福建省福州市_学年高二数学下学期期中试题理.doc

1 福建省福州市福建省福州市 2016 20172016 2017 学年高二数学下学期期中试题学年高二数学下学期期中试题 理理 考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分 2017 4 27 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 4040 分分 每题有且只有一个选项是正确每题有且只有一个选项是正确 的 请把答案填在答卷相应位置上 的 请把答案填在答卷相应位置上 1 复数 3 21 i i i为虚数单位 的共轭复数是 A 21 55 i B 21 55 i C 21 33 i D 21 33 i 2 下列推理过程属于演绎推理的为 A 老鼠 猴子与人在身体结构上有相似之处 某医药先在猴子身上试验 试验成功后 再用于人体试验 B 由 2 11 2 132 2 1353 得出 2 135 21 nn C 由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线 四面体每一个顶点与对面重 心的连线 交于一点 D 通项公式形如 0 n n acqcq 的数列 n a为等比数列 则数列 2 n 为等比数列 3 在 近似替代 中 函数 xf在区间 1 ii xx上的近似值 A 只能是左端点的函数值 i xf B 只能是右端点的函数值 1 i xf C 可以是该区间内的任一函数值 ii f 1 ii xx D 以上答案均正确 4 设 xf是可导函数 且3 2 lim 00 0 x xxfxxf x 则 0 xf A 0 B 1 2 C 1 D 2 5 某个自然数有关的命题 如果当 1nk nN 时 该命题不成立 那么可推得 nk 时 该命题不成立 现已知当 2016n 时 该命题成立 那么 可推得 2 A 2015n 时 该命题成立B 2017n 时 该命题成立 C 2015n 时 该命题不成立D 2017n 时 该命题不成立 6 若45paa 36qaa 0a 则 的大小关系pq 是 A pq B pq C pq D 由a的取值确定 7 函数 3 3f xxx 在区间 2 12 aa 上有最小值 则实数a的取值范围是 A 1 11 B 1 2 C 1 2 D 1 4 8 设 0 a b 则 1 a b 1 b a A 都不大于 2 B 都不小于 2 C 至少有一个不小于 2 D 至少有一个不大于 2 9 下面给出了四个类比推理 a b为实数 若 22 0ab 则 0ab 类比推出 1 z 2 z 为复数 若 22 12 0zz 则 12 0zz 若数列 n a 是等差数列 12n n aaa b n 则数列 n b 也是等差数列 类比 推出 若数列 n c 是各项都为正数的等比数列 123 n nn dc c cc A A A 则数列 n n d n d 也是等比数列 若 a b cR 则 ab ca bc 类比推出 若a b c 为三个向量 则 a b ca b c A AA A 若圆的半径为a 则圆的面积为 2 a 类比推出 若椭圆的长半轴长为a 短半轴 长为b 则椭圆的面积为 ab 上述四个推理中 结论正确的是 A B C D 10 记 n fx 为函数 f x 的n nN 阶导函数 即 1 nn fxfx 3 2 nnN 若 cosf xx 且集合 sin 2017 m Mm fxx mNm 则集合M中元素的个数为 A 1006B 1007C 503D 504 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 11 若纯虚数z满足 1 1i zai 则实数a等于 12 计算定积分 1 2 1 sin xx dx 13 用数学归纳法证明 1 n n N n 1 时 由 1 nk k 时 第一步应验证的不等式是 14 二维空间中 圆的 维测度 周长 2lr 二维测度 面积 2 Sr 一 维空间中球的二维测度 表面积 2 4Sr 三维测度 体积 3 4 3 Vr 应用合情推 理 若四维空间中 超球 的三维测度 3 8Vr 则其四维测度W 三 解答题 本大题共有三 解答题 本大题共有 3 3 个小题 共个小题 共 4040 分分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明解答应写出文字说明 演算步骤或证明 过程过程 15 本小题满分 14 分 复数 2 1 3 10 49 zi mi mi 其中 i为虚数单 