用圆与切线模型解物理极值问题.doc

用圆与切线模型解物理极值问题中学物理Vo1.29No.112011年6月用圆与切线模型解物理极值问题关文胜(开平市忠源纪念中学广东开平529300)从圆与切线模型内在包含的四个方面关系及对应的物理问题类型,举例说明此模型迁移用来解决物理极值问题带来的直观,清晰,便利和高效.1问题的提出在高中物理复习阶段,碰到如下所示一条多选题:在”互成角度的两个力合成”实验中,用A,B两只弹簧秤把皮条上的结点拉到某一位置o,这时A0,Bo间夹角AoB<90.,如图1所示,现改变弹簧秤A的拉力方向,使a角减小,但不改变它的拉力大小,那么要使结点仍被拉到O点,就应调节弹簧秤B拉力的大小及角,在下列调整方法中,哪些是可行的?A.增大B的拉力和口角B.增大B的拉力,口角不变C.增大B的拉力,减小口角D.B的拉力大小不变,增大口角O胃,l图2学生运用正规的正交分解再合成的方法求解,往往只能找到一个正确答案A.学生对正确答案A,B,C觉得很困惑:怎么可能在增大B的拉力前提下,口角增大,不变,减小都对?运用力的合成的三角形定则和圆与切线模型相结合就能直观地解决这个问题.如图2所示,OA为圆弧半径,A,C为切线,AC,AC等即为B的拉力大小,则+:(三角形定则).+=.ACO=A2CO,AC<A2C,对应于卢角不变,B的拉力增大.由OA到0.4再到OA3,口角减小,AC<AlC<A3C,AO0<AlCO,ACO>A3CO,对应于B的拉力一直增大,角先变小,直到最小,然后再变大,直到最大,因而答案A,B,C正确.在这里,切线代表的B的拉力与合力的夹角在所有的B的拉力与合力的夹角中最大(对应于角最小)起到了转折作用,是解决本问题的关键.由此可知圆与切线模型的应用在解决一些物理极值问题时起到了直观揭示问题本质的作用,值得系统整理,总结,以便提高师生解决此类问题的效率.2利用圆外一点与圆上一点,圆心的连线所夹的角度中切线对应的角度最大解决物理极值问题对于物体受三个共点力作用,其中两个力是变化的(其中一个力的大小保持不变)的问题,小船渡河(船速小于水速)的问题等,可建立圆与切线模型,利用圆外一点与圆上一点,圆心的连线所夹的角度中切线对应的角度最大对原物理极值问题进行分析求解.上述问题的提出的例子就是利用切线对应的角度最大求解第一种情况的,下面的例子是利用切线对应的角度最大求解第二种情况的.例1设河水流速为J,船在静水中航行速度为口2,若小船从一岸行驶到对岸,问当船的航行方向怎样时,才能使小船所经过的路程最短?解析以河岸为参照物,小船渡河的速度是由水速和船速合成的:百=+1.解此题要注意的是渡河过程中,一是水和船都在同时运动(等时性),二是从此岸到彼岸只有船速才起作用(互不相干性).当2>时,显然,最短的路程即河宽s,如图3(a)所示,航行方向为偏向上游一个角度,其角度大小为.Vl.鳓”当:<时,垂直河岸的航行方向驶向对岸是不可能的,但总可以找到一个这样的方向,使得航行的路程最短,如图3(b),设小船实际航行速度为,与河岸夹角为口,实际路程为L,则有L=ms,要求L的极小值,即要求sinfl是最大值.在速度合成的矢量三角形o中,设oyV1=0,运用正弦定理一sinflsin0sin=v2s_in0,(si)一=7./2图3由上可见,只有0=詈,即合速度与船速垂直时,小船才有最短路程,此时船的航行方向是:偏向上游,与水流的夹角为号+aresin,其所经过的路程为rSS一肋1一(sinf1)一U2/1一2对于<情形,迁移圆外一点与圆上一点,圆心的连?55?2On年6月Vo1.29No.11中学物理线所夹的角度中切线对应的角度最大这一几何知识来求解十分直观,贴切.