第十一章 组合变形时的强度计算

第十一章组合变形时的强度计算 11 1概述 一 组合变形的概念 1 组合变形 构件同时存在两种以上基本变形 2 分类 两个平面弯曲的组合 斜弯曲 拉伸 或压缩 与弯曲的组合 以及偏心拉 压 扭转与弯曲或扭转与拉伸 压缩 及弯曲的组合 3 一般不考虑剪切变形 含弯曲组合变形 一般以弯曲为主 其危险截面主要依据Mmax 一般不考虑弯曲剪应力 用强度准则进行强度计算 1 叠加原理 在线弹性 小变形下 每一组载荷引起的变形和内力不受彼此影响 可采用代数相加 二 基本解法 叠加法 2 基本解法 外力分解或简化 使每一组力只产生一个方向的一种基本变形 分别计算各基本变形下的内力及应力 将各基本变形应力进行叠加 主要对危险截面危险点 对危险点进行应力分析 s1 s2 s3 平面弯曲 对于横截面具有对称轴的梁 当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时 梁发生对称弯曲 这时 梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线 斜弯曲 双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力作用的情况 这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵对称面内发生对称弯曲 也称为两个相互垂直平面内的弯曲 11 2两相互垂直平面内的弯曲 在梁的任意横截面m m上 由P1和P2引起的弯矩值依次为 在梁的任意横截面m m上任一点 与My和Mz对应的正应力依次为 上式即为双对称截面梁在两相互垂直平面内发生对称弯曲 斜弯曲 时正应力的计算公式 式中 Iy和Iz分别为横截面对于两对称轴y和z的惯性矩 My和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩 且其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向相一致 在具体计算中 也可以先不考虑弯矩My Mz和坐标y z的正负号 以它们的绝对值代入 然后根据梁在P1和P2分别作用下的变形情况 来判断上式右边两项的正负号 为确定横截面上最大正应力点的位置 应先求截面上的中性轴位置 由于中性轴上各点处的正应力均为零 令y0 z0代表中性轴上任一点的坐标 则由上式可得中性轴的方程为 由上式可见 中性轴是一条通过横截面形心的直线 它与y轴的夹角 为 式中角度 是横截面上合成弯矩M矢量与y轴间的夹角 一般情况下 由于截面的Iy不等于Iz 因而中性轴与合成弯矩M所在的平面并不相互垂直 并由于截面的挠度垂直于中性轴 所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内 故这种弯曲称为斜弯曲 在确定中性轴的位置后 作平行于中性轴的两直线 分别与横截面周边相切于D1 D2两点 该两点即分别为横截面上拉应力和压应力为最大的点 将两点的坐标 y z 分别代人 就可得到横截面上的最大拉 压应力 对于工程中常用的矩形 工字形等截面梁 其横截面都有两个相互垂直的对称轴 且截面的周边具有棱角 故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处 于是 可根据梁的变形情况 直接确定截面上最大泣 压应力点的位置 而无需定出其中性轴 在确定了梁的危险截面和危险点的位置 并算出危险点处的最大正应力后 由于危险点处是单轴应力状态 于是 可将最大正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条件 进行强度计算 至于横截面上的剪应力 一般因其数值都比较小 故在强度计算中可不必考虑 例题11 120a号工字钢悬臂梁受集度为q的均布荷载和集中力P qa 2作用 如图所示 已知钢的许用弯曲正应力 o 160MPa a 1m 试求此梁的许可荷载集度 q 解 将自由端B截面上的集中力沿两主轴分解 并分别绘出两个主轴平面内的弯矩图 由型钢表查得20a号工字钢的抗弯截面系数Wz和Wy值分别为 根据工字钢截面Wz不等于Wy的特点并结合内力图情况 可按叠加原理分别算出A截面及D截面上的最大拉伸应力 即 由此可见 该梁的危险点在固定端A截面的棱角处 由于危险点处是单轴应力状态 故可将最大弯曲正应力与许用弯曲正应力相比较来建立强度条件 即 解得 例题11 2一铸铁悬臂梁受集度为q 15kN m的均布荷载作用 如图所示 已知铸铁的许用拉应力 40MPa 许用压应力 c 160MPa 梁的截面尺寸为d 160mm b 70mm h 110mm 试核核此梁的强度 并绘出危险截面上的正应力变化图 解 该梁横截面具有两个对称袖 但因荷载作用面与纵向对称面间有 300的夹角 故此梁为非对称弯曲 求解方法是先将荷载沿两主轴分解为 该梁在qy和qz作用下 将分别以z轴和y轴为中性轴发生对称弯曲危险截面上的弯矩值为 由于该梁横截面无外棱角 要求得危险截面上的最大拉应力和最大压应力 须确定中性轴和位置 作平行于中性轴的两条直线分别与横截面周边相切于D1和D2 该两点即为斜弯曲时横截面上最大拉应力和最大压应力点 绘出了此粱分别以z轴和y轴为中性轴对称弯曲时的正应力变化规律 可以看出 D1点均处于拉应力而D2点均处于压应力 因此 按两个对称弯曲叠加后的D1点即为该截面上的最大拉应力点 而D2点为最大压应力点 该梁能满足正应力强度条件 弯曲与拉伸 压缩 组合变形 