的 如桥墩背流面的旋涡区 船只运动时船尾后形成的旋涡 大气中形成的龙卷风等等 但在更多的情况下 流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的 如当流体绕流物体时 在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内 每一点都有旋涡 而这些旋涡肉眼却是观察不到的 至于工程中大量存在着的紊流运动 更是充满着尺度不同的大小旋涡 流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少 但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多 因此 对二维平面势流在理论研究方面较成熟 对工程中的某些问题 在特定条件下对黏性较小的流体运动进行无旋处理 用势流理论去研究其运动规律 特别是绕流物体的流动规律 对工程实践具有指导意义和应用价值 因此 本章先阐述有旋流动的基本概念及基本性质 然后再介绍二维平面势流理论 第一节流体微团运动分析 刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性 极易变形 因此 任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动 而且还会发生变形运动 所以 在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动 转动和变形运动三部分 一 表示流体微团运动特征的速度表达式 图4 1分析流体微团运动用图 剪切变形速率 引入记号 并赋予运动特征名称 线变形速率 4 1 4 2 于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为 旋转角速度 4 3 4 4 二 流体微团运动的分解 为进一步分析流体微团的分解运动及其几何特征 对式 4 4 有较深刻的理解 现在分别说明流体微团在运动过程中所呈现出的平移运动 线变形运动 角变形运动和旋转运动 为简化分析 仅讨论在平面上流体微团的运动 假设在时刻 流体微团ABCD为矩形 其上各点的速度分量如图4 2所示 由于微团上各点的速度不同 经过时间 势必发生不同的运动 微团的位置和形状都将发生变化 现分析如下 1 平移运动 图4 2分析流体微团平面运动用图 a 2 线变形运动 b 图4 3流体微团平面运动的分解 a 返回 图4 3流体微团平面运动的分解 b 返回 图4 3流体微团平面运动的分解 c 返回 图4 3流体微团平面运动的分解 d 返回 3 角变形运动 c 4 旋转运动 d 综上所述 在一般情况下 流体微团的运动总是可以分解成 整体平移运动 旋转运动 线变形运动及角变形运动 与此相对应的是平移速度 旋转角速度 线变形速率和剪切变形速率 第二节有旋流动和无旋流动 一 有旋流动和无旋流动的定义二 速度环量和旋涡强度 一 有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋还是无旋 是由流体微团本身是否旋转来决定的 流体在流动中 如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动 则称为有旋流动 如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动 则称为无旋流动 这里需要说明的是 判断流体流动是有旋流动还是无旋流动 仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定 而与流体微团的运动轨迹无关 在图4 4 a 中 虽然流体微团运动轨迹是圆形 但由于微团本身不旋转 故它是无旋流动 在图4 4 b 中 虽然流体微团运动轨迹是直线 但微团绕自身轴线旋转 故它是有旋流动 在日常生活中也有类似的例子 例如儿童玩的活动转椅 当转轮绕水平轴旋转时 每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动 但是每个儿童始终是头向上 脸朝着一个方向 即儿童对地来说没有旋转 图4 4流体微团运动 无旋流动 有旋流动 判断流体微团无旋流动的条件是 流体中每一个流体微团都满足 根据式 4 3 则有 4 8 二 速度环量和旋涡强度 1 速度环量为了进一步了解流场的运动性质 引入流体力学中重要的基本概念之一 速度环量 在流场中任取封闭曲线k 如图4 5所示 速度沿该封闭曲线的线积分称为速度沿封闭曲线k的环量 简称速度环量 用表示 即式中 在封闭曲线上的速度矢量 速度与该点上切线之间的夹角 速度环量是个标量 但具有正负号 4 9 图4 5沿封闭曲线的速度环量 在封闭曲线k上的速度矢量 速度与该点上切线之间的夹角 速度环量的正负不仅与速度方向有关 