结构设计中材料分散性的统计特征分析.doc

此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除 结构设计中材料性能分散性统计 特征的影响分析 结构设计中材料性能分散性统计特征的影响分析 摘 要在大多数情况下，由于结构件需要试验至破坏，且航空发动机结构件及材料费用较高，因而很难对大量的试件进行试验。在小样本甚至极小样本（5）条件下，构件及其材料的统计特性分析已成为亟待解决的问题。本文主要针对小样本试验的统计分析进行，首先给出了传统的样本试验数据分析方法，包括数据的采样，数据检验，数据参数估计等内容；而对于小样本在一定置信度的一定存活率下的单侧容限估计，总结、比较了几种比较经典的单侧容限系数的近似求解方法，对其优缺点进行了分析，并结合工程实际分析了其适用性；探讨了不完全数据的单侧容限估计方法，并通过数值模拟验证，给出了求解最优线性无偏估计单侧容限系数的模拟计算方法。最后将已取得的结果用于一S-N曲线拟合实例中，提出了适用于不完全数据的试验方法，并利用得出的S-N曲线对传统的压气机转子叶片寿命估计方法进行了改进。关键词：材料性能分散性，小样本估计，单侧容限系数，P-S-N曲线试验方法The Analysis on The Effect of The Statistical Characteristics of Materials Performance Scatter in Structural designAbstractIn most cases , the test components must be test to failure , and in the aerospace field the components or materials are usually very expensive, thus a large number of test samples are not feasible , our experiments are usually limited by time and funds, for small samples even Minimal samples (5) , the analysis of statistical properties of the materials or components becomes a serious problem to be solved . This paper mainly researches on small sample tests.The first ,the paper shows the traditional analysis methods of the data of experimental samples, including the collection, the test, the estimation of the data parameter and so on. For small samples unilateral tolerance coefficientat a certain confidence level , a certain survival rate , we summarized and compared seval classical approximate solution methods of the unilateral tolerance coefficients, and analyzed its advantages and disadvantages , and based on engineering practice analyzed its practicality. The second we discussed the estimation methods of the unilateral tolerance in the case of incomplete data, and validated through numerical simulation , found the simulation methods of