位 mR 1 0m 当时 求复数z的模 2 当实数m为何值时复数z为纯虚数 3 当实数m为何值时复数z在复平面内对应的点在第二象限 16 本小题满分 12 分 设点P在曲线 2 1 2 yx 上 从原点向 2 2 A 移动 如果直 线OP 曲线 2 1 2 yx 及直线 2x 所围成的阴影部 分面积分别记为 1 S 2 S 当 1 S 2 S 时 求点P的坐标 当 1 S 2 S 有最小值时 求点P的坐标和 最小值 4 17 本小题满分 14 分 已知函数 2ln 2 0 f xaxx xe ln 0 x g xxe x 其中e是自然对数的底数 aR 当1a 时 求函数 f x的单调区间和极值 求证 在 的条件下 1 2 f xg x 是否存在实数a 使 f x的最小值是 3 若存在 求出a的值 若不存在 请 说明理由 第第 卷卷 四 选择题 本大题共四 选择题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分分 每题有且只有一个选项是正确每题有且只有一个选项是正确 的 请把答案填在答卷相应位置上 的 请把答案填在答卷相应位置上 18 若 22 12 14 32zmmmmi mR zi 则1m 是 12 zz 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分又不必要条件 19 某微信群中甲 乙 丙 丁 卯五名成员同时抢 4 个红包 每人最多抢一个 且 红包被全部抢光 4 个红包中有两个 2 元 两个 3 元 红包中金额相同视为相同的红包 则甲乙两人都抢到红包的情况有 A 35 种 B 24 种 C 18 种 D 9 种 20 在下面的四个图象中 其中一个图象是函数 322 1 1 1 3 f xxaxaxaR 的导 函数 yfx 的图象 则 1 f等于 x y Ox y Ox y ZO x y O 5 A 1 3 B 7 3 C 1 3 D 1 3 或 5 3 21 已知定义在 R 上的可导函数 xf满足 xfxf 0 则 1 2 2 mm e mmf 与 1 f e 是自然对数的底数 的大小关系 A 1 2 2 mm e mmf 1 f B 1 2 2 mm e mmf 1 f C 1 2 2 mm e mmf 1 f D 不确定 五 填空题 本大题共五 填空题 本大题共 2 2 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 1010 分 分 22 5 1 2 1 x x 展开式中 2 x 项的系数是 23 观察下列等式 12 1 33 781011 12 3333 161719202223 39 333333 则当m n 且 m nN 时 313234353231 333333 mmmmnn 最 后结果用 m n 表示 六 解答题 本大题共有六 解答题 本大题共有 2 2 个小题 共个小题 共 2424 分分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明解答应写出文字说明 演算步骤或证明 过程过程 24 本小题满分 12 分 某学校记者团由理科组和文科组构成 具体数据如下表所示 组别理科文科 性别男生女生男生女生 人数 3331 6 学校准备从中选 4 人到社区举行的大型公益活动中进行采访 每选出一名男生 给其所在 小组记 1 分 每选出一名女生 给其所在小组记 2 分 若要求被选出的 4 人中理科组 文 科组的学生都有 求理科组恰好记 4 分的概率 设文科组男生被选出的人数为 求随机变量的分布列 和数学期望 E 25 本小题满分 12 分 已知函数 2 2ln 0 f xxxax a 当1a 时 试求函数图像过点 1 1 f的切线方程 当2a 时 若关于x的方程 3f xxb 有唯一实数解 试求实数b的取值 范围 若函数 f x有两个极值点 1 x 2 x 12 xx 且不等式 12 f xm x A恒成立 试求实数m 的取值范围 7 高二数学 理 试卷参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 4 分 共 40 分 每题有且只有一个选项是正确的 请把答案填在答卷相应位置上 1 10 BDCCB ACCDD 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 11 1 12 2 3 13 14 4 2 r 三 解答题 本大题共有 3 个小题 共 40 