而且与积分时所取的绕行方向有关 通常规定逆时针方向为K的正方向 即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧 如图4 5所示 当沿顺时针方向绕行时 式 4 9 应加一负号 实际上 速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线K运动的总的趋势的大小 或者说所反映的是流体的有旋性 由于和 则 代入式 4 9 得 4 10 2 旋涡强度 沿封闭曲线 的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系 现仅以平面流动为例找出这个关系 如图4 6所示 在平面上取一微元矩形封闭曲线 其面积 流体在A点的速度分量为和 则B C和D点的速度分量分别为 图4 6沿微元矩形的速度环量 于是 沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量将 和 各值代入上式 略去高于一阶的无穷小各项 再将式 4 3 的第三式代入后 得然后将式 4 11 对面积积分 得 4 11 4 12 于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理 沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍 称之为旋涡强度I 即和式中 在微元面积的外法线上的分量 4 13 由式 4 11 可导出另一个表示有旋流动的量 称为涡量 以表示之 它定义为单位面积上的速度环量 是一个矢量 它在Z轴方向的分量为对于流体的空间流动 同样可求得X和Y轴方向涡量的分量和 于是得即 4 14 4 15 也就是说 在有旋流动中 流体运动速度的旋度称为涡量 由此可见 在流体流动中 如果涡量的三个分量中有一个不等于零 即为有旋流动 如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零 也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零 则在这个区域内的流动一定是无旋流动 下面举两个简单的例子来说明速度环量和旋涡强度的物理意义 以及有旋流动和无旋流动的区别 例4 1 一个以角速度按反时针方向作像刚体一样的旋转的流动 如图4 7所示 试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量 并证明它是有旋流动 解 例4 2 一个流体绕O点作同心圆的平面流动 流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比 即 其中C为常数 如图4 8所示 试求在流场中沿封闭曲线的速度环量 并分析它的流动情况 解 解 在流场中对应于任意两个半径和的圆周速度各为和 沿图中画斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量可见 在这个区域内是有旋流动 又由于扇形面积于是上式正是斯托克斯定理的一个例证 以上结论可推广适用于圆内任意区域内 返回例题 图4 7有旋流动中速度环量的计算 图4 8无旋流动中速度环量的计算 返回例题 解 沿扇形面积周界的速度环量可见 在这区域内是无旋流动 这结论可推广适用于任何不包围圆心O的区域内 例如 若包有圆心 该处速度等于无限大 应作例外来处理 现在求沿半径的圆周封闭曲线的速度环量上式说明 绕任何一个圆周的流场中 速度环量都不等于零 并保持一个常数 所以是有旋流动 但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零 故在圆心O点处必有旋涡存在 圆心是一个孤立涡点 称为奇点 返回例题 第三节无旋流动的速度势函数 如前所述 在流场中流体微团的旋转角速度在任意时刻处处为零 即满足的流动为无旋流动 无旋流动也称为有势流动 一 速度势函数引入二 速度势函数的性质 一 速度势函数引入 由数学分析可知 是成为某一标量函数全微分的充分必要条件 则函数称为速度势函数 因此 也可以说 存在速度势函数的流动为有势流动 简称势流 根据全微分理论 势函数的全微分可写成于是得 4 16 按矢量分析对于圆柱坐标系 则有于是从以上分析可知 不论是可压缩流体还是不可压缩流体 也不论是定常流动还是非定常流动 只要满足无旋流动条件 必然存在速度势函数 4 17 4 18 二 速度势函数的性质 1 不可压缩流体的有势流动中 势函数满足拉普拉斯方程 势函数是调和函数 将式 4 16 代入到不可压缩流体的连续性方程 3 28 中 则有式中为拉普拉斯算子 式 4 19 称为拉普拉斯方程 所以在不可压流体的有势流动中 速度势必定满足拉普拉斯方程 而凡是满足拉普拉斯方程的函数 