连续型随机变量

4连续型随机变量定义：是一维随机变量，分布函数是，如果有一个非负函数，对任何实数都有则称为连续型随机变量，称为的（概率）分布密度。例1：候车的例子，在中随机地取一个值，的27分布函数为 取则是的分布密度。证：，以下证明 当 时，； 当 时，； 当时， 可见，是连续型随机变量，分布密度是。若的分布函数是，分布密度是，则对任何实数有=；. 分布密度的基本性质： ， .例2：（1）；（2），判断、是否为连续型随机变量的分布密度。解：（1）时，不是分布密度。（2），所以，不是分布密度。例3：连续型随机变量的分布密度是求（1）常数，（2）的分布函数，（3）.解：（1）由 得， （2）当时，；当时，；当时，；当时，。即（3）。或 连续型随机变量的分布函数是连续函数。所以，对于任何实数，。这是因为，取，有= ，（或=0）注：连续型随机变量与离散型随机变量有区别：对离散型随机变量，必存在某个，使；而对连续型随机变量， /*线密度：；概率密度：=*/连续型随机变量的分布函数为， 分布密度是，则对任何实数有；记，则= = ；反之时，未必有。一般的的分布函数是连续函数，且除去有限个点，存在且连续，则取就有 于是，是连续型随机变量，是的分布密度。例如：的分布函数取 则是的分布密度.常见的连续型分布：（1） 均匀分布是一个有限区间，若随机变量有分布密度则称服从上的均匀分布，记作。容易验证：； 的分布函数：例如：候车的例子，有分布密度 所以，.例：若，则 .（2） 指数分布若随机变量有分布密度， （浙大教材）则称服从参数为的指数分布，记作。 验证： 。有分布函数，时： “寿命”具有性质：对任何有，（“无记忆性”）证明：例如：有分布密度，求（1）（2）解：（1）或 ，（2）。思考题：假设理发店只有两名理发师，一天开门营业时已有三位顾客等候。若每位顾客接受服务的时间服从参数为的指数分布，甲、乙两人先接受服务，丙暂时等候。求丙最后离开理发店的概率。（3）正态分布若随机变量有分布密度其中是常数，则称服从参数为的正态分布（高斯分布），记作。验证： （浙大教材P56-57）注：；+-+-+注：以上三条曲线分别是，N(0,1/4)， N(0,1)，N(0,2)的密度曲线。称为标准正态分布：分布密度：，分布函数：。若，则=？查表：，查P241附表2得 ，则对任何实数有，于是， 例1： ，求（1）（2）（3）解：（1）（2）（3） /*用Excel求：插入函数类别：统计选择函数：NORMSDISTZ：2输出0.*/（4）由于，0.，0.99506所以， =0.例2： ，求（1）（2）（3）解：（1）（2） （3），查P242附表3可得双侧分位数（浙大教材记做），使（） 有的常用值：（1）， 即 （2）， 即 （3），即 （教材P23图1.27）练习：？定理：若，则，于是。证：要证的分布函数。因为 =令，则=/* 教材P23（1.51）： */例3： 求（1）（2）（3） （4）解： （1）/*Excel：插入函数类别：统计选择函数：NORMDISTX：3.5；Mean：1.5；Standard_dev：2；Cumulative：TRUE输出0.*/（2）=（3） =0.5987-(1-0.8944)=0.4931（4） 例4： 若，则 （1） = （2） =（3） 例如：，求（1）（2）解：（1）（2）例5：某种液体的温度，（1）若，求小于89的概率。（2）若要求液体温度至少为80度的概率不低于0.99，问至少为多少？解：（1）（2），由知， ，所以，. 所以至少为。/*Excel：插入函数类别：统计选择函数：NORMSINVProbability：0.01输出-2.*/思考题：设，求。一维随机变量小结1概念；2分布函数 及其性质；3离散型随机变量 分布列的性质： 常见的离散型分布：二项： ， 超几何： ， 几何： ， 泊松： 4连续型随机变量 分布密度的性质： 连续型随机变