2018年河南省高考数学一模试卷(理科).doc

2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知集合A=x|x22x30，B=N，则集合（RA）B中元素的个数为（） A2B3C4D52（5分）若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（） A6B13CD3（5分）已知f（x）=sinxtanx，命题p：x0（0，），f（x0）0，则（） Ap是假命题，p：x（0，），f（x）0 Bp是假命题，p：x0（0，），f（x0）0 Cp是真命题，p：x（0，），f（x）0 Dp是真命题，p：x0（0，），f（x0）04（5分）已知程序框图如图，则输出i的值为（） A7B9C11D135（5分）2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中（1）班、（2）班，（3）班、（4）班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中（1）班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（） A18种B24种C48种D36种6（5分）九章算术是我国古代数学名著，在九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（） A1+B1+2C2+D2+27（5分）设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：（x+1）2+y2=r2（r0）不经过区域D上的点，则r的取值范围为（） A（0，）（，+）B（，+） C（0，）D，8（5分）若等边三角形ABC的边长为3，平面内一点M满足63=2，则的值为（） AB2C2D9（5分）关于函数f（x）=3sin（2x）+1（xR），下列命题正确的是（） A由f（x1）=f（x2）=1可得x1x2是的整数倍 By=f（x）的表达式可改写成f（x）=3cos（2x+）+1 Cy=f（x）的图象关于点（，1）对称 Dy=f（x）的图象关于直线x=对称10（5分）设函数f（x）=mx2mx1，若对于x1，3，f（x）m+4恒成立，则实数m的取值范围为（） A（，0B CD11（5分）设双曲线的方程为=1（a0，b0），若双曲线的渐近线被圆M：x2+y210x=0所截得的两条弦长之和为12，已知ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于（） ABCD12（5分）已知定义在R上的函数f（x）和g（x）分别满足f（x）=，e2x2+x22f（0）x，g（x）+2g（x）0，则下列不等式恒成立的是（） Ag（2016）f（2）g（2018）Bf（2）g（2016）g（2018） Cg（2016）f（2）g（2018）Df（2）g（2016）g（2018）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）设a=（cosxsinx）dx，则二项式（a）6的展开式中含x2项的系数为 14（5分）若函数f（x）=（a，bR）为奇函数，则f（a+b）的值为 15（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为 16（5分）如图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区区域I和区域，点C在上，COA=，CDOA，其中，半径OC及线段CD需要用渔网制成若AOB=，OA=1，则所需渔网的最大长度为 三、解答题（共70分）17（12分）已知Sn为数列an的前n项和，且a12，an0，6Sn=+3an+2，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）若对nN*，bn=（1）n，求数列bn的前2n项的和T2n18（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，BAD=90，DC=DA=2AB=2，点E为AD的中点，BDCE=H，PH平面ABCD，且PH=4（1）求证：PCBD；（2）线段PC上是否存在一点F，使二面角BDFC的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由19（12分）某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示（1）估计这次考试数学成绩的平均分和众数；（2）假设在（90，100段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为，求的分布列及数学期望E（）20（12分）已知椭圆C1：+=1（ab0）的离心率为，右焦点F是抛物线C2：y2=2px（p0）的焦点，点（2，4）在抛物线C2上（1）求椭圆C1的方程；（2）已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M（0，2），直线AM与BM的斜率乘积为，若在椭圆上存在点N，使|AN|=|BN|，求ABN的面积的最小值21（12分）已知函数f（x）=aex+x2bx（a，bR），其导函数为y=f（x）（1）当b=2时，若函数y=f（x）在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；（2）设a0，点P（m，n）（m，nR）是曲线y=f（x）上的一个定点，是否存在实数x0（x0m）使得f（x0）n=f（）（x0m）成立？并证明你的结论选修4-4：坐标系与参数方程选讲22（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l1：（t为参数），l2：（t为参数），其中（0，），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos=0 （1）写出l1，l2的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设l1，l2分别与曲线C交于点A，B（非坐标原点），求|AB|的值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|xa|（a0）（1）当a=2时，解不等式f（x）12x；（2）已知f（x）+|x1|的最小值为3，且m2n=a（m0，n0），求m+n的最小值2018年河南省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1【分析】可先求出集合A=x|x1，或x3，然后进行交集、补集的运算即可【解答】解：A=x|x1，或x3；RA=x|1x3；（RA）B=0，1，2，3故选：C【点评】考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算2【分析】利用复数的除法运算化简为a+bi（a，bR）的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a的值【解答】解：由复数=是纯虚数，则，解得a=6故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题3【分析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