如图4所示:以为圆心,Ov2的大小为半径作半圆.从0点作此半圆的切线切圆于点,则此时的角在所有可能的合速度与水流速度的夹角中最大,对应的正弦值最大,航程最短,L一=.图4此时船头指向与水流的夹角2Ovl=口2Ov+卢=号+arcsinY_2.2.uJ3利用切线和圆相切只有一个切点解决物理极值问题这类问题往往是等时圆(由竖直圆顶点沿任意弦由静止开始无摩擦下滑的物体所用的时问相等)与水平面,竖直面或斜面相切,只有一个切点,从竖直圆顶点到此唯一切点的直线轨道就是顶点盈f这些面的最快路径.倒2如图5所示,一质点自倾角为a的料面上方的定点0沿光滑斜槽OP从静止开始下滑,为使质点从0点滑到斜面的时问最短,则斜槽与竖直方向的夹角应为多大?图5解析如图5所示,做以OP为弦的辅助圆:使圆心0与0的连线在竖直线上,圆0经0点且与斜面相切于P点.由于在竖直圆周上从顶点.架设光滑斜槽.质点从任一斜槽顶端滑到底端圆周上的时间为(设圆的半径为R)to=2.故唯有在0点与切点P架设的斜槽满足题设条件,质点沿其他斜槽滑至斜面的时间都大于t0,所以=a/2.4利用切线和过切点的半径垂直的关系解决物理极值问题带电粒子在有界的匀强磁场中受到洛伦兹力的作用做匀速圆周运动,由于边界的存在,经常会产生极值问题,往往需要利用圆与切线模型中切线和过切点的半径垂直的关系解直角三角形才能获得正确答案.例3如图6(a)所示,在POQ区域内分布有磁感应强度为8的匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,有一束负离子流沿纸面垂直于磁场边界0Q方向从A点射入磁场,已知=,LPoQ=45,负离子的质量为m,带电量的绝对值为口,要使负离子不从OP边射出,负离子进入磁场的速度最大不能超过.解析在入射点A作出离子所受洛伦兹力方向AQ,根据题意离子出射速度临界方向为CP,作出出射速度反向延长线与初速度.的交点为D,作出/ADC的角平分线DO与0Q交于0点,0.点即为离子作圆周运动的圆心,从而作出离子运动轨迹的示意图,如图6(b)所示,设圆弧半径为R,在直角三角形(30C中,有(21)n=,解之得半径?56?(a)(b)图6有=+1),即负离子进入磁场的速度最大不能超过(+1).HI在求解过程中充分利用半径0C与切线CP垂直获得直角三角形0o.C,通过解此三角形能直观得到半径R与已知距离s的关系,最终利用洛伦兹力提供向心力求出初速度再作比较而解出最大初速度.5利用”圆外的一点与圆上一点的连线中.圆心刭切线的距离最远”解决物理极值问题在匀强电场中运动的带电粒子受到圆形边界的束缚,或受到重力作用的物体在竖直平面内作圆周运动.都会出现极值问题,很多时候需要用到与切线垂直的半径是最长的有效距离来求解.例4如图7(a)所示,一个绝缘光滑半圆环轨道教在竖直向下的匀强电场E中,在环的上端.一个质量为,带电量为+q的小球由静止开始沿轨道运动,则小球经过环的什么位置时速度最大?解析小球经过环的最低点时速度最大.小球在运动过程中除重力外电场力做功,故机械能不守恒.根据重力和电场力做功特点,它们所做的功与路径无关,当两个等势面间距离最大时做功最多,当带正电小球从环的上端到经过最低点过程中,重力和电场力都做正功,并两个等势面问距离也最大,做功最多.根据动能定理,小球经过环的最低点时动能最大,所以速度最大.(a)(b)图7实际上,可利用”圆外的一点与圆上一点的连线中,圆心到切线的距离最远”求解此极值问题.如图7(b)所示,从圆心到最低点的半径(OA)沿竖直方向,既与小球的速度垂直,也是小球运动轨迹在电场,重力场方向的投影,根据”圆外