大地测量学基础[1].(8)(控制)ppt

南京工业大学土木学院 1 第八章椭球面元素归算至高斯平面 高斯投影高斯在1820 1830年间在对德国汉诺威三角测量成果进行数据处理时提出 史赖伯于1866年出版的名著 汉诺威大地测量投影方法的理论 中进行了整理和加工 克吕格1912年对高斯投影进行了比较深入的研究和补充 从而使之在许多国家得以应用 称之为高斯 克吕格投影 南京工业大学土木学院 2 8 1高斯投影概述 8 1 1控制测量对地图投影的要求 应当采用等角投影 又称为正形投影 长度和面积变形不大能按高精度的 简单的 同样的计算公式把各区域联成整体 南京工业大学土木学院 3 8 1 2高斯投影描述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面 并与某一条子午线 此子午线称为中央子午线或轴子午线 相切 椭圆柱的中心轴通过椭球体中心 然后用一定投影方法 将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上 再将此柱面展开即成为投影面 我国规定按经差6 和3 进行投影分带 南京工业大学土木学院 4 工程测量控制网也可采用 5 带或任意带 但为了测量成果的通用 需同国家6 或3 带相联系 高斯投影6 带 自0 子午线起每隔经差6 自西向东分带 依次编号1 2 3 我国6 带中央子午线的经度 由69 起每隔6 而至135 共计12带 带号用n表示 中央子午线的经度用 表示 它们的关系是 高斯投影3 带 L 南京工业大学土木学院 5 高斯平面直角坐标 南京工业大学土木学院 6 在投影面上 中央子午线和赤道的投影都是直线 并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点 以中央子午线的投影为纵坐标轴 以赤道的投影为横坐标轴 南京工业大学土木学院 7 在我国x坐标都是正的 y坐标的最大值 在赤道上 约为330km 为了避免出现负的横坐标 可在横坐标上加上500000m 此外还应在坐标前面再冠以带号 这种坐标称为国家统一坐标 Y 19123456 789m 该点位在19带内 其相对于中央子午线而言的横坐标则是 首先去掉带号 再减去500000m 最后得y 376543 211m 南京工业大学土木学院 8 高斯投影由于是正形投影 故保证了投影的角度的不变性 图形的相似性以及在某点各方向上的长度比的同一性 由于采用了同样法则的分带投影 这既限制了长度变形 又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算 并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行 南京工业大学土木学院 9 8 1 3椭球面元素化算到高斯投影面椭球面三角形投影后变为边长si 的曲线三角形 且这些曲线都凹向纵坐标轴 南京工业大学土木学院 10 将椭球面三角系归算到高斯投影面1 将起始点P的大地坐标 L B 归算为高斯平面直角坐标x y 为了检核还应进行反算 亦即根据x y反算B L 这项工作统称为高斯投影坐标计算 2 将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边P K 的坐标方位角 这是通过计算该点的子午线收敛角 及方向改化 实现的 南京工业大学土木学院 11 3 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角 这是通过计算各方向的曲率改化即方向改化来实现的 4 将椭球面上起算边PK的长度S归算到高斯平面上的直线长度s 这是通过计算距离改化 实现的 南京工业大学土木学院 12 要将椭球面三角系归算到平面上 包括坐标 曲率改化 距离改化和子午线收敛角等项计算工作 当控制网跨越两个相邻投影带 以及为将各投影带联成统一的整体 还需要进行平面坐标的邻带换算 南京工业大学土木学院 13 8 2正形投影的一般条件特点 