果【解答】解：f（x）=sinxtanx，x（0，），当x=时，f（x）=，命题p：x0（0，），f（x0）0，是真命题，命题p：x0（0，），f（x0）0，则p：x（0，），f（x）0故选：C【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查4【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=1，i=3；当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=3，i=5；当S=3时，不满足退出循环的条件，故S=15，i=7；当S=15时，不满足退出循环的条件，故S=105，i=9；当S=105时，不满足退出循环的条件，故S=945，i=11；当S=945时，不满足退出循环的条件，故S=10395，i=13；当S=10395时，满足退出循环的条件，故输出的i=13，故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答5【分析】分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决【解答】解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4，故有34=12种第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有34=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式，故选：B【点评】本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题6【分析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD底面ABCD，且侧棱AD=1，四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA=PC=，四棱锥的表面积为S=S底面ABCD+2SSAD+2SSAB=1+211+21=2+故选：C【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题7【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的MNP及其内部，而圆C表示以（1，1）为圆心且半径为r的圆观察图形，可得半径rCM或rCP时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的MNP及其内部，其中M（1，1），N（2，2），P（1，3）圆C：（x+1）2+y2=r2（r0）表示以C（1，0）为圆心，半径为r的圆，由图可得，当半径满足rCM或rCP时，圆C不经过区域D上的点，CM=，CP=当0r或r时，圆C不经过区域D上的点，故选：A【点评】本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题8【分析】根据条件可先求出，而由即可得出，这样即可用分别表示出，然后进行数量积的运算即可【解答】解：等边三角形ABC的边长为3；=，=；=2故选：B【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义9【分析】根据函数f（x）=3sin（2x）+1（xR），结合三角函数的性质即可判断各选项【解答】解：函数f（x）=3sin（2x）+1（xR），周期T=，对于A：由f（x1）=f（x2）=1，可能x1与x2关于其中一条对称轴是对称的，此时x1x2不是的整数倍；A不对对于B：由诱导公式，3sin（2x）+1=3cos（2x）+1=3cos（2x）+1B不对对于C：令x=，可得f（）=3sin（2）+1=1=，C不对，对于D：当x=时，可得f（）=3sin（）+1=13+1=2，f（x）的图象关于直线x=对称故选：D【点评】本题主要考查利用y=Asin（x+）的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题10【分析】利用分离参数法，再求出对应函数在x1，3上的最大值，即可求m的取值范围【解答】解：由题意，f（x）m+4，可得m（x2x+1）5当x1，3时，x2x+11，7，不等式f（x）0等价于m当x=3时，的最小值为，若要不等式m恒成立，则必须m，因此，实数m的取值范围为（，），故选：D【点评】本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题11【分析】根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再根据点到直线的距离公式可得=4，得到5b=4c，即可求出a=c，根据正弦定理可得=【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为y=x，双曲线的渐近线被圆M：x2+y210x=0，即（x5）2+y2=25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则d=4，=4，即5b=4c，即b=ca2=c2b2=c2，a=c，|APBP|=2a，由正弦定理可得=2R，sinB=，sinA=，sinP=，=，故选：C【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12【分析】f（x）=e2x2+x22f（0）x，令x=0，则f（0）=由f（x）=f（1）e2x2+2x2f（0），令x=1，可得f（0）进而得出f（1），f（x），f（2）令h（x）=e2xg（x），及其已知g（x）+2g（x）0，可得h（x）=e2xg（x）+2g（x）0，利用函数h（x）在R上单调递减，即可得出【解答】解：f（x）=e2x2+x22f（0）x，令x=0，则f（0）=f（x）=f（1）e2x2+2x2f（0），令x=1，则f（1）=f（1）+22f（0），解得f（0）=1f（1）=2e2f（x）=e2x+x22x，f（2）=e4令h（x）=e2xg（x），g（x）+2g（x）0，h（x）=e2xg（x）+2e2xg（x）=e2xg（x）+2g（x）0，函数h（x）在R上单调递减，h（2016）h（2018），e20162g（2016）e20182g（2018），可得：g（2016）e4g（2018）g（2016）f（2）g（2018）故选：C【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决【解答】解：由于a=（cosxsinx）dx=（sinx+cosx）|=11=2，（2）6=（2+）6 的通项公式为 