solving the best linear unbiased estimation unilateral tolerance coefficients.Finally, the results have been obtained for an instance of S-N curve fitting, and I proposed a kind of method of test applicable to the incomplete data.By using the obtained S-N curves the traditional method of the life estimation for the compressor rotor blade was improved.Keywords : dispersion of material properties , small sample estimations, unilateral tolerance coefficients , methods of the test of P-S-N curves目 录1 绪论1 1.1 论文的研究背景及意义1 1.2 国内外研究现状及相关研究进展1 1.3 本文的研究方法及主要研究内容22 基本的实验数据统计方法5 2.1 数据采样分析5 2.2 数据前处理5 2.2.1 显著性检验5 2.2.2 可接受性检验6 2.2.3 正态分布形式的确定7 2.2.4 预处理8 2.3 正态分布数据常用处理方法10 2.3.1 参数的点估计10 2.3.2 参数的区间估计14 2.4 小结173 完全数据下单侧容限系数分析与比较18 3.1 单侧容限系数18 3.1.1 正态分布容忍限的精确值18 3.1.2 经典一阶近似Dempskey近似公式19 3.1.3 的经典二阶近似21 3.1.4 改进后的二阶近似限22 3.1.5 新单侧容限系数23 3.1.6 应用部分历史数据的二维单侧容限系数24 3.1.7 Bayes近似限26 3.2 单侧容限系数总结分析27 3.2.1 几种单侧容限系数对比27 3.2.2 关于标准差修正系数的讨论30 3.3 小结334 不完全数据下的单侧容限系数35 4.1 不完全数据35 4.2 不完全数据的传统区间估计方法35 4.3 基于最优线性无偏估计的系数的数值模拟36 4.4 小结395 实例分析40 5.1 完全数据的应力疲劳试验方法40 5.1.1 有限寿命区的疲劳数据分析41 5.1.2 有限寿命区域中的设计S-N曲线42 5.1.3 疲劳强度试验43 5.2 不完全数据的疲劳应力试验与数据处理45 5.3 发动机叶片定寿方法改进48 5.3.1 发动机压气机转子叶片定寿的传统方法48 5.3.2 考虑材料分散性和载荷分散性的压气机转子叶片定寿方法48 5.4 小结50结论51致谢53参考文献54精品文档1 绪论1.1 论文的研究背景及意义材料或构件由于其本身的不均匀性及加工产生的缺陷所导致的材料性能的分散性，将导致材料统计特性（如屈服强度，拉伸强度，疲劳极限等）及构件的疲劳寿命等以一定的分布形式呈现出来。工程中应用材料性能时，不仅需要材料基本性能的平均值，更需要一定的置信度下，满足给定的存活率的材料的统计特性，并且有时还需要知道在一定置信度下，在某一个统计特性选取后材料的存活率为多少，即在这种条件下材料的“可靠性”数据。但大多数情况，由于试验构件需试验至破坏，且航空领域中的构件或材料造价较昂贵，因而对于大量的试样进行试验是不可能的，因此解决小样本甚至极小样本（n5）材料或构件的统计特性分析已成为亟待解决的问题，其中包括完全数据和不完全数据分析两部分内容，对此国内外已有大量相关的研究内容，本文将在已有研究成果的基础上，提出具体的处理方法并与其他方法进行分析对比，通过一S-N曲线拟合实例以及数据模拟的方法加以分析论证。1.2 国内外研究现状及相关研究进展对于单侧容限系数，国内外的研究成果很多，最早的是Wald和Wolfowitz于1946年提出的正态单边容限系数的精确解，但由于其工程实际应用性较差。在美国海军用的可靠性和有效性评审程序手册 美 童珣洲. 可靠性和有效性评审程序手册M. 