正形投影中长度比与方向无关但随点位而异8 2 1长度比的通用公式投影前长度投影后长度 南京工业大学土木学院 14 令 则 南京工业大学土木学院 15 则长度比的表达式为 由上式全微分得 将其代入上式并令 南京工业大学土木学院 16 南京工业大学土木学院 17 8 2 2柯西 黎曼条件代入式 南京工业大学土木学院 18 并化简得 如前所述 欲使投影为正形投影 则应与无关 为此 必须满足 南京工业大学土木学院 19 即 由第一式得 代入第二式 南京工业大学土木学院 20 得 消去共同项得 南京工业大学土木学院 21 将上式开方并代入由第一式得到的表达式得 上式就是著名的柯西 黎曼微分方程式 南京工业大学土木学院 22 通常我们在选取椭球面和平面的坐标轴时要求椭球面上沿经线方向增加时 平面上的也增加 即要求为正 沿经线方向增加时 平面上的也增加 即要求也为正 南京工业大学土木学院 23 顺便指出 在满足的条件下 上式在今后推导长度比公式时常用到 南京工业大学土木学院 24 8 3高斯投影坐标正反算公式8 3 1高斯投影坐标正算公式 高斯投影必须满足以下三个条件 1 中央子午线投影后为直线 2 中央子午线投影后长度不变 3 投影具有正形性质 即正形投影条件 南京工业大学土木学院 25 复变函数中有关保角映射的定义及定理定义 凡是具有保角性和伸缩率不变性的映射称为保角映射 定理 如果函数在处解析 且那么这个映射在处是保角的 定理 关于函数解析的充要条件 函数在其定义域内解析的充要条件是 和 南京工业大学土木学院 26 在内任意一点可微 且满足柯西 黎曼条件方程式 由于高斯投影是正形投影 故和必须满足正形投影公式 用复变函数理论可证明上式是保角映射 即可证明 南京工业大学土木学院 27 说明 是将椭球面正形投影到平面上的一般公式在椭球面上过作一平行圈与中央子午线相交于处 设赤道到的子午线弧长为 南京工业大学土木学院 28 点在平面上的投影点为 它的纵坐标为由于高斯投影规定中央子午线投影为轴 且长度保持不变 即则且高斯投影中规定为一小量 故可按台劳级数在点上展开 得 南京工业大学土木学院 29 因为 故上式可改写为 有复数相等的条件得 南京工业大学土木学院 30 因为 所以 其次 南京工业大学土木学院 31 继续求得 南京工业大学土木学院 32 代入 南京工业大学土木学院 33 得 南京工业大学土木学院 34 得 南京工业大学土木学院 35 8 3 2高斯投影坐标反算公式 在高斯投影坐标反算时 原面是高斯平面 投影面是椭球面 已知的是平面坐标 x y 要求的是大地坐标 B L 相应地有如下投影方程 同正算一样 对投影函数提出三个条件 1 x坐标轴投影成中央子午线 是投影的对称轴 南京工业大学土木学院 36 2 x轴上的长度投影保持不变 3 正形投影条件 反算公式的推导基本思路是 首先根据计算纵坐标在椭球面上的投影的垂足纬度 接着计算及经差 最后得到 南京工业大学土木学院 37 已知求 这是高斯投影的反算问题 因投影是正形的 故与必须满足 式中值和椭球半径相比也是不大的 故上式可在点的底点处按台劳级数展开 点的坐标为 南京工业大学土木学院 38 于是有 根据高斯投影条件2 中央子午线投影后应为轴 且长度保持不变 故有则 即 且 为底点的子午线弧长 故 南京工业大学土木学院 39 所以有 再根据 可进一步导出其他各阶导数 将各阶导数代入 南京工业大学土木学院 40 并把虚实两部分分开 可得 南京工业大学土木学院 41 实际应用时 还应把换以 为此要运用下面两式 南京工业大学土木学院 42 先将该两式中凡有下标0的各量换以下标随后将上式中的一律用推导出来的结果代入 经整理后便得 南京工业大学土木学院 43 8 3 3高斯投影坐标正反算公式的几何解释 南京工业大学土木学院 44 反算公式 南京工业大学土木学院 45 高斯投影的特点 1 当等于常数时 随着B的增加x值增大 y值减小 又因 所以无论B值为正或负 y值不变 这就是说 椭球面上除中央子午线外 其他子午线投影后 均向中央子午线弯曲 并向两极收敛 同时还对称于中央子午线和赤道 