大学物理刚体的转动

第三章刚体的转动 3 1刚体的运动 一 刚体的平动 在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行 A B A B B A 刚体的平动 任意质元运动都代表整体运动 二 刚体的定轴转动 刚体所有质元都绕一固定直线 定轴 作圆周运动 刚体的平动 定轴转动和复合运动 用质心运动代表刚体的平动 质心运动定理 刚体 受力时不改变形状和体积的物体 用角量描述转动 1 角位移 在 t时间内刚体转动角度 2 角速度 3 角加速度 z 刚体定轴转动 角速度 的方向按右手螺旋法则确定 1 切向分量 法向分量 z O 2 线量与角量关系 匀变速直线运动 匀变速定轴转动 3 2刚体定轴转动定律 质点系的角动量定理 Z轴分量 质元 对O点的力矩 垂直z轴 z O 垂直z轴 1 刚体定轴转动定律 转动惯量 对固定轴 刚体定轴转动定律 与牛顿第二定律对比 刚体到转轴的转动惯量 转动惯量的物理意义 1 刚体转动惯性大小的量度 2 转动惯量与刚体的质量有关 3 J在质量一定的情况下与质量的分布有关 4 J与转轴的位置有关 对比刚体的角动量和质点的动量 二 刚体转动惯量的计算 称为刚体对转轴的转动惯量 对质量连续分布刚体 线分布 面分布 体分布 是质量的线密度 是质量的面密度 是质量的体密度 例 一均匀细棒长l质量为m 1 轴z1过棒的中心且垂直于棒 2 轴z2过棒一端且垂直于棒 求 上述两种情况下的转动惯量 o Z1 解 棒质量的线密度 所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义 l X X 例 匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量如下图 解 圆盘半径为R 总质量为m 设质量面密度 例 匀质圆环半径为R 总质量为m 求绕垂直于环面通过中心轴的转动惯量如下图 Z R dm 解 Z R r dr dm dS m 1 有关转动惯量计算的几个定理 2 平行轴定理 Z h 式中 关于通过质心轴的转动惯量 m是刚体质量 h是c到Z轴的距离 是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量 C 1 转动惯量叠加 Z 式中 是A球对z轴的转动惯量 是B棒对z轴的转动惯量 是C球对z轴的转动惯量 B 3 垂直轴定理 0 对于薄板刚体 薄板刚体对z轴的转动惯量 等于对x轴的转动惯量与对 y轴的转动惯量 之和 2 刚体定轴转动定律的应用 解 滑轮加速转动 由转动定律得 线量与角量关系 物体m加速运动 已知 滑轮M 看成匀质圆盘 半径R 物体 m1m2 求 a a m1g m2g T 解 对否 T2 T 否则滑轮静止或匀速转动 而物体加速运动 T1 T2 转动定律 线量与角量关系 M 2 T1 求 解 C 转动定律 对上式两边分别乘以d 再进行积分得 质心运动定理 C 例3 3答案 转到竖直位置时 F 5mg 2 90 三 刚体定轴转动中的动能定理 刚体的转动动能 定轴转动动能定理 已知 匀质杆M 子弹m 水平速度 求 射入不复出 解 对M m系统 系统角动量守恒 匀质杆的质心速度 设杆长为 合外力为零 系统动量守恒 对否 最大摆角 在碰撞过程中 子弹和细棒的总机械能不守恒 但碰撞后 在子弹随细棒摆动过程中 只有重力做功 因此系统机械能守恒 以转轴处为势能零点 由始末状态机械能相等得 3 3刚体的复合运动 在以上对于刚体动力学的讨论中 得到两个结论 2 刚体的定轴转动定律 1 质心运动定律 F是刚体所受合外力 ac是刚体质心加速度 m是刚体的质量 M是刚体所受合外力矩 是刚体绕定轴转动的角加速度 J是刚体的定轴转动惯量 刚体的复合运动 可以分解为刚体的平动和刚体绕质心轴的转动 一 质心系的角动量定理 以质心O 为原点的参考系称为质心参考系 设惯性系的原点为O 质心系的角动量定理 是质点系中各质点所受外力对质心的力矩的矢量和 即质点系的角动量定理在质心系中仍然成立 是质点系中各质点对质心的角动量之和 所以原来只对定轴转动成立的转动定律 对于通过质心的转轴仍然成立 二 柯尼希定理 质点系相对于惯性系的总动能等于质点系的轨道动能和内动能之和 考虑到重力势能 有 对于刚体有 例3 5如图 质量为m 半径为R的圆柱体沿斜面向下无滑动地滚动 试求它到达斜面下端时质心的速率 解法一 用能量守恒求解 是圆柱体在斜面底端时绕质心的角速率 例3 5如图 质量为m 半径为R的圆柱体沿斜面向下无滑动地滚动 试求它到达斜面下端时质