北京： 宇航出版社， 1985:74-114.中，推荐了Dempskey给出的正态容限系数、正态单边容限系数及正态单边可靠性下限的近似公式。随后在1987年，周源泉给出了其单侧容限系数的经典二阶近似 周源泉. Dempskey公式及其改进J. 强度与环境， 1987， 第一期（总59）： 37-46.，以及Bayes近似限 周源泉，翁朝曦. 可靠性评定M. 北京： 科学出版社， 1990:190-128.。田国梁于1993年提出了与精确限符合较好的改进后的单侧容限系数 田国梁. 正态分布可靠性寿命经典近似限的改进J. 强度与环境， 1993， 第3期（总91）： 30-33.。与此同时，傅惠民提出了充分利用历史数据的二维单侧容限系数 傅惠民. 二维单侧容限系数方法J. 航空学报， 1993， 第14卷（第3期）： 166-172.。1995年，徐人平提出了新单侧容限系数 徐人平. 新单侧容限系数即其应用分析J. 云南工业大学学报， 1995， 第11卷（第1期）： 13-19.。在公式近似方面的文章还有很多，多数都为对最初精确近似限的近似，以满足工程需要。对于不完全数据的处理，其中极大似然法应用最多，其次还有依赖于数据表的最优线性无偏估计，最优线性不变估计，简单线性无偏估计，简单线性不变估计等方法。国内外对于S-N曲线试验拟合方法的研究也有很多，对于有限寿命区的试验设计与分析，ASTM(美国材料试验协会)提出了双侧置信区间法 Yung-Li Lee , Jwo Pan , R.B.Hathaway , M.E.Barkey. 疲劳试验测试分析理论与实践M. 北京： 国防工业出版社， 2011:76-124.；1996年，沈等人提出了近似欧文单侧公差极限法，并由Williamst推导出相应的系数。并且目前在无限寿命区常用的是阶梯法（通常也称为上下法），且已被很多标准所采纳。1.3 本文的研究方法及主要研究内容采用先学习了解这一领域内的理论结果及进展，从最初的提出到不断地被完善，并将相关理论结果进行总结归纳，然后进行比较分析，找到不同方法之间的异同点及其适用条件，提出初步的见解，然后再仔细地对其进行研究，结合数值模拟来分析验证，在前人研究的基础上提出具体的处理方法。当母体分布形式未知时，需要用大子样来判断母体，但在实际应用中，往往凭借过去的经验来确定母体分布形式；当母体分布已知时，只需要估计母体参数或者大体检验一下母体形状。因此对于后者，可以采用较小子样（n50）的方法，以节省试件和试验时间。所要求的最少试件个数取决于分散性和置信度的大小，分散性越大所用试件应越多，以保证估计量有足够的准确度。本文研究主要针对4个方面进行阐述：（1）常用的试验数据处理与分析方法；（2）完全数据条件下的几种单侧容限系数方法的对比分析，并且分别讨论了其适用条件与选取办法；（3）不完全数据的分析处理方法及单侧容限系数数值模拟计算；（4）以拟合一S-N曲线实例来进行验证所对比分析的方法。由于统计特性分析的内容十分广泛，且由于正态分布（或对数正态分布）在寿命分布方面符合性较好且使用较多，本文主要针对正态分布以及对数正态分布进行分析讨论。论文第2部分主要是对常用的数据的分析处理方法，包括数据的采集，数据的前处理（数据显著性检验，可接受检验，分布形式检验等），以及参数的点估计，区间估计（研究内容主要针对正态分布和对数正态分布进行分析讨论）。这一部分内容经常使用，但是鉴于论文的完整性和后面所得到的研究结果与这部分内容息息相关，因而仍然将这一部分加在了论文之中。此部分内容主要参考材料数据手册、可靠性数据分析教程两本书。论文第3部分主要列出了几种常用的单侧容限系数公式，并分别进行了证明与误差来源分析，最后将几种单侧容限系数与精确值进行分析对比，得出在极小样本（n5）下Bayes近似限的优越性，在小样本（5n50的数据预处理。2.2.4.2 数据的中位秩、平均秩和百分位秩这里将主要针对小样本数据来进行讨论其常用的分析方法。样本数通常，但是这些公式同样适用于大样本的数据处理。对于工程中常用的寿命类型的数据，常常分为完全寿命和不完全寿命。对于完全寿命的计算公式有中位秩、平均秩和秩分布的百分位秩公式；对于不完全寿命数据，有近似中位秩公式、新平均秩、中位秩和百分位秩近似公式 孔瑞莲. 航空发动机可靠性工程M. 