选修2-2导数复习

导数知识点与题型归纳1. 平均变化率 2. 导数（或瞬时变化率） 导函数(导数)： 3. 导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k(x0)应用1：求切线方程，分清所给点是否为切点。例：已知曲线(1)求曲线在点处的切线方程。（2）求曲线过点处的切线方程。应用2：判断函数图象。例:如图所示，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是( ) 【解析】由题意，绕点O匀速旋转时，前部分随着t的增加，S越来越快，反映在图上是曲线斜率越来越大；后部分，增长缓慢，曲线斜率减少，故选D.4. 导数的运算：(1)几种常见函数的导数：(C)0(C为常数) ()(x0，) (sinx)cosx(cosx)sinx (ex)ex (ax)axlna(a0，且a1)； (a0，且a1)(2)导数的运算法则：u(x)v(x)u(x)v(x) u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)5. 设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点处也有导数，且 或。6. 函数的单调性:设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。应用3：求函数的单调区间。求单调性的步骤：（1）确定函数的定义域（不可或缺，否则易致错）；（2）解不等式；（3）确定并指出函数的单调区间（区间形式，不要写范围形式），区间之间用逗号隔开，不能用“”连结。应用4：已知函数在某区间为单调函数。若已知可导函数在某个区间上单调递增，则，且不恒为零.若已知可导函数在某个区间上单调递减，则，且不恒为零.例已知函数在区间是增函数，求实数的取值范围。应用5：导数图象与函数图象关系。例：已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是（ ）-22O1-1-11O-221-1-212O-2-221-112O-241-1-212O-22-124ABCD7. 极值与最值极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。注：可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。应用3：求函数的极值（与求函数的单调区间是一起的）。求函数的极值的步骤：第一步：确定函数的定义域，求导数；第二步：求方程的所有实根；第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，若的符号由正变负，则是极大值；若的符号由负变正，则是极小值；若的符号不变，则不是极值，不是极值点。例1. 求函数的单调区间。例2. 设，函数，求函数的极值点。解：（2）当时，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增。此时是的极大值点，是的极小值点当时，当时，0，当时，当时，所以函数在定义域内单调递增，此时没有极值点当时，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增此时是的极大值点，是的极小值点综上，当时，是的极大值点，是的极小值点；当时，没有极值点；当时，是的极大值点，是的极小值点例3. 已知函数其中，当时，求函数的单调区间与极值。解： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分两种情况讨论。（1），则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2），则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值例4. 求函数的单调区间。例5. 求函数的单调区间。应用6：求函数函数的最值。（1）最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）（2）如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。（3）求可导函数在闭区间上的最值方法：第一步；求在区间内的极值；第二步：比较的极值与、的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。例1. 求函数在区间的最值。应用7：参数取值范围问题（包含恒成立问题、存在问题）。例1.已知函数.若对所有都有，求实数的取值范围.解法一：令，则， 若，当时，故在上为增函数，所以，时，即. 若，方程的根为 ，则为减函数，为增函数，恒成立，得到，舍去。另一种思路（针对无法解出具体的）：若，则，故在该区间为减函数.所以，时，即，（非常重要的思想）与题设相矛盾. 综上，满足条件的的取值范围是. 解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立 。令，则. 当时，因为，故是上的增函数，所以的最小值是，从而的取值范围是.例2.8应用8：证明不等式。例1证明不等式例2应用9：生活中的优化问题。利用导数的知识,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题。例：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数. 已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（I） 求的值；（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得得利润最大.应用10:函数图象与函数图像交点问题。例.已知函数（I）求在区间上的最大值（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的