在数学分析中称为调和函数 所以速度势函数是一个调和函数 4 19 从上可见 在不可压流体的有势流动中 拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式 这样把求解无旋流动的问题 就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题 2 任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值之差 而与曲线的形状无关 根据速度环量的定义 沿任意曲线AB的线积分这样 将求环量问题 变为求速度势函数值之差的问题 对于任意封闭曲线 若A点和B点重合 速度势函数是单值且连续的 则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零 即 第四节二维平面流动的流函数 一 流函数的引入对于流体的平面流动 其流线的微分方程为 将其改写成下列形式 4 20 在不可压缩流体的平面流动中 速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程 即或 4 21 由数学分析可知 式 4 21 是 成为某函数全微分的充分必要条件 以表示该函数 则有 4 22 函数称为流场的流函数 由式 4 22 可得 4 23 由式 4 22 令 即常数 可得流线微分方程式 4 20 由此可见 常数的曲线即为流线 若给定一组常数值 就可得到流线簇 或者说 只要给定流场中某一固定点的坐标 代入流函数 便可得到一条过该点的确定的流线 因此 借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场 对于极坐标系 可写成 4 24 4 25 在已知速度分布的情况下 流函数的求法与速度势函数一样 可由曲线积分得出 至此可看到 在不可压缩平面流动中 只要求出了流函数 由式 4 23 或式 4 24 就可求出速度分布 反之 只要流动满足不可压缩流体的连续性方程 不论流场是否有旋 流动是否定常 流体是理想流体还是黏性流体 必然存在流函数 这里需说明 等流函数线与流线等同 仅在平面流动时成立 对于三维流动 不存在流函数 也就不存在等流函数线 但流线还是存在的 二 流函数的性质 1 对于不可压缩流体的平面流动 流函数永远满足连续性方程 将式 4 23 代入式 4 21 得即流函数永远满足连续性方程 2 对于不可压缩流体的平面势流 流函数满足拉普拉斯方程 流函数也是调和函数 对于平面无旋流动 则将式 4 23 代入上式因此 不可压缩流体平面无旋流动的流函数也满足拉普拉斯方程 也是一个调和函数 因此 在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题 可以转化为求解一个满足边界条件的的拉普拉斯方程 3 平面流动中 通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差 这就是流函数的物理意义 如图4 9所示 在两流线间任一曲线AB 则通过单位厚度的体积流量为 4 26 由式 4 26 可知 平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差 图4 9说明流函数物理意义用图 三 和的关系 1 满足柯西 黎曼条件如果是不可压缩流体的平面无旋流动 必然同时存在着速度势和流函数 比较式 4 16 和式 4 23 可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系 4 27 4 28 这是一对非常重要的关系式 在高等数学中称作柯西 黎曼条件 因此 和互为共轭调和函数 这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题 当势函数和流函数二者知其一时 另一个则可利用式 4 27 的关系求出 而至多相差一任意常数 2 流线与等势线正交 式 4 28 是等势线簇 常数 和流线簇 常数 互相正交的条件 若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线 则它们必然构成正交网格 称为流网 如图4 10所示 图4 10流网 例4 3 有一不可压流体平面流动的速度分布为 该平面流动是否存在流函数和速度势函数 若存在 试求出其表达式 若在流场中A 1m 1m 处的绝对压强为1 4 105Pa 流体的密度1 2kg m3 则B 2m 5m 处的绝对压强是多少 解 1 由不可压流体平面流动的连续性方程该流动满足连续性方程 流动是存在的 存在流函数 由于是平面流动该流动无旋 存在速度势函数 2 由流函数的全微分得 积分由速度势函数的全微分得 积分 3 由于 因此 A和B处的速度分别为由伯努里方程可得 第五节基本的平面有势流动 