北京： 航空工业出版社， 1996:198-290.。现只对常用的前两种近似公式简述如下。1）近似中位秩公式(2.13)式中：样本总数； 寿命数据由小到大排列的顺序号，2）平均秩（即数学期望）公式(2.14)式中：样本总数； 寿命数据由小到大排列的顺序号。2.3 正态分布数据常用处理方法2.3.1 参数的点估计2.3.1.1 矩估计方法最传统的对于平均值与方差的估计，不再赘述。2.3.1.2 参数的极大似然估计对数正态分布的密度函数是(2.15)以定时截尾试验子样为例，推导分布参数的极大似然估计。设子样容量为，试验至时截止，共失效个，其顺序统计量为则似然函数为(2.16)设，标准正态分布函数，并记为标准正态分布密度函数，则似然方程为(2.17)然后，使用数值方法求解上述超越方程组，即可得到参数，的极大似然估计。对于定数截尾寿命试验，与定时截尾相同，只需令为即可，正态分布与对数正态分布估计的不同之处在于不必对其寿命数据取对数，即式中的用代替即可。为使用方便，对型和型截尾试验，已有不少数据表可供计算的MLE之用。例如Gupta(1952)、Cohen(1961)、Schmee & Nelson(1976)、可靠性试验用表（1987）等。这里介绍Cohen的方法。记型截尾时间为，型截尾时间为，则型截尾时，的MLE为(2.18)则型截尾时，的MLE为(2.19)以上两式中是截尾样本的均值和方差(2.20)被截尾产品的的百分率记为.(2.21)令其参数为=0.01(0.01)0.10(0.05)0.70(0.10)0.90,，可查文献3附表9.2.3.1.3 定数截尾情形下参数的线性估计1）最优线性无偏估计正态分布的累积函数分布为（不可靠度）(2.22)式中为以10为底的常用对数。设则标准化后有(2.23)在一批产品中随机抽取个样品，至个失效时停止试验，得顺序统计量为则即于是，容易得到参数和的最优线性无偏估计（BLUE）(2.24)式中，最优线性无偏估计函数可查表（参考文献9中的附表B.3）。2）与之类似还可以求得最优线性不变估计，简单线性无偏估计和简单线性不变估计。这方面的有关内容从略，但应指出：当样本量时，用最优线性无偏估计和最优线性不变估计，可以得到精度较高的估计；在最优线性估计方法计算比较复杂，改为使用简单线性无偏估计和简单线性不变估计的方法。2.3.1.4 最小二乘估计1）现介绍正态分布参数的最小二乘估计最小二乘法提供了一个客观确定最佳拟合直线的方法，是一种使数据点距离这条直线纵坐标偏差的平方和小于任何一条其他直线的方法。最小二乘法确定的直线可用下式表示(2.25)式中：任意一值对应的计算值； 分别为回归方程中两参数的估计值。使纵坐标偏差的平方和最小的和可由下式求得(2.26)(2.27)（具体的公式推导可以参考文献7）2）对数正态参数的最小二乘估计：（与上部分相似，不再赘述）2.3.1.5 图估法现介绍在正态概率纸下的图估计 航空发动机设计手册总编委员. 航空发动机设计手册， 第三册可靠性及维修性M. 北京： 航空工业出版社， 2002:183-230.。应用正态分布坐标纸进行点估计均值和方差，从而可以进一步计算可靠性参数，图估计通过将秩近似公式得到的累积失效概率与作图法相结合，将正态分布函数改换成一拟合的直线，从而得到相应的点估计参数。具体方法如下：1）取正态坐标纸，将故障数据整理，从小到大依次排序。2）应用平均秩或中位秩等近似公式，按照故障总数计算秩的相应值。3）将故障数据绘在正态坐标纸上，横坐标为故障事件，如频率、时间或循环次数等。纵坐标为故障发生概率（中位秩值）。4）将坐标纸上的数据点，作线性拟合连成一条直线。在作图法中此直线由人为所致，因此直线将因人而异。也可以将各点采用最小二乘法等作直线拟合。5）纵坐标取=0.5位置点，作横线与直线相交于C点，然后自C点向下作垂线与横坐标轴相交于D点，该D点的横坐标值就是所求的均值（估计值）。6）取纵坐标=0.159处，作横线与直线相交于E点，然后自E点向下作垂线与横坐标轴相交于F点，F点的横坐标值设为Q，则知，由此可得。7）当都已知时，可以进行其他可靠性参数计算。（此部分内容具体可参考文献9）对数正态概率纸上的图估计与上类似，不再赘述。2.3.2 参数的区间估计2.3.2.1 正态参数的区间估计1） 设其中已知。