南京工业大学土木学院 46 2 当B等于常数时 随着l的增加 x值和y值都增大 所以在椭球面上对称于赤道的纬圈 投影后仍成为对称的曲线 同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极 3 距中央子午线愈远的子午线 投影后弯曲愈厉害 长度变形也愈大 南京工业大学土木学院 47 8 4高斯投影坐标计算的实用公式及算例8 4 1高斯投影正算公式 纵坐标 南京工业大学土木学院 48 横坐标 南京工业大学土木学院 49 在编表时引用下列符号 南京工业大学土木学院 50 同样 南京工业大学土木学院 51 于是有 这就是用于查表的实用公式都可以纬度为引数 和以为引数 其中需进行二次内插 南京工业大学土木学院 52 8 4 2 高斯投影反算公式 南京工业大学土木学院 53 经差 南京工业大学土木学院 54 在编表时引用下列符号 南京工业大学土木学院 55 同样 南京工业大学土木学院 56 于是有 南京工业大学土木学院 57 8 4 3 适用于电算的高斯坐标计算公式1 高斯投影正算公式 令 南京工业大学土木学院 58 式中有关参数如下 对于克拉索夫斯基椭球 南京工业大学土木学院 59 对于1975国际椭球 其中子午线弧长可按下式计算 对于克拉索夫斯基椭球 南京工业大学土木学院 60 对于克拉索夫斯基椭球 对于1975国际椭球 南京工业大学土木学院 61 当把有关克氏椭球参数代入原始式后 经过简单变化 可以得到更实用的正算电算公式 南京工业大学土木学院 62 式中 南京工业大学土木学院 63 当把1975国际椭球参数代入原始式后 经过简单变化 可以得到更实用的正算电算公式 南京工业大学土木学院 64 式中 南京工业大学土木学院 65 2 高斯投影反算公式 南京工业大学土木学院 66 底点纬度可直接按下式求解 对于克拉索夫椭球 当时 南京工业大学土木学院 67 当时 南京工业大学土木学院 68 对于1975国际椭球 当时 南京工业大学土木学院 69 当时式中均以 千公里 为单位 南京工业大学土木学院 70 当把有关克氏椭球参数代入原始式后 经过简单变化 可以得到更实用的正算电算公式 南京工业大学土木学院 71 式中 南京工业大学土木学院 72 且 南京工业大学土木学院 73 当把1975国际椭球参数代入原始式后 经过简单变化 可以得到更实用的正算电算公式 式中 南京工业大学土木学院 74 南京工业大学土木学院 75 8 5平面子午线收敛角公式8 5 1平面子午线收敛角的定义 南京工业大学土木学院 76 8 5 2公式推导1 由大地坐标L B计算平面子午线收敛角 的公式 南京工业大学土木学院 77 南京工业大学土木学院 78 1 为的奇函数 而且愈大 也愈大 2 有正负 当描写点在中央子午线以东时 为正 在西时 为负 3 当不变时 则随纬度增加而增大 南京工业大学土木学院 79 2 由平面坐标计算平面子午线收敛角的公式 南京工业大学土木学院 80 8 6方向改化公式 南京工业大学土木学院 81 8 6 1方向改化近似公式的推导在球面上四边形ABED的内角之和等于由于是等角投影 所以这两个四边形内角之和应该相等 即 南京工业大学土木学院 82 而 南京工业大学土木学院 83 8 6 2方向改化较精密公式 上式精确至 故通常用于二等三角测量计算 南京工业大学土木学院 84 若 则需用下面的精密公式计算 南京工业大学土木学院 85 8 6 3实用公式及算例 南京工业大学土木学院 86 于是 可把方向改正的实用公式汇总如下 对于一等三角测量 有对于二等三角测量 有 南京工业大学土木学院 87 对于三 四等三角测量 有 南京工业大学土木学院 88 8 7距离改化公式 南京工业大学土木学院 89 8 7 1s与D的关系 南京工业大学土木学院 90 8 7 2长度比和长度变形1 用大地坐标表示的长度比的公式 南京工业大学土木学院 91 对求偏导 或 南京工业大学土木学院 92 上式即为用大地坐标求长度比的近似公式 现不加推导直接写出更精确的长度比的计算公式 