第32讲等比数列的概念及基本运算

新课标高中一轮总复习 第五单元数列 推理与证明 第32讲 等比数列的概念及基本运算 1 理解等比数列的概念 2 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等比数列与指数函数的关系 1 已知数列 an 的前n项和Sn an 3 a为不等于零的实数 那么数列 an D A 是等比数列B 当a 1时是等比数列C 从第2项起是等比数列D 从第2项起是等比数列或等差数列 由Sn an 3 可得an a 3 n 1 a 1 an 1 n 2 当a 1时 数列 3 0 0 0 为从2项起的等差数列 当a 1时 为从第2项起的等比数列 2 已知等比数列 an 满足a1 a2 3 a2 a3 6 则a2011 A A 22010B 22011C 32010D 32011 令 an 的公比为q 则a1 1 q 3 a1q 1 q 6 则a1 1 q 2 所以a2011 a1 q2010 22010 3 若数列 an 成等比数列 则 a2010 a2012 16 是 a2011 4 的 B A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 由a2010 a2012 16 则a2011 4 充分性不满足 由a2011 4 则a2010 a2012 a20112 16 4 2010 江苏溧水模拟 等比数列 an 中 Sn是数列 an 的前n项和 S3 3a3 则公式q 或1 当q 1时 an a1 S3 3a3 则q 1符合题意 当q 1时 3a1q2 解得q 或1 舍去 所以q 或1 5 2009年 某内河可供船只航行的河段长为1000km 但由于水资源的过度使用 促使河水断流 从2010年起 该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的 则到2018年 该内河可行驶的河段长度为km 1000 设an表示第n年船只可行驶河段长度 2009为第一年 则an an 1 a1 1000 所以an 1000 n 1 a10 1000 9 等比数列 1 等比数列定义 n N 这是证明一个数列是等比数列的依据 也可由an an 2 an 12来判断 2 等比数列的通项公式为 3 对于G是a b的等比中项 则G2 ab G q 非零常数 an a1 qn 1 4 特别要注意等比数列前n项和公式应分为q 1与q 两类 当q 1时 Sn 当q 时 Sn na1 或 题型一等比数列的基本运算 例1 在等比数列 an 中 已知a1 an 66 a2an 1 128 Sn 126 求n和q 利用等比数列的性质 将a2an 1转换成a1an 从而求出a1和an 再根据等比数列的通项公式与前n项和公式列方程组求解 因为a2an 1 a1an 所以a1an 128 a1an 128a1 an 66 a1 64a1 2an 2an 64将 代入Sn 得q 由an a1 qn 1 得n 6 将 代入Sn 得q 2 由an a1 qn 1 得n 6 解方程组 解得 或 1 对于 知三求二 问题 通常是利用通项公式与前n项公式列方程组求解 但有时计算过程较繁杂 若注意运用等比数列的性质解题 就可化繁为简 2 当已知a1 q q n时 用公式Sn 求和较为方便 当已知a1 q q an时 则用公式Sn 求和较为方便 一个等比数列有三项 如果把第二项加上4 那么所得的三项就成等差数列 如果再把这个等差数列的第三项加上32 那么所得的三项又成等比数列 求原来的等比数列 设所求的等比数列为a aq aq2 则2 aq 4 a aq2 且 aq 4 2 a aq2 32 解得a 2 q 3或a q 5 故所求的等比数列为2 6 18或 这种解法利用等比数列的基本量a1 q 先求公比 后求其他量 这是解等差数列 等比数列的常用方法 其优点是思路简单 实用 缺点是有时计算较繁杂 题型二等比数列的判定及证明 例2 2010 都昌模拟 已知数列 an 满an n n为奇数 an 2n n为偶数 1 求a2 a3 a4 a5 2 设bn a2n 2 求证 数列 bn 是等比数列 3 在 2 的条件下 求数列 an 的前100项中所有偶数项的和 足 a1 1 an 1 1 因为a1 1 当n 1 奇数 a2 a1 1 当n 2 偶数 a3 a2 2 2 同理 