求的置信水平为的区间估计。易知的极大似然估计为样本均值其分布为，于是(2.28)对于给定的置信水平，有(2.29)然后利用不等式变形，可得(2.30)因此，的置信度为的置信区间为(2.31)2） 设其中已知。求的置信水平为的置信区间。首先，从假设易得分布的定义可知(2.32)因此，对于给定的置信水平，的置信水平为的置信区间为(2.33)3） 设从服从正态分布的某批产品中随机抽取件产品进行试验，得到一组完全样本值。由极大似然估计得到的点估计分别为与容易证明，但是并非是的无偏估计，因此用去估计应进行修偏。可以寻找修偏系数，使得当然，修偏系数与样本量有关，其值见表2.1。234 56789100.79790.88620.92130.94000.95150.95940.96500.96930.97271520253040500.98230.98680.98960.99140.99360.9949表2.1 修偏系数表由表2.1可见，当较小时（特别是），直接用去估计，估计值偏小，只有当足够大时（如）时，这种差别才可以忽略。因此建议，当时，用的修正值，即(2.34)由于，因此，在的置信水平下，的置信区间为(2.35)由于，因此，在的置信水平下，的置信区间为(2.36)2.3.2.2 对数正态参数的区间估计设某产品寿命服从参数为的对数正态分布；先从该产品中随机抽取件进行试验，试验到全部产品失效，得到寿命安全样本；对每个观测值做变换，可得的样本。由对数正态分布的性质可知，因此参数可用下式进行估计，即(2.37)(2.38)给定置信度，对数均值和对数标准差的区间估计可由正态参数的区间估计公式计算。对数正态分布可靠度的置信区间，亦可经对数变换后，再利用正态分布可靠度置信区间的计算方法求得。对于不完全数据的正态及对数正态参数及特征量的区间估计见第4章。2.4 小结本章简要介绍了数据采集、数据检验、数据参数估计和点估计等，这些内容是传统的数据分析处理方法，一般其在分析处理时只有参数的区间估计考虑了存活率（可靠性），基本没有考虑置信度。本文主要是在数据处理分析中将置信度和存活率同时加以考虑，并以单侧容限系数为出发点进行对比分析研究，但是传统的经典方法仍然具有实际的指导意义。3 完全数据下单侧容限系数分析与比较3.1 单侧容限系数3.1.1 正态分布容忍限的精确值 Wald A. &Wolfowitz J. Tolerance Limits for a Normal Distribution,Ann. Math. Stat. ,Vol.17 (1946),208-215.设为自正态总体中抽取的简单随机样本，的充分统计量为（3.1）在总体中，若已知，则水平为的容忍上下限和容忍区间分别为。但现在未知，由于知道分别是的良好估计，因此将上述容忍上限中的用代替得到。由于估计而带来的随机性，水平的容忍上限不见得正好是，而可能要将系数修改为某个，既与有关，也与有关（注意与无关）。容忍下限和容忍区间也如此处理。首先来求容忍上限，即找到使为可靠性水平和置信水平为的容忍上限。按定义，对给定的和，0,1,要确定，使得（3.2）由于，其分布函数为，因而上式左边可表达为（3.3）令则。而（3.4）即自由度-1，非中心参数的非中心分布，因而有(3.5)若记，故由，解得。因而可知，水平为的容忍上限为，同上。对常见的。求正态总体的容忍区间，可得，此处，其中。由于现有的非中心分布表还不足够大，不一定能从表中直接查到非中心分布的分位数值。当针对某一个数据（例如寿命）来分析其在一定置信度下的存活率或者一定存活率下的置信度时，精确算法使用起来遇到了一定的困难，需要借助计算机辅助计算，因而需要一近似公式来解决上面的问题。但目前大多数书上给出的的单侧容限系数都为精确值，同时其余的近似公式推导出来的单侧容限系数也以此为基准，进行对比。3.1.2 经典一阶近似Dempskey近似公式2从研究的可靠寿命的近似限出发，的精确下限为，记，将它在的均值处展开，有（3.6）式中，下角0表示求导后，用代替，故的一阶近似为（3.7）为了计算的均值及方差，须给出有关阶的矩。