高中数学第5章两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第4课时）二倍角的正弦、余弦、正切公式讲义新人教A版.docx

第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明(难点)3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用(易错点)1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.2.借助运算求值，提升数学运算素养.1二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2sin 22sin_cos_C2cos 2cos2sin2T2tan 22.余弦的二倍角公式的变形3正弦的二倍角公式的变形(1)sin cos sin 2，cos .(2)1sin 2(sin_cos_)2.1下列各式中，值为的是()A2sin 15cos 15Bcos215sin215C2sin215 Dsin215cos215B2sin 15cos 15sin 30；cos215sin215cos 30；2sin2151cos 301；sin215cos2151，故选B.2sin 15cos 15_.sin 15cos 152sin 15cos 15sin 30.3.cos2_.cos2.4若tan 2则tan 2_.tan 2.给角求值【例1】(1)coscoscos的值为()A.BC. D(2)求下列各式的值：cos415sin415；12sin275；.(1)Dcoscos，coscos，coscoscoscoscoscos.(2)解cos415sin415(cos215sin215)(cos215sin215)cos215sin215cos 30.12sin2751(1cos 150)cos 150cos 30.222.4.对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.1求下列各式的值(1)cos 72cos 36；(2).解(1)cos 36cos 72.(2)原式4.给值求值、求角问题【例2】(1)已知cos，求cos的值；(2)已知，且sin 2sin，求.思路点拨依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)与2，与2具有2倍关系，用二倍角公式联系；(2)2与2差，用诱导公式联系解(1)，.cos0，sin，cos 2sin2sincos2，sin 2cos12cos2122，coscos 2sin 2.(2)sin 2cos12cos2，sinsincoscos，原式可化为12cos2cos，解得cos1或cos.，故0或，即或.1在例2(1)的条件下，求sin 4的值解由例2(1)解析知sin 42sin 2cos 22.2将例2(1)的条件改为sin，0x，求的值解0x，x.又sin，cos.又cos 2xsin2sincos2，cossinsin，原式.解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x类似的变换还有：cos 2x，化简证明问题探究问题1解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形2证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导【例3】(1)化简：_.(2)证明：4.思路点拨(1)通分变形(2)(1)tan 2原式tan 2.(2)证明左边4右边，所以原等式成立证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.2求证：(1)cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B；(2)cos2(1tan2)cos 2.证明(1)左边(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右边，等式成立(2)法一：左边cos2cos2sin2cos 2右边法二：右边cos 2cos2sin2cos2cos2(1tan2)左边1对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是的二倍；是的二倍；是的二倍；(nN*)2二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛二倍角余弦公式的常用形式：1cos 22cos2，cos2，1cos 22sin2，sin2.1思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(2)存在角，使得sin 22sin 成立()(3)对于任意的角，cos 22cos 都不成立()提示(1).二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求k(kZ)且k(kZ)，故此说法错误(2).当k(kZ)时，sin 22sin .(3).当cos 时，cos 22cos .答案(1)(2)(3)2已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为3Bf(x)的最小正周期为，最大值为4Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3Df(x)的最小正周期为2，最大值为4B易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x1(2cos2x1)1cos 2x，则f(x)的最小正周期为，当xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为4.3设sin 2sin ，则tan 2的值是_sin 2sin ，2sin cos sin .