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重庆交通大学课件 1 39 第五章测量误差的基本知识 本章重点 1 偶然误差的特点2 评定精度的指标3 中误差的计算4 误差传播定律 本章难点 1 中误差的计算2 误差传播定律 重庆交通大学课件 2 39 一 概述 1 误差的概念 测量误差 真值 X 观测值 L 从测量实践中可以发现 测量结果不可避免的存在误差 比如 1 对同一量多次观测 其观测值不相同 2 观测值不等于理论值 三角形 180 闭合水准 h 0 重庆交通大学课件 3 2 测量误差的来源测量工作是在一定条件下进行的 外界环境 观测者的技术水平和感官鉴别能力的局限性及仪器本身构造的不完善等原因 都可能导致测量误差的产生 所以 测量误差主要来自以下三个方面 1 外界条件主要指观测环境中气温 气压 空气湿度和清晰度 风力以及大气折光等因素的不断变化 导致测量结果中带有误差 2 仪器条件仪器在加工和装配等工艺过程中 不能保证仪器的结构能满足各种几何关系 这样的仪器必然会给测量带来误差 3 观测者的自身条件由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同 也会在仪器对中 整平和瞄准等方面产生误差 重庆交通大学课件 4 39 通常把测量仪器 观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来 称为观测条件 观测条件不理想和不断变化 是产生测量误差的根本原因 通常把观测条件相同的各次观测 称为等精度观测 观测条件不同的各次观测 称为不等精度观测 重庆交通大学课件 5 39 1 系统误差在相同的观测条件下 对某量进行了n次观测 如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化 这种误差称为系统误差 系统误差一般具有累积性 系统误差产生的主要原因之一 是由于仪器设备制造不完善 例如 用一把名义长度为50m的钢尺去量距 经检定钢尺的实际长度为50 005m 则每量一尺 就带有 0 005m的误差 表示在所量距离值中应加上 丈量的尺段越多 所产生的误差越大 所以这种误差与所丈量的距离成正比 3 测量误差的分类测量误差按其对测量结果影响的性质 可分为系统误差和偶然误差 重庆交通大学课件 6 39 再如 在水准测量时 当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角时 对水准尺的读数所产生的误差为 它与水准仪至水准尺之间的距离S成正比 所以这种误差按某种规律变化 系统误差具有明显的规律性和累积性 对测量结果的影响很大 但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律 所以可以采取措施加以消除或减少其影响 计算改正 观测方法 仪器检校 重庆交通大学课件 7 39 2 偶然误差在相同的观测条件下 对某量进行了n次观测 如果单个误差出现的大小和符号均不一定 无规律 则这种误差称为偶然误差 又称为随机误差 例如 用经纬仪测角时的照准误差 钢尺量距时的读数误差等 都属于偶然误差 偶然误差 就其个别值而言 在观测前我们确实不能预知其出现的大小和符号 但若在一定的观测条件下 对某量进行多次观测 误差列却呈现出一定的规律性 称为统计规律 而且 随着观测次数的增加 偶然误差的规律性表现得更加明显 不可避免 无法消除 有互补性 重庆交通大学课件 8 粗差与多余观测 1 粗差 因读错 记错 测错造成的错误 并非误差 2 多余观测 观测某未知量时进行的多于必要观测数外的观测 目的 发现错误 剔除粗差 提高观测质量 进行精度评定 多余观测为什么不多余 为什么要进行多余观测 重庆交通大学课件 9 二 偶然误差的统计特性 在某测区 等精度观测了217个三角形的内角之和 得到217个三角形闭合差 i 偶然误差 也即真误差 然后对三角形闭合差 i进行分析 分析结果表明 当观测次数很多时 偶然误差的出现 呈现出统计学上的规律性 而且 观测次数越多 规律性越明显 重庆交通大学课件 10 重庆交通大学课件 11 在一定观测条件下 偶然误差的绝对值不会超过一定的限值 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大 绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同 偶然误差的数学期望为零 即 正态分布曲线 偶然误差具有正态分布的特性 重庆交通大学课件 12 39 第一个特性说明偶然误差的 有界性 它说明偶然误差的绝对值有个限值 若超过这个限值 说明观测条件不正常或有粗差存在 第二个特性反映了偶然误差的 密集性 即越是靠近0 误差分布越密集 第三个特性反映了偶然误差的对称性 即在各个区间内 正负误差个数相等或极为接近 第四个特性反映了偶然误差的 抵偿性 它可由第三特性导出 即在大量的偶然误差中 正负误差有相互抵消的特征 因此 当n无限增大时 偶然误差的算术平均值应趋于零 本章的主要内容就是在观测值具有大量偶然误差的情况下如何求得最接近观测对象真值的值及如何评定其精度高低的方法 重庆交通大学课件 13 测量成果中都不可避免地含有误差 在测量工作中 是使用 精度 来判断观测成果质量好坏的 所谓精度 就是指误差分布的密集或离散程度 误差分布密集 误差就小 精度就高 反之 误差分布离散 误差就大 精度就低 三 评定精度的标准 重庆交通大学课件 14 1 中误差 中误差的定义 