流体的平面有势流动是相当复杂的 很多复杂的平面有势流动可以由一些简单的有势流动叠加而成 所以 我们首先介绍几种基本的平面有势流动 它包括均匀直线流动 点源和点汇 点涡等 一 均匀直线流动 流体作均匀直线流动时 流场中各点速度的大小相等 方向相同 即和 由式 4 16 和式 4 23 得于是速度势和流函数各为以上两式中的积分常数和可以任意选取 而不影响流体的流动图形 称为流谱 若令 即得均匀直线流动的速度势和流函数各为 4 29 4 30 由式 4 29 和式 4 30 可知 等势线簇 常数 和流线簇 常数 互相垂直 如图4 11所示 各流线与轴的夹角等于 由于流场中各点的速度都相等 根据伯努里方程 3 41 得常数如果均匀直线流动在水平面上 或流体为气体 一般可以忽略重力的影响 于是常数即流场中压强处处相等 图4 11均匀直线流的流谱 二 平面点源和点汇 如果在无限平面上流体不断从一点沿径向直线均匀地向各方流出 则这种流动称为点源 这个点称为源点 图4 12 a 若流体不断沿径向直线均匀地从各方流入一点 则这种流动称为点汇 这个点称为汇点 图4 12 b 显然 这两种流动的流线都是从原点O发出的放射线 即从源点流出和向汇点流入都只有径向速度 现将极坐标的原点作为源点或汇点 则 图4 12点源和点汇的流谱 点源 点汇 back 根据流动的连续性条件 流体每秒通过任一半径为的单位长度圆柱面上的流量都应该相等 即常数由此得 4 31 式中是点源或点汇在每秒内流出或流入的流量 称为点源强度或点汇强度 对于点源 与同向 取正号 对于点汇 与异向 取负号 于是积分得式中积分常数是任意给定的 现令 又由于 于是得速度势 4 32 当时 速度势和速度都变成无穷大 源点和汇点都是奇点 所以速度势和速度的表达式 4 31 和式 4 32 只有在源点和汇点以外才能应用 现在求流函数 由式 4 25 积分得 令式中的积分常数为零 4 33 等势线簇 常数 即常数 是同心圆簇 在图4 12中用虚线表示 与流线簇 常数 即常数 成正交 而且除源点或汇点外 整个平面上都是有势流动 如果平面是无限水平面 则根据伯努里方程 3 41 式中为在处的流体压强 该处的速度为零 将式 4 31 代入上式 得 4 34 由式 4 34 可知 压强随着半径的减小而降低 当时 图4 13表示当时 点汇沿半径的压强分布 图4 13点汇沿半径的压强分布 三 点涡 设有一旋涡强度为的无限长直线涡束 该涡束以等角速度绕自身轴旋转 并带动涡束周围的流体绕其环流 由于直线涡束为无限长 所以可以认为与涡束垂直的所有平面上的流动情况都一样 也就是说 这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理 由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆 如图4 14所示 根据斯托克斯定理可知 沿任一同心圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度 即常数于是 4 35 因此涡束外的速度与半径成反比 若涡束的半径 则成为一条涡线 这样的流动称为点涡 又称为纯环流 但当时 所以涡点是一个奇点 图4 14点涡的流谱 现在求点涡的速度势和流函数 由于由积分后得速度势 4 36 又由于由积分后得流函数 4 37 当时 环流为反时针方向 如图4 14所示 当时 环流为顺时针方向 由式 4 36 和式 4 37 可知 点涡的等势线簇是经过涡点的放射线 而流线簇是同心圆 而且除涡点外 整个平面上都是有势流动 设涡束的半径为 涡束边缘上的速度为 压强为 时的速度显然为零 而压强为 代入伯努里方程 3 41 得涡束外区域内的压强分布为 4 38 由式 4 38 可知 在涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低 涡束外缘上的压强为或 4 39 所以涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数 又由式 4 38 可知 在处 压强 显然这是不可能的 所以在涡束内确实存在如同刚体一样以等角速度旋转的旋涡区域 称为涡核区 由式 4 39 可得涡核的半径 由于涡核内是有旋流动 故流体的压强可以根据欧拉运动微分方程求得 平面定常流动的欧拉运动微分方程为将涡核内任一点的速度和代入上两式 得以和分别乘以上两式 然后相加 得或积分得 在处 代入上式 得最后得涡核区域内的压强分布为 4 40 或 4 40a 于是涡核中心的压强而涡核边缘的压强所以可见 涡核内 外的压强降相等 都等于用涡核边缘速度计算的动压头 涡核内 外的速度分布和压强分布如图4 15所示 图5 14涡流中涡核内 外的速度和压强分布 第六节平面势流的叠加流动 从上节可以看到 只有对一些简单的有势流动 