第三章导数的应用拉格朗日中值定理可由下图来说明_第1页
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文档简介

一 拉格朗日 Lagrange 定理 定理1 第一节拉格朗日定理洛必达法则 第三章导数的应用 拉格朗日中值定理可由下图来说明 图3 1 拉格朗日中值定理的证明 构造辅助函数 拉格朗日中值公式 回忆极限的四则运算法则 四则运算法则不能用 二 洛必达法则 定理2 1 型未定式 解 解 解 定理3 2 型未定式 解 解 3 其他未定型极限 解 解 这显然是一个错误的结果 注意3 只有未定式才能使用洛必达法则 非未定式极限应使用极限运算法则来处理 有些未定式 使用多次洛必达法则之后 已经成为非未定式极限 就不能再使用洛必达法则了 一 函数单调性的判定 第二节函数的单调性与极值 观察下列图形 能否发现其规律性 函数单调性的判别方法 定理1 例1 解 例2 解 驻点 注意 例3 例4 例5 定理3 极值存在的充分条件 二 函数的极值 根据定义 结合下边图形 你是否能对极值做几点说明 注意 解 解 一 函数的最值 第三节函数的最大值与最小值 注意 可见 解 解 思考 二 函数的最值应用举例 解 如图所示 设截去的小正方形边长为x 则做成的方匣容积为y 48 2x 2x 例3 设有一块边长为48cm的正方形铁皮 从其各角截去同样的小正方形 做成一个无盖的方匣 问截去多少 方能使做成的匣子的容积最大 本题就归结为求函数y a 2x 2x在中的最大值问题了 令y 12 24 x 8 x 0 得 当时 y 0 所以截去边长为的小正方形时 所做匣子的容积最大 例4 设由电动势E 内阻r与外阻R所构成的闭合电路如图所示 在r与E已知时 R等于多少才能使电功率最大 解 由电学知道 消耗在外阻R上的电功率为P I2R I为回路中的电流 由欧姆定律知电流强度 所以电功率P为R的函数 R 0 解方程P 0 得P在区间 0 内有唯一驻点R r 由该问题的实际意义可知 电功率的最大值是存在的 故这唯一的驻点R r处 电功率P取得最大值 即当外阻等于内阻时输出功率最大 最大功率为 因为 解 第四节曲线的凹凸性与拐点 1 凹凸性的定义 如图 2 凹凸性的判别方法 1 2 注意 答案 例1 答案 例2 答案 例3 答案 例4 第五节函数图像的描述 一 曲线的渐近线 曲线渐近线的求法 例1 二 函数图像的描述 解 极大 凸 凹 凸 凹 拐点 极小 解 极大 凹 凹 凸 凸 拐点 拐点 第六节曲线的曲率 一 曲线的曲率
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