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 解 由已知整理得 22 34 109 zmmmmi 2 分 1 当049mzi 时 22 9 97z 4 6 分 2 当 2 2 340 1090 mm mm 41 91 mm mm 或 即 且 4m 即时 复数z为纯虚数 10 分 3 当 2 2 340 1090 mm mm 41 19 m mm 即 或 41m 即时 复数z在复平面内对 应的点在第二象限 14 分 16 解 设点P的横坐标为t 02 t 则P点的坐标为 2 1 2 tt 直线OP的方程为 1 2 ytx 23 1 0 111 2212 t Stxxdxt 2 23 2 1114 22123 t Sxtx dxtt 因为 1 S 2 S 所以 4 3 t 点P的坐标为 4 8 3 9 6 分 S 1 S 2 S 3 1 12 t 3 14 123 tt 3 14 63 tt 2 1 1 2 St 令 0S 得 2 1 10 2 t 2t 因为0 2t 时 0S 22t 时 0S y A O P x 8 所以 当 2t 时 min 42 2 3 S P点的坐标为 2 1 12 分 17 解 当1a 时 121 2 0 x fxxe xx 1 分 当 1 0 2 x 时 0fx 此时 f x单调递减 当 1 2 xe 时 0fx 此时 f x单调递增 所以 f x的极小值为 1 1 2 f 故 f x的单调递减区间为 1 0 2 单调递增区间为 1 2 e 极小值为 1 1 2 f 无极 大值 4 分 令 1ln1 22 x h xg x x 2 1ln 0 x h xxe x 5 分 当0 xe 时 0h x 此时 h x单调递增 所以 max 1111 1 222 h xh e e 7 分 由 知 min 1f x 所以在 的条件下 1 2 f xg x 9 分 假设存在实数a 使 2ln 2 0 f xaxx xe 有最小值 3 121 2 0 ax fxaxe xx 10 分 当0a 时 因为 0 xe 所以 0fx f x在 0 e上单调递减 所以 min 2ln 2 3f xf eaee 解得 4ln2 2 a e 舍去 11 分 当 1 0 2 e a 即 1 2 a e 时 f x在 1 0 2a 上单调递减 在 1 2 e a 上单调递增 所以 min 11 1ln3 2 f xf aa 解得 2 ae 满足条件 12 分 当 1 2 e a 即 1 0 2 a e 时 0fx f x在 0 e上单调递减 所以 min 2ln 2 3f xf eaee 解得 4ln2 2 a e 舍去 13 分 综上 存在实数 2 ae 使得当 0 xe 时 f x的最小值为 3 14 分 第第 卷卷 一 选择题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 每题有且只有一个选项是正确的 9 请把答案填在答卷相应位置上 18 21 ACAA 二 填空题 本大题共 2 小题 每小题 5 分 共 10 分 22 10 23 22 nm 三 解答题 本大题共有 2 个小题 共 24 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 24 解 要求被选出的 4 人中理科组 文科组学生都有 共有 132231 646464 194C CC CC C 种结果 2 分 其中 理科组恰好记 4 分 的选法有两种情况 从理科组选 2 男 1 女 文科组任选 1 人 有 211 334 36C C C AA种方法 从理科组中选 2 女 再从文科组任选 2 人 有 22 34 18C C A种方法 所以 361827 19497 P 6 分 由题意可得 0 1 2 3 13 16 2010 0 19419497 C C P A 13 37 105 1 194194 C C P A 22 37 63 2 194194 C C P A 31 36 63 3 19419497 C C P A 10 分 其分布列为 0123 P 10 97 105 194 63 194 3 97 11 分 数学期望 10105633249 0123 9719419497194 E 12 分 25 解 当1a 时 有 2 2lnf xxxx 10 2 1221 22 xx fxx xx 1 1 f 过点 1 1 f的切线方程为 1 1yx 即20 xy 3 分 当2a 时 有 2 22lnf xxxx 其定义域为 0 从而方程 3f xxb 可化为 2