才能求出它们流函数和势函数 但当流动较复杂时 根据流动直接求解流函数和势函数往往十分困难 我们可以将一些简单有势流动进行叠加 得到较复杂的流动 这样一来 为求解流动复杂的流场提供了一个有力的工具 因此 本节先介绍势流的叠加原理 然后再介绍几种典型的有实际意义的叠加流动 一 势流叠加原理 前面我们知道 速度势函数和流函数都满足拉普拉斯方程 凡是满足拉普拉斯方程的函数 在数学分析上都称为调和函数 所以速度势函数和流函数都是调和函数 根据调和函数的性质 即若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数 可将若干个速度势函数 或流函数 线性组合成一个代表某一有势流动的速度势函数 或流函数 现将若干个速度势函数 叠加 得 4 41 而 4 42 显然 叠加后新的速度势函数也满足拉普拉斯方程 同样 叠加后新的流函数也满足拉普拉斯方程 即 4 43 这个叠加原理方法简单 在实际应用上有很大意义 可以应用这个原理把上一节所讨论的几个简单的基本平面有势流动叠加成所需要的复杂有势流动 将新的速度势函数分别对 和取偏导数 就等于新的有势流动的速度分别在 和轴方向上的分量 4 44 或 4 45 即 4 46 由此可见 叠加后所得的复杂有势流动的速度为叠加前原来的有势流动速度的矢量和 由此 可得出一个重要结论 叠加两个或多个不可压平面势流流动组成一个新的复合流动 只要把各原始流动的势函数或流函数简单地代数相加 就可得到该复合流动的势函数或流函数 该结论称为势流的叠加原理 二 螺旋流 螺旋流是点涡和点汇的叠加 将式 4 36 和式 4 32 相加以及将式 4 37 和式 4 33 相加即得新的有势流动的速度势和流函数 4 47 4 48 式中取反时针方向为正 于是得等势线方程常数或 4 49 流线方程为常数或 4 50 显然 等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇 图4 16 称为螺旋流 流体从四周向中心流动 图4 16螺旋流的流谱 研究螺旋流在工程上有重要意义 例如旋流燃烧室 旋风除尘设备及多级离心泵反导叶中的旋转气流即可看成是这种螺旋流 螺旋流的速度分布为 4 51 4 52 4 53 代入伯努里方程 3 41 得流场的压强分布 4 54 三 偶极流 将流量各为的点源和的点汇相距2a距离放在X轴上 叠加后的流动图形如图4 17所示 它的速度势和流函数各为 4 55 4 56 由流线方程 4 56 常数 得常数 所以流线是经过源点A和汇点B的圆簇 而且从源点流出的流量全部流入汇点 图4 17点源和点汇的叠加 常数 现在分析一种在点源和点汇无限接近的同时 流量无限增大 即 以至使保持一个有限常数值的极限情况 在这种极限情况下的流动称为偶极流 称为偶极矩或偶极强度 偶极流是有方向的 一般规定由点源指向点汇的方向为正向 如图4 18所示 偶极流指向轴方向 这时的偶极矩取正值 偶极流的速度势可由式 4 55 根据上述极限条件求得 将式 4 55 改写成 常数 常数 图4 18偶极流的流谱 从图4 19中可知 当A点和B点向原点O无限接近时 而且当 时 又由于当为无穷小时 可以略去高阶项 得 因此 偶极流的速度势或 4 57 图4 19推导偶极流用图 在图4 19中 BC为从B点向AP所作的垂线 则又当 所以 代入式 4 56 得偶极流的流函数或 4 58 令式 4 58 等于常数 于是得流线方程 4 59 即流线簇是半径为 圆心为 0 且与轴在原点相切的圆簇 如图4 18中实线所示 又令式 4 57 等于常数 得等势线方程 4 60 即等势线簇是半径为 圆心为 0 且与轴在原点相切的圆簇 如图4 18中虚线所示 四 绕圆柱体无环量流动 将均匀直线流与偶极流叠加 可以得到绕圆柱体无环量流动 设有一在无穷远处速度为 平行于X轴 由左向右流的均匀直线流 与在坐标原点O上偶极矩为M 方向与X轴相反的偶极流叠加 如图4 20所示 组合流动的流函数为 4 61 流线方程 4 62 选取不同的常数值 可得到如图4 20所示的流动图形 对的所谓零流线的方程为或 图4 20均匀流绕圆柱体无环量流动 由此可知 零流线是一个以坐标原点为圆心 半径的圆周与正负X轴和所构成的图形 该流线到A点处分为两段 沿上 下两个半圆周流到B点 又重新汇合 这个平面组合流动的流函数为 4 63 同样 也可得到它的速度势 4 64 以上两式中 这是因为的圆柱体内的流动没有实际意义 流场中任一点的速度分量为 4 65 在 处 这表示 在离开圆柱体无穷远处是速度为的均匀直线流动 在图4 20中的A点 0 和B点 0 处 A点为前驻点 B点为后驻点 用极坐标表示的速度分量为 4 66 沿包围圆柱体圆周的速度环量为所以 均匀直线流绕圆柱体的平面流动是没有速度环量的 因此 一个速度为的均匀直线流绕半径为的圆柱体无环量的平面流动 可以用由这个均匀