n为有限个数时的标准差 方差的定义 标准差的定义 例 问题 真值X不知道时怎么办 如何计算m 重庆交通大学课件 15 算术平均值 最或然值 最或是值 设某量的真值为 n个观测值为 其相应的真误差为 将等式两端分别相加并除以n 则 由偶然误差的第四特性可得 当时 即 重庆交通大学课件 16 观测值的该正数 观测值的改正数v是算术平均值与观测值之差 即 将等式两端分别相加 得 即一组等精度观测值的改正值之和恒等于零 用改正数计算中误差公式 白塞尔公式 重庆交通大学课件 17 平方求和 重庆交通大学课件 18 课堂练习 在相同的观测条件下 对某直线进行了五次测量 测量结果分别为 117 255 117 258 117 246 117 261 117 250 求该直线边长的观测值中误差 1 4 8 7 4 586 27 0 重庆交通大学课件 19 2 容许误差 定义由偶然误差的特性可知 在一定的观测条件下 偶然误差的绝对值不会超过一定的限值 这个限值就是容许 极限 误差 区别误差和错误的界限 中误差 真误差和容许误差均是绝对误差 重庆交通大学课件 20 3 相对误差 相对误差K是中误差的绝对值m与相应观测值D之比 通常以分子为1的分式来表示 称其为相对 中 误差 即 一般情况 角度 高差的误差用m表示 量距误差用K表示 重庆交通大学课件 21 39 对于能直接观测的量 如角度 距离 高差等 经过多次观测后 便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差 作为评定观测值精度的标准 但在实际工作中 某些未知量不可能或不便于直接进行观测 而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来 间接观测值 这些未知量即为观测值的函数 例如 在水准测量中 两点间的高差h a b 则h是直接观测值a和b的函数 在角度测量中 水平角 b a 则水平角 就是直接观测值a和b的函数等等 本节所要讨论的就是在直接观测值中误差为已知的情况下 如何求观测值函数值 间接观测值 中误差的问题 阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律 称为误差传播定律 四 误差传播定律 重庆交通大学课件 22 1 一般函数的中误差 令的系数为 3 式为 重庆交通大学课件 23 对Z观测了k次 有k个式 4 重庆交通大学课件 24 由偶然误差的抵偿性知 即 8 重庆交通大学课件 25 8 考虑 代入上式 得中误差关系式 上式为一般函数的中误差公式 也称为误差传播定律 重庆交通大学课件 26 通过以上误差传播定律的推导 我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤 1 列出函数式 2 对函数式求全微分 3 套用误差传播定律 写出中误差式 重庆交通大学课件 27 解 列函数式求全微分中误差式 2 几种常用函数的中误差 重庆交通大学课件 28 2 线性函数的中误差 设有函数式全微分中误差式 例 设有某线性函数其中 分别为独立观测值 它们的中误差分别为求Z的中误差 重庆交通大学课件 29 由于等精度观测时 代入上式 得 由此可知 算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍 函数式全微分中误差式 算术平均值的中误差式 对某观测量进行多次观测 多余观测 取平均 是提高观测成果精度最有效的方法 重庆交通大学课件 30 3 和或差函数的中误差 函数式 全微分 中误差式 当等精度观测时 上式可写成 例 测定A B间的高差 共连续测了9站 设测量每站高差的中误差 求总高差的中误差 解 重庆交通大学课件 31 观测值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总函数式函数的中误差一般函数倍数函数和差函数线性函数算术平均值 重庆交通大学课件 32 下面让我们来看几个例题吧 重庆交通大学课件 33 按三角形的闭合差求测角中误差 已知对某n个三角形的内角进行了同精度观测 并求得它们的闭合差分别为 求观测三角形内角时的测角中误差 三角形闭合差的中误差 菲列罗公式 重庆交通大学课件 34 水准测量中 已知每站高差的中误差为 设每站高差均为等精度观测 求每公里高差中误差和水准路线为 公里的高差中误差 设每站水准路线长为s 则 n S 即n s 代入上式得 则水准路线为 km的高差中误差为 重庆交通大学课件 35 例某一段距离共丈量了六次 结果如表下所示 求算术平均值 观测中误差 算术平均值的中误差及相对误差 148 643 148 590 148 610 148 624 148 654 148 647 148 628 15 38 18 4 26 19 225 1444 324 16 676 361 3046 重庆交通大学课件 36 例 某建筑场地已划定为长方形 独立地测定其长和宽分别为a 30 000m b 15 000m 其中误差分别为ma 0 005m mb 0 003m 求该场地面积A及其中误差mA 1 列出函数关系式 并求函数值A a b 450 000m2 2 求函数对各观测值的偏导函数 3 列出函数的真误差表达式 4 转换为中误差表达式并求其值 解 显然这是一个任意函数 重庆交通大学课件 37 设有函数z 3x y 2l 10其中 x 2l 5 y 3l 6已知l的中误差为ml 计算函数z的中误差mz 解法1 mx 2ml my 3mlmz2 9mx2 my2 4ml2 49ml2