圆心角与圆周角关系(1)

第三节圆周角和圆心角的关系 一 第三章圆 广东江门新会华侨中学李小玲 回顾与思考 如图1 AOB是角 如图2 AB CD 则 AOB与 COD的大小关系是 B A O C D 圆心 相等 用心想一想 马到功成 在射门游戏中 球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角 ABC 有关 用心想一想 马到功成 如图 当他站在B D E的位置射球时 对球门AC的张角的大小相等吗 你能观察到这三个角有什么共同特征吗 用心想一想 马到功成 为解决这个问题我们先来研究一种角 观察图中的 ABC 顶点在什么位置 角的两边有什么特点 用心想一想 马到功成 观察图中的 ABC 可以发现 它的顶点在圆上 它的两边分别与圆还有另一个交点 像这样的角 叫做圆周角 请同学们考虑两个问题 1 顶点在圆上的角是圆周角吗 2 角的两边都和圆相交的角是圆周角吗 为解决这个问题 我们先回答下面的问题 下列各图形中的角是不是圆周角 请说明理由 A B C D E 由圆周角的定义可知 只有C是圆周角 其它都不是 你能总结出圆周角的特征吗 圆周角有两个特征 角的顶点在圆上 两边在圆内的部分是圆的两条弦 用心想一想 马到功成 我们再来研究圆周角的性质 为了解决这个问题 我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系 请同学们在圆上确定一条劣弧 画出它所对的圆心角与圆周角 用心想一想 马到功成 归纳同学们的意见我们得到以下几种情况 ABC的一边BC经过圆心O ABC的两边都不经过圆心O ABC的两边都不经过圆心O 请问 ABC与 AOC它们的大小有什么关系 说说你的想法 并与同伴进行交流 下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况 即 ABC的一边BC经过圆心O AOC是 ABO的外角 AOC ABO BAO OA OB ABO BAO AOC 2 ABO 如图 我们可以观察到 AOC是 ABO的外角 ABC是 ABO的一个内角 它们两者存在一定关系 下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况 即 ABC的一边BC经过圆心O AOC是 ABO的外角 AOC ABO BAO OA OB ABO BAO AOC 2 ABO 那么当 ABC的两边都不经过圆心O时 ABC与 AOC又有怎样的大小关系呢 我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑 也就是借用直径 连接BO并延长 与圆相交于点D D 此时我们得到与图 同样的情形 如图 连接BO并延长 与圆相交于点D 此时我们得到与图 同样的情形 D 如图 连接BO并延长 与相交于点D 此时我们得到与图 同样的情形 D 如图 连接BO并延长 与相交于点D 此时我们得到与图 同样的情形 D 认真观察 探求结果 通过对三种情形的证明 同学们再认真观察图形 你会得到什么结果 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 一题多变 如图 在 O中 BOC 50 则 BAC 25 一题多变 如图 在 O中 BOC 50 则 BAC 变化题2 如图 BAC 40 则 OBC 变化题1 如图 点A B C是 O上的三点 BAC 40 则 BOC 25 50 80 由 BAC 40 可得 BOC 80 再由 BOC是等腰三角形可求得 OBC 开拓创新试一试 如图 OA OB OC都是 O的半径 AOB 2 BOC ACB与 BAC的大小有什么关系 为什么 请同学们认真观察 AOB与 ACB BOC与 BAC的关系 答 ACB 2 BAC 理由是 AOB 2 ACB BOC 2 BAC AOB 2 BOC 2 ACB 2 2 BAC ACB 2 BAC 大胆尝试 练一练 由 BCD 100 我们可求出对应的圆心角 1是200 则 BOD就可求 解 BCD 100 1 200 BOD 360 200 160 大胆尝试 练一练 解 BCD 100 1 200 BOD 360 200 160 观察 BOD与 BAD的关系就可以求 BAD的大小 课内拓展延伸 1 到目前为止 我们学习到和圆有关的角有几个 它