Tr+1=26rC6rx3r，令3r=2，求得r=1，故含x2项的系数为261C61=192故答案为：192【点评】本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题14【分析】由已知中函数f（x）为奇函数，f（x）=f（x）恒成立，可得a，b的值，进而可得f（a+b）的值【解答】解：函数f（x）=为奇函数，故f（x）=f（x）恒成立，故即，f（x）=，f（a+b）=f（1）=12=1，故答案为：1【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档15【分析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA1的长度【解答】解：由题意，ABC的外接圆即为球的大圆，r=2，设底面ABC外接圆圆心G，即GA=GB=GC=2，从而正三角形ABC边长2，设球心O，由题意，E、D在球面上，OE=OD=2，F为DE中点，则OFDE，OF=GD=GC=1，在RtOEF中，OE=2，OF=1，EF=，DE=2，AA1=2故答案为：2【点评】本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力16【分析】确定COD，在OCD中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值【解答】解：由CDOA，AOB=，AOC=，得OCD=，ODC=，COD=；在OCD中，由正弦定理，得CD=sin（），（0，），设渔网的长度为f（），可得f（）=+1+sin（），所以f（）=1cos（），因为（0，），所以（0，），令f（）=0，得cos（）=，所以=，所以=（0，）（，）f（）+0f（）极大值所以f（）（2，故所需渔网长度的最大值为【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题，是难题三、解答题（共70分）17【分析】（1）6Sn=+3an+2，nN*n2时，6an=6Sn6Sn1，化为（an+an1）（anan13）=0，由an0，可得anan1=3，n=1时，6a1=+3a1+2，且a12，解得a1利用等差数列的通项公式可得an（2）bn=（1）n=（1）n（3n2）2b2n1+b2n=（6n5）2+（6n2）2=3（12n7）=36n21利用分组求和即可得出【解答】解：（1）6Sn=+3an+2，nN*n2时，6an=6Sn6Sn1=+3an+2（+2），化为：（an+an1）（anan13）=0，an0，anan1=3，n=1时，6a1=+3a1+2，且a12，解得a1=1数列an是等差数列，首项为1，公差为3an=1+3（n1）=3n2（2）bn=（1）n=（1）n（3n2）2b2n1+b2n=（6n5）2+（6n2）2=3（12n7）=36n21数列bn的前2n项的和T2n=36（1+2+n）21n=21n=18n23n【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18【分析】（1）推导出BADEDC，DBA=DEH，从而BDEC，由PH平面ABCD，得BDPH，由此能证明BD平面PEC，从而PCBD（2）推导出PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F满足CF=3时，二面角BDFC的余弦值是【解答】证明：（1）ABCD，BAD=90，EDC=BAD=90，DC=DA=2AB，E为AD的中点，AB=ED，BADEDC，DBA=DEH，DBA+ADB=90，DEH+ADB=90，BDEC，又PH平面ABCD，BD平面ABCD，BDPH，又PHEC=H，且PH，EC平面PEC，BD平面PEC，又PC平面PEC，PCBD解：（2）由（1）可知DHEDAB，由题意得BD=EC=5，AB=DE=，EH=1，HC=4，DH=2，HB=3，PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，H（0，0，0），B（3，0，0），C（0，4，0），D（2，0，0），P（0，0，4），假设线段PC上存在一点F满足题意，与共线，存在唯一实数，（01），满足=，解得F（0，44，4），设向量=（x，y，z）为平面CPD的一个法向量，且=（0，4，4），=（2，4，0），取x=2，得=（2，1，1），同理得平面CPD的一个法向量=（0，1），二面角BDFC的余弦值是，|cos|=，由01，解得=，=，CP=4，线段PC上存在一点F，当点F满足CF=3时，二面角BDFC的余弦值是【点评】本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19【分析】（1）把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算；（2）根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列【解答】解：（1）=450.00510+550.01510+650.0210+750.0310+850.02510+950.00510=72（分），众数为75分（2）90分以上的人数为1600.00510=8人的可能取值为2，3，4，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=的分布列为： 2 3 4 P 的数学期望是E（）=2+3+4=【点评】本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题20【分析】（1）先求出p的值，即可求出c的值，根据离心率求出a的值，即可得到椭圆方程，（2）设直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，根据直线AM与BM的斜率乘积为，求出m=0，再根据弦长公式求出|AB|和|ON|，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值【解答】解：（1）点（2，4）在抛物线y2=2px上，16=4p，解得p=4，椭圆的右焦点为F（2，0），c=2，椭圆C1：+=1（ab0）的离心率为，=，a=2，b2=a2c2=84=4，椭圆C1的方程为+=1，（2）设直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，x1+x2=，x1x2=，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=M（0，2），直线AM与BM的斜率乘积为，k1k2=，解得m=0，直线l的方程为y=kx，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB|=，|AN|=|BN|，ON垂直平分线段AB，当k0时，设直线ON的方程为y=x，同理可得|ON|=，SABN=|ON|AB|=8，当k=0时，ABN的面积也适合上式，令t=k2+1，t1，01，则SABN=8=8=8，当=时，即k=1时，SABN的最小值为【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计算能力，属于难题21【分析】（1）当b=2时，f（x）=aex+x22x，（aR），f（x）=aex+2x2，（aR），由题意a=，令h（x）=，则=0，解得x=2，由此能求出当a=或a0，+）时，f（x）在R上有且只有一个零点（2）由f（x）=aex+x2bx，得f（x）=aex+2xb，假设存在x0，则，利用导数性质推导出不存在实数x0（x0m）使得f（x0）n=f（）（x0m）成立【解答】解：（1）当b=2时，f（x）=aex+x22x，（aR），f（x）=aex+2x2，（aR），由题意得aex+2x2=0，即a=，令h（x）=，则=0，解得x=2，当x2时，h（x）0，h（x）单调递减，当x2时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）min=h（2）=，当x=1时，h（1）=4e0，当x2时，h（x）=0，由题意得当a=或a0，+）时，f（