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文档简介

函数的值域 绍兴艺术学校徐建军 1 函数的值域的定义在函数y f x 中 与自变量x的值对应的y的值叫做函数值 函数值的集合叫做函数的值域 知识点 2 确定函数的值域的原则 当函数y f x 用表格给出时 函数的值域是指表格中实数y的集合 当函数y f x 用图象给出时 函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合 当函数y f x 用解析式给出时 函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定 当函数y f x 由实际问题给出时 函数的值域由问题的实际意义确定 3 求函数值域的方法 直接法 从自变量x的范围出发 推出y f x 的取值范围 二次函数法 利用换元法将函数转化为二次函数求值域 反函数法 将求函数的值域转化为求它的反函数的值域 单调性法 利用函数的单调性求值域 图象法 数形结合 判别式法 运用方程思想 依据二次方程有根 求出y的取值范围 不等式法 利用平均不等式求值域 均值定理 求导法 当一个函数在定义域上可导时 可据其导数求最值 再得值域 几何意义法 由数形结合 转化斜率 距离等求值域 例1 y x2 4x 1求满足下列条件的值域 x R x 0 3 x 1 1 一 直接法 常见函数及给定函数定义域求值域最佳方法 数形结合 例2 求下列函数的值域 应用举例 形如 的函数可令 则转化为关于t的二次函数求值 形如含有的结构的函数 可用三角换元令x acos 求解 配方法 2 4 换元法 三角换元法 例3 求下列函数的值域 形如 可用反函数法或分离常数法求 形如 可用判别式法求 反函数法或分离常数法 判别式法 例4 求下列函数的值域 可转化为各项为正 并和或积为定值时 可考虑用不等式法求值域 但要注意 问题 形可化为用它在上递减 在上递增 求值域 练习 求值域 不等式法 用的单调性 例5 求下列函数的值域 形如 可转化为斜率或用三角函数有界性求解 形如 的题目可转化为距离求解 形如 的高次函数可用导数求解 变式二 例7 已知函数的定义域为R 值域为 0 2 求m n的值 变式一 例6 已知函数值域为 1 5 求实数a c的值 三 小结1 熟练掌握求函数值域的几种方法 并能灵活选用 2 求值域时要务必注意定义域的制约
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