平面向量基本概念与运算法则及相对应练习题(含答案).doc

平面向量1一、向量的基本概念思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。回答下列问题：(1) .数量与向量有何区别？(2) .如何表示向量？(3) .有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？(4) .长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？1. 数量和向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母a、b(黑体)等表示；用有向线段的起点与终点字母表示：；向量的大小长度称为向量的模，记作|。3. 有向线段： 具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别： 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； 有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。4. 零向量、单位向量概念： 长度为0的向量叫零向量，记作。 长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。5. 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量？相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。说明：向量与相等，记作=； 零向量与零向量相等； 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。6. 平行向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定与任一向量平行。说明：综合才是平行向量的完整定义； 向量平行，记作。2、 向量的运算法则 1.向量的加法问题：数可进行加法运算：1+2=3，那么向量的加法是怎样定义的？长度是1的向量与长度是2的向量相加是一定是长度为3的向量呢？某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：；若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和；某人从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移和。向量的加法： 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。三角形法则：四边形法则：练习：化简2.向量的减法探究：1.向量是否有减法？ 2.向量的减法是否与数的减法有类似的法则？相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。 ； 任一向量与其相反向量的和是零向量，即：； 如果是互为相反的向量，则：。向量的减法： 向量加上的相反向量，叫做和的差。即 向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量。 注意：起点相同；指向被减向量的终点。例1.平行四边形ABCD中，用、表示向量。例2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为、，试用向量、表示。3. 向量的数乘运算 实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：；当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与的方向相反；特别的，当=0或=时，=。注意：实数与向量，可以做积，但不可以做加减法，即+，-是无意义的。 实数与向量的积的运算律：设、为任意向量，为任意实数，则有： ； 例1.计算； ； 例2.计算 (1). (2).结论：向量与非零向量共线，当且仅当有唯一一个实数，是的=。例3.向量是否共线？例4.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且,你能用表示吗？2、 向量运算法则的应用向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数，恒有。1. 有关向量共线问题例1.已知向量满足，求证：向量共线。例2.已知,试判断是否共线？定理的应用： (1).有关向量共线问题； (2).证明三点共线：三点共线； (3).证明两直线平行问题。 例3.已知任意两个非零向量，试作，你能判断三点间的位置关系吗？为什么？ 例4 .在四边形中，求证：四边形为梯形。同步练习（一）1.下列命题中，正确的是（ ）A若，则 B对于任意向量，有C若，则或 D对于任意向量，有2（2007北京理)已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ） 3(2008广东理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若, ,则（ ） AB. C. D. （二） 1.(2006上海理)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）ABCD（A）； （B）；（C）； （D）2（2007湖南文）若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A B. C. D. 3（2003辽宁）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则（ ）ABCD4.(2008辽宁理)已知O，A，B是平面上的三个点,直线AB上有一点C，满足,则（ ） ABCD5（2003江苏；天津文、理）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足的轨迹一定通过的( )（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心6（2005全国卷理、文）已知点，设的平分线与相交于，那么有，其中等于( )（A） （B） （C） （D）7设是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则k=_.8.（2007江西理）如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若 m，n，则mn的值为 9（2005全国卷理）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 10.（2007陕西文、理）如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且1，.若的值为 .（三）11、（2006全国卷理）设平面向量、的和。如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）A B C DAOMPB12. （2006湖南理）如图2,OMAB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围