南京工业大学土木学院 93 或写成 式中 南京工业大学土木学院 94 2 用平面坐标表示的长度比的公式为此取下式的主项 解出 南京工业大学土木学院 95 代入 得 因为 所以上式变为 南京工业大学土木学院 96 同理也可以得到更精确的长度比公式 或写成 式中 南京工业大学土木学院 97 下表给出长度比的大约数值 1 长度比只与点的位置或有关 2 中央子午线投影后长度不变 3 当 或 时 恒大于1 南京工业大学土木学院 98 4 长度变形与 或 成比例地增大 而对某一条子午线来说 在赤道处有最大的变形 8 7 3距离改化公式将椭球面上大地线长度描写在高斯投影面上 变为平面长度 南京工业大学土木学院 99 故距离改化公式为更精密的距离改化公式为上式计算精度可达 要使计算要求达 则有更精确的距离改化公式 南京工业大学土木学院 100 即 南京工业大学土木学院 101 8 8高斯投影的邻带坐标换算 1 位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带 东 西带 的控制网 南京工业大学土木学院 102 2 在分界子午线附近地区测图时 往往需要用到另一带的三角点作为控制 因此必须将这些点的坐标换算到同一带中 3 当大比例尺 1 10000或更大 测图时 特别是在工程测量中 要求采用3 带 1 5 带或任意带 而国家控制点通常只有6 带坐标 这时就产生了6 带同3 带 或1 5 带 任意带 之间的相互坐标换算问题 南京工业大学土木学院 103 8 8 1用高斯投影正 反算公式进行邻带换算 间接换带利用高斯投影正反算公式进行邻带坐标换算的实质是把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标 计算步骤 1 2 求出 对于相邻带中央子午线的经差 3 南京工业大学土木学院 104 8 8 2直接换带法 金扬善换带公式1 基本原理将 1 对称点的选择及其作用设 则 将一点两带的问题转化为两点一带 南京工业大学土木学院 105 如图 南京工业大学土木学院 106 如图 为西带的坐标系和分别为点和点在西带的投影 2 辅助点的选择建立和间的关系 通过选择辅助点实现之 将辅助点选择在分带子午线上 南京工业大学土木学院 107 3 公式的建立 有图知 则 而 南京工业大学土木学院 108 由坐标增量公式得 南京工业大学土木学院 109 显然 欲求只要求得为已知而欲求只要求得即可 因为也是已知的 也是可求的 南京工业大学土木学院 110 若令 见图 则公式推导就简单了 南京工业大学土木学院 111 以上就是邻带换算的基本原理下面进一步讨论求得和的方法 2 公式推导由得 南京工业大学土木学院 112 得 因为很小 略去项 并展开 南京工业大学土木学院 113 得 由于 则 南京工业大学土木学院 114 所以 同理 则 南京工业大学土木学院 115 略去 和项得 南京工业大学土木学院 116 顾及 式中 南京工业大学土木学院 117 而 南京工业大学土木学院 118 所以 略去 得 南京工业大学土木学院 119 同理 同理 同理 南京工业大学土木学院 120 上式不能直接应用 因为右端含有和因此 必须用逐次趋近法来求它们 有上式右端第一项作为和的近似值 即 代入上式得 南京工业大学土木学院 121 即 南京工业大学土木学院 122 又因为 故 以上我们推出了公式的主要项 实际上上式中项的系数比这里写的要复杂得多 南京工业大学土木学院 123 于是得到换带公式 用上面推导的公式进行换带计算时 在最不利的情况下 误差不超过一米 若需换算误差不大于0 002m的公式则有 南京工业大学土木学院 124 有 南京工业大学土木学院 125 同样 南京工业大学土木学院 126 3 三度带与六度带的相互换算有图可知 三度带和六度带有以下关系 即半数三度带 带号为奇数 的中央子午线和六度带的中央子午线重合 而半数三度带 带号为偶数 的中央子午线和六度带的分带子午线 南京工业大学土木学院 127 重合 因此 对于前者 由于轴子午线一致 所以两