a4 a5 2 证明 因为bn a2n 2 所以 又b1 a2 2 所以数列 bn 是以b1 为首项 公比为的等比数列 3 由 2 得bn n 1 n a2n 2 所以a2n 2 n 所以S a2 a4 a100 2 2 2 2 50 2 50 99 本题是以分段形式给出的数列通项 特别要根据n的奇偶选递推式 而不是an 1的下标的奇偶 同时判定等比数列的常用方法有两种 第一种定义法 即证 q q是非零常数 另一种是等比中项法 即证an2 an 1 an 1 当已知通项公式或把递推公式看作一整体时 常用定义法 题型三等比数列的最值 例3 等比数列 an 的首项为a1 2010 公比q 1 设bn表示数列 an 的前n项的积 求bn的表达式 2 在 1 的条件下 当n为何值时 数列 bn 有最大项 1 因为an 2010 n 1 所以bn a1 a2 an 2010n 0 1 2 n 1 2010n 1 求出 an 的通项公式 再由bn a1 a2 an得表达式 2 先判断bn的符号 再由 bn 的单调性 进一步探求 2 因为 所以 当n 10时 1 所以 b11 b10 b1 当n 11时 b12 又因为b110 b12 0 所以bn的最大值是b9和b12中的最大者 因为 20103 30 2010 10 3 1 所以当n 12时 bn 有最大项为b12 201012 66 等比数列的通项公式类同于指数函数 根据公比q与首项a1的正负 大小有不同的单调性 a1 0a1100q 10 q 1为单调减数列 当q 0时为摆动数列 应分类讨论其项的符号与绝对值 或 当 当 或 2010 安徽师大附中 设数列 bn 的前n项和为Sn bn 2 2Sn 数列 an 为等差数列 且a5 14 a7 20 1 求数列 bn 的通项公式 2 若cn an bn n 1 2 3 Tn为数列 cn 的前n项和 求证 Tn 1 由bn 2 2Sn 令n 1 则b1 2 2S1 又S1 b1 所b1 当n 2时 由bn 1 2 2Sn 1 可得bn bn 1 2 Sn Sn 1 2bn 即 所以 bn 是以b1 为首项 为公比的等比数列 于是bn 2 2 数列 an 为等差数列 公差d a7 a5 3 可得an 3n 1 从而cn an bn 2 3n 1 所以Tn 2 2 5 8 3n 1 所以Tn 2 2 5 3n 4 3n 1 所以Tn 2 3 3 3 3 3n 1 从而Tn 当出现由等差数列与等比数列的积构成的新数列时 乘公比 错项相消法是首选 此时一定要注意公比是否为1 1 方程思想的应用 在等比数列的五个基本量a1 an q n Sn中 知三求二 一般是运用通项公式和前n项和公式列方程 通过解方程求解 2 等比数列的判定常用定义法和等比中项法 而证明不是等比数列时 只需举反例 常从前几项入手 2009 江苏卷 设 an 是公比为q的等比数列 q 1 令bn an 1 n 1 2 若数列 bn 有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 则6q 9 因为数列 bn 有连续四项在集合 53 23 19 37 82 中 又an bn 1 所以数列 an 有连续四项在集合 54 24 18 36 81 中 且必有正项 负项 又 q 1 所以q 1 因此ak ak 1 ak 2 ak 3 k N 正负相间 且 ak ak 1 ak 2 ak 3 单调递增 故等比数列四项只能为 24 36 54 81 此时 公比为q 6q 9 2009 山东卷 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知对任意的n N 点 n Sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 2 当b 2时 记bn 2 log2an 1 n N 证明 对任意的n N 不等式 成立 1 因为对任意的n N 点 n Sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 所以Sn bn r 当n 1时 a1 S1 b r 当n 2时 an Sn Sn 1 bn r bn 1 r bn bn 1 b 1 bn 1 因为b 0 且b 所以 当n 时 数列 an 是以b为公比的等比数列 又a1 b r a2 b b 1 所以 b 即