因，则的l阶原点矩为将其带入的右方，整理可得（3.8）由此，即可求出的均值及方差（3.9）由中心极限定理，其前的统计量渐进的服从后续的分布，则（3.10）将s代替上面不等号右方的，即得的经典一阶近似限（3.11）将它与比较，则得的一阶近似所满足的方程（3.12）其解为式中上式即为著名的Dempskey公式，此公式在参考文献1中得到了广泛的应用，但其精度尚不能满足工程需要，需要给出精度较高的二阶近似。上式由于其简单的形式，使用比较广泛，但是精度较低，尤其是当子样数变得很小时，5时，首先由于其为泰勒公式展开后的一阶近似，并且在样本数很小时，子样标准差对子样方差的估计变得很不准确，因而将代替而进行求解时，将会产生很大的误差，对系数的影响将会很大（详见后面，对几种不同系数的对比）。3.1.3 的经典二阶近似2记，将它在的均值处泰勒二阶展开（3.13）考虑到相互独立，可求出的均值及方差（3.14）由于（3.15）用代替上面不等号右方的，即得二阶近似（3.16）与可得的二阶近似所满足的表达式(3.17)式中(3.18)(3.19)由此，可解出的二阶近似(3.20)由于上式形式比较复杂，计算起来比较繁琐，真正在工程上应用较少，精度比一阶近似公式略有提高，但是同样在样本数很小时，与一阶近似一样，误差值急剧增加至20%甚至以上（详见几种不同系数的比较）。出现这种变化的原因同一阶近似公式。3.1.4 改进后的二阶近似限4记，则(3.21)(3.22)式中(3.23)(3.24)根据Gamma函数的性质可知，当为自然数且时，(3.25)当时，(3.26)由中心极限定理，当充分大时，有。故对给定的置信度，有(3.27)因此的近似解为(3.28)用代替其中的，便得的估计值，与比较，可得所要满足的表达式(3.29)由此可解出(3.30)在1.1.3中已经求出二阶近似限，再记，可将作为的一个近似值。此方法先提出了一种新的单侧容限系数值的计算方法，并发现总比精确的系数值略大，而总比系数值小（当时），因而对两者取平均，发现结果对精确的系数值的符合性很好。并且后面的比较结果也表明这种方法拟合的值与精确值相差很小。3.1.5 新单侧容限系数6设为正态随机变量，即，其可靠度为的母体百分位值由下式定义(3.31)该值表示母体中有%的个体大于，即。可知式中是可靠度为的标准正态偏量，即下面求的置信度为的容忍下限值。设的一个子样，其均值和标准差分别为(3.32)(3.33)则随机变量是母体百分位置的置信度为的置信下限，即(3.34)式中为新的单侧容限系数，即(3.35)其中为标准差的修正系数，即(3.36)其中为分布百分位值，即。上式的证明方法见文献6，因而，在一次抽样中可以得到估计量，这里的含义是：以为置信度，团体中至少有3.1.6 应用部分历史数据的二维单侧容限系数5设为正态随机变量，即，其可靠度为的母体下百分位值由下式定义(3.52)式中是可靠度为的标准正态偏量(3.53)式中的可由标准正态分布表查得，高可靠度的在工程中具有十分重要的意义，但是实际中真值无法求得，因而工程中大量用到的是母体百分位值的置信下限（如：安全寿命，安全疲劳极限等）。下面给出一种确定置信下限的方法。设分别为母体均值和方差的无偏估计量，分别遵循正态分布和分布，即(3.54)(3.55)则随机变量是母体下百分位值的置信度为的置信下限，即(3.56)式中称为二维单侧容限系数，可由下式求得(3.57)(3.58)式中被定义为子样均值的自由度，的标准正态偏量，即。值得注意的是，可以来自不同的子样，所以，在这里不一定等于-1，并且可以是任意正实数，和之间没有任何关系。设是子样均值的一个取值，则可以得到母体下百分位值置信下限的一个取值(3.59)可对该方法总结如下：（1）二维单侧容限系数法比较充分地利用了历史数据，但其是有使用前提的，即必须保证历史数据的方差比当前试验总体的方差大才可以使用二维单侧容限系数法，而对于这种前提的判断，没有任何确定性的方法，可以通过生产厂商的设备条件，操作人员工作水平，管理水平，技术水平，生产方案的改进等方面进行仔细宏观分析进行确定。（2）并且对于历史数据的使用仅仅局限于对方差的使用上，对于其均值等估计参数的使用则没有，因而相比之下，充分利用历史数据的Bayes方法的优越性更大，同时实践证明在很多情况下，Bayes方法都能取得较好的统计结果。实例：某厂家对新改型的产品进行了全尺寸疲劳试验，由于经济问题，只做了一个试件，其寿命=18000h，现要求新产品的置信度，可靠度=99.9%的安全寿命。