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第十五讲 容斥原理例1 五（2）班有42人，参加体育兴趣小组有30人，参加文艺兴趣小组的有25人，全班每人至少参加一项兴趣活动。问这个班两项兴趣活动都参加的有多少人？五（1）班40名同学采集标本，每个同学至少要采集一种标本。采集昆虫标本的有28人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有多少人？例2 学校小星星艺术团的32名同学中，有14人会拉小提琴，有21人会弹钢琴，小提琴和钢琴都会演奏的有8人，既不会拉小提琴，又不会弹钢琴的有多少人？有100位旅客，其中有10人不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语。既懂英语又懂俄语的有多少人？例3 如图3，王老师出了两道竞赛题。在数学兴趣小组的40人中，第1题有30人做对，第2题有12人未做对，两题都做对的有20人，第2题对而第1题不对的有多少人？两题都不对的有多少人？有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人会击剑、摔跤都不会。问既会摔跤又会击剑的运动员有多少个？例4 外语实验学校有英语、法语、日语教师共27人。其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英语、日语的有5人，能教法语，日语的有3人，能教英语、法语的有4人，能教英语、法语、日语的只有2人。只能教法语的教师有多少人？五（3）班有54人，每人至少都爱好一种球类。爱好乒乓球的有40人；爱好足球的有20人；爱好排球的有30人；既爱好乒乓球又爱好排球的有18人；既爱好足球又爱好乒乓球的有14人；既爱好足球又爱好排球的有12人。三种球都爱好的有多少人？例5 在桌面上放置三个两两重叠、形状相同的圆形纸片（如下图），它们的面积都是24平方厘米，三张纸片共同重叠的面积是9平方厘米，三种纸片盖住桌面的总面积是37平方厘米，那么图中三个阴影部分面积和是多少平方厘米？ 如右图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米，阴影部分的面积总和是40平方厘米，三张板盖住的总面积是100平方厘米，三张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？例6 某班全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4个学生在这三个项目中都没有达到优秀，其余学生每人至少有一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目人数如下表。求这个班的学生数。短跑游泳篮球短跑和游泳游泳和篮球篮球和跑步短跑、游泳和篮球1718156652如图，有A，B，C三个面积分别为38、40、42平方厘米的圆，每两个圆相交部分的面积分别为7、8、9平方厘米，三个圆相交部分的面积是3平方厘米，图形覆盖的总面积是多少？能力检测1. 五（1）班有40人参加电脑学习组和航模制作组，其中参加电脑学习组的有28人，参加航模制作组的有24人，既参加电脑学习组又参加航模制作组的有多少人？2. 某班举行文艺晚会，参加合唱的有16人，参加舞蹈的有23人，两项都参加的有7人，两项都没有参加的有9人，这个班有多少人？3. 某班45人参加一次数学竞赛，答对第一题的有28人，答对第二题的有25人，两题都答对 的有19人，则有多少人两题都不对？4. 在1500的自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？5. 在12006的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？6. 一个工厂有一批工人，每人至少会一门技术。其中会开銑床的有235人，会开车床的有218人，会开刨床的有207人。既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人，三种都会的有19人。这个工厂一共有多少工人？7. 某班28个男生中，有14个喜欢打篮球，9人喜欢打排球，13人喜欢打羽毛球，另有2人既喜欢打羽毛球又喜欢打篮球，有3人既喜欢打羽毛球又喜欢打排球。每人至少喜欢一种球，但没有一个人三种球都喜欢，有多少人既喜欢打篮球又喜欢打排球?8. 某班有50人，都参加了语文、数学、英语三科比赛，已知35人参加了语文比赛，40人参加数学比赛，37人参加英语比赛。问：至少有多少人参加了三种比赛？9. 实验二小各年级都参加一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少？10. 在一个自助果园，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3倍；只摘草莓者比摘山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓：总共有60人摘了李子。如果参与采摘水果的总人数是100人，那么：有多少人摘了山莓？有多少人同时摘了三种水果？有多少人只摘了山莓？有多少人摘了李子和草莓，而没有摘山莓？有多少人只摘了草莓。11. 五年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。其中，爱好体育的有58人，爱好文艺的有60人，爱好科学的有54人，三项都爱好的有20人，只爱好体育和科学的有15人，只爱好体育和文艺的有8人。问：多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好科学的有多少人？12. 某次考试有5