当杆上的外力除横向力外 还受有轴向拉 压 力时 所发生的组合变形 一 计算方法 1 分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力 2 按叠加原理求正应力的代数和 即可 二 注意事项 1 如果材料许用拉应力和许用压应力不同 且截面部分区域受拉 部分区域受压 应分别计算出最大拉应力和最大压应力 并分别按拉伸 压缩进行强度计算 2 如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略 则轴向力在横截面上引起附加弯矩DM Py亦不能忽略 这时叠加法不能使用 应考虑横向力与轴向力之间的相互影响 11 3拉伸 压缩 与弯曲组合变形 例11 3图示起重机的最大吊重P 12kN 材料许用应力 s 100MPa 试为AB杆选择适当的工字梁 解 1 根据AB杆的受力简图 由平衡条件 得 2 作AB杆的弯矩图和轴力图 C点左截面上 弯矩为极值而轴力与其它截面相同 故为危险截面 3 计算时暂不考虑轴力影响 只按弯曲正应力强度条件确定工字梁的抗弯截面模量 有 4 查型钢表 选取W 141cm3的16号工字梁 然后按压弯组合变形进行校核 易知 在C截面下缘的压应力最大 且有 最大压应力略小于许用应力 说明选取16号工字梁是合适的 例11 4图示压力机 最大压力P 1400kN 机架用铸铁作成 许用拉应力 sL 35MPa 许用压应力 sy 140MPa 试校核该压力机立柱部分的强度 立柱截面的几何性质如下 yc 200mm h 700mm A 1 8 105mm2 Iz 8 0 109mm4 在偏心拉力P作用下横截面上的内力及各自产生的应力如图 最大组合正应力发生在截面内 外侧边缘a b处 其值分别为 解 由图可见 载荷P偏离立柱轴线 其偏心距为 e yc 500 200 500 700mm 可见 立柱符合强度要求 一 单向弯曲与扭转组合变形 1 引例 以钢制摇臂轴为例 外力向形心简化 建立计算模型 作弯矩 扭矩图 找危险截面 由弯矩图知 A截面 M max 全梁Mn处处相同 A截面为危险截面 危险截面的危险点 A截面K1 K2点 t s数值均为最大 K1 K2点均为危险点 K2点 K1点 11 4弯曲与扭转组合变形 对危险点进行应力分析 从K1 K2点取单元体 因它们的s t数值分别相同 危险程度也相同 不妨取K1点研究 进行强度计算 圆轴 Wn 2Wz 2 讨论 公式1 3 可用于一般构件中只有一对s的平面应力状态 公式2 4 只能用于圆轴单向弯扭变形 二 双向弯曲和扭转强度计算 基本步骤与前相同 例11 5图示皮带轮传动轴 传递功率N 7kW 转速n 200r min 皮带轮重量Q 1 8kN 左端齿轮上啮合力Pn与齿轮节圆切线的夹角 压力角 为20o 轴材料的许用应力 s 80MPa 试按第三强度理论设计轴的直径 解 外力简化 建立计算模型 外力向AB轴轴线简化 并计算各力大小 作轴的扭矩图和弯矩图 确定轴的危险截面 因全轴上扭矩相等 所以扭矩图略 作xz平面内的My图和作xy平面的Mz图 可以看出D截面为危险截面 其上的内力为 最后根据第三强度理论设计轴的直径 讨论 对于圆轴 由于对称性 其横截面上的两方向弯矩可以矢量合成 合成弯矩可能最大点在各方向弯矩图的尖点处 如上题 可能合弯矩最大值在C D处 1 构件外力与轴线平行但不与轴线重合时 即为偏心拉伸或压缩 2 横截面上任意点的应力 11 5偏心拉伸 压缩 对于受偏心压缩的短柱 y z轴为形心主惯性轴 P作用点坐标为yP zP 将P向形心简化 则各内力在 y z 点引起的应力分别为 负号表示为压应力 组合应力 式中 截面对z y轴的惯性半径 3 中性轴方程 利用中性轴处的正应力为零 得中性轴方程y0 f z0 为 直线方程 中性轴在y z轴上的截距分别为 1 ay az分别与yP zP符号相反 故中性轴与偏心压力P的作用点位于截面形心的两侧 2 中性轴将截面分成两个区 压力P所在区受压 另一区受拉 在截面周边上 D1和D2两点切线平行于中性轴 它们是离中性轴最远的点 应力取极值 例题11 6图示一夹具 在夹紧零件时 夹具受到的外力为P 2kN 已知 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离为e 60mm 竖杆横截面的尺寸为b 10mm h 22mm 材料的许用应力 170MPa 试校核此夹具竖杆的强度 解 对于夹具的竖杆 P力是一对偏心拉力 对竖杆的作用相当于图b中所示的一对轴向拉力P和一对在竖杆的纵向对称平面内的力偶 拉伸和弯曲的组合变形 竖杆的危险点在横截面的内侧边缘处 都是拉应力 危险点处的正应力为 强度条件满足 所以竖杆在强度上是安全的 2 研究意义 工程中的混凝土柱或砖柱 其抗拉性很差 要求构件横截面上不出现拉应力 地基受偏心压缩 不允许其上建筑物某处脱离地基 3 求截面核心方法 基本方法 将截面周界上一系列点的切线作为中性轴 反求出相应压力P作用点位置 其连线即为截面核心的周界 设y z轴为形心主惯性轴 周界某一点切线为中性轴时 在y z轴上的截距分别为ay az 则压力P作用点坐标为 1 定义 当压力P作用在截面的某个区域内时 整个截面上只产生压应力 该区域通常就称为截面核心 特殊情况 11 6截面核心 4 例题 求矩形截面的截面核心 解 1 中性轴在 位置时 有截矩ay h 2 az 则压力作用点的坐标1 h 6 0 同理可求中性轴 所对应的压力作用点2 0 b 6 中性轴 所对应的压力作用点3 h 6 0 中性轴