该厂家曾对以往生产的同类产品做了跟踪调查，收集到26个产品的寿命数据，求得其对数寿命标准差=0.16，自由度=25.考虑到近几年冶金技术的不断提高，本厂设备更新，技术培训和质量管理的实施等等，各种波动因素得到进一步的控制。所以在外场使用条件基本类似的情况下，可以认为新产品的寿命分散性不会大于老产品的寿命分散性，即，因此，首先可得的二维单侧容限系数=4.6650取，则安全寿命3.1.7 Bayes近似限3按 Bayes观点，由工程直观可知，对无信息先验分布的情况有(3.60)式中是的均值，是的Bayes下限，是的Bayes上限。故(3.61)则的近似下限为(3.62)大量的计算表明，故当时，有较高的精度。将上式与比较，可得正态单边容限系数的近似公式(3.63)其中可以用于的搜索区间的计算，也可以直接用于工程计算。3.2 单侧容限系数总结分析3.2.1 几种单侧容限系数对比3.2.1.1 置信度0.95、存活率0.99的单侧容限系数（），如图3.1。图中横坐标为子样数，纵坐标为（理论值-近似值）/理论值（下面几图相同）。图3.1 置信度0.95、存活率0.99的单侧容限系数3.2.1.2 置信度0.95、存活率0.90的单侧容限系数（），如图3.2.图3.2 置信度0.95、存活率0.90的单侧容限系数3.2.1.3 置信度0.95、存活率0.99的单侧容限系数（），如图3.3.图3.3 置信度0.95、存活率0.99的单侧容限系数3.2.1.4 置信度0.95、存活率0.90的单侧容限系数（），如图3.4.图3.4 置信度0.95、存活率0.90的单侧容限系数3.2.1.5 置信度0.90、存活率0.90的单侧容限系数（），如图3.5.图3.5 置信度0.90、存活率0.90的单侧容限系数3.2.1.6 置信度0.90、存活率0.99的单侧容限系数（），如图3.6.图3.6 置信度0.90、存活率0.99的单侧容限系数3.2.1.7 置信度0.90、存活率0.90的单侧容限系数（），如图3.7.图3.7 置信度0.90、存活率0.90的单侧容限系数3.2.1.8 置信度、0.90存活率0.99的单侧容限系数（），如图3.8.图3.8 置信度0.90、存活率0.99的单侧容限系数由以上分析，可以看出经典近似限改进后的方法4在子样数5时普遍具有很小的误差值，效果较好；而对于子样数20时，二阶近似相对于经典近似限改进后的方法与精确值的偏差更小；而目前常用的，包括材料数据手册上的和疲劳试验测试分析理论与实践上的单侧容限系数表均为精确解。关于近似值相对于精确值的偏向问题，经典近似限的改进公式得到的结果和Bayes方法得到的结果无明显的偏向趋势，一阶近似限和二阶近似限相对于理论值都是偏小的，对于极小样本（7）,单侧容限系数值相对于精确值的变化较为明显，但没有明显的偏向问题。但是，当5时，选用经典近似限的改进公式4，可保证最大百分比误差值在3%以内；当子样数较少（5时（3.66）单侧容限系数系数为（3.67）现对样本标准差修正系数的有效性进行讨论，分别给出样本数为550，置信度分别为0.95,0.90，存活率分别为0.90,0.99的不乘以修正系数的传统单侧容限系数与乘以修正系数的单侧容限系数相对单侧容限系数的误差值进行比较，结果如图3.9-3.12，图中横坐标为子样数，纵坐标为（理论值-近似值）/理论值。图3.9 置信度0.95存活率0.90的单侧容限系数图3.10 置信度0.95存活率0.99的单侧容限系数图3.11 置信度0.90存活率0.90的单侧容限系数图3.12 置信度0.90存活率0.99的单侧容限系数通过对乘以标准差修正系数和不乘以标准差修正系数的单侧容限系数值与单侧容限精确值的百分比误差相比较，可以发现：（1）乘以标准差修正系数的单侧容限系数比精确值所得结果偏于保守，而不乘以标准差修正系数的单侧容限系数相对于精确值偏于危险。（2）在样本数大于10时，乘以标准差修正系数后的单侧容限系数与精确值的百分比误差普遍小于不乘以标准差修正系数的百分比误差。（3）当样本数大于10时，这种方法不管是否乘以标准差修正系数，其与精确值的百分比误差保持在2%以内。（4）当样本数大于等于5，小于等于10时，乘以标准差修正系数后，其与单侧容限系数值的百分比误差反而偏