2.1.2 函数的表示与定义域(理).doc

2.2 函数的表示与定义域 知识要点梳理1函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的关系.2分段函数：在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，叫做分段函数。它是一类较特殊的函数。注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.3复合函数：设通过变量u，得到y关于x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数。记作。其中叫做外函数，叫做内函数,u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。 例如f(x)=2x-3，g(x)=x2+2，则称 fg(x) =2(x2+2)-3=2x2+1，或gf(x) =(2x-3)2+2=4x2-12x+11为复合函数。4. 函数解析式的求法：定义法（拼凑）；换元法；待定系数法；赋值法。求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等5. 定义域是函数的灵魂，因此在研究函数时一定要遵循：“定义域优先”的原则。而确定函数的定义域的原则是：（1）当函数y=f(x)是用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；（2）当函数y=f(x)是用图像给出时，函数的定义域是指图像在x轴上投影所覆盖的实数x的集合；（3）当函数y=f(x)是用解析式给出时，那么函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；（4）若y=f(x)是由实际问题给出时，则函数的定义域由实际问题的意义确定.6. 由解析式表示的函数的定义域的求法：求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；若f(x)是二次（偶次）根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；若f(x)是对数式，则函数的定义域是使真数的式子大于0且底数大于0并不等于1的实数集合 ；含参问题的定义域要分类讨论；若f(x)是指数式，则零指数幂的底数不等于零。若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合。疑难点、易错点剖析1.求函数解析式应注意的问题：如果已知函数的解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数fg(x)的表达式时，可用换元法，这是要注意“元”的取值范围；若已给出抽象的函数满足特定的等量关系，则常用解方程组、消参的方法求出f(x);若函数为分段函数，则分别求出每一段上的解析式在合在一起。2 求函数定义域一般有三类问题：（1）、“自然”定义域.给出函数解析式的，函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； (2)、限定定义域: 它是指受应用条件或附加条件制约的定义域。如由实际问题得出的函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；问题1：某种茶杯，每个5元，写出买。剖析：显然y与x满足关系：，其中x的取值范围（即该函数的定义域）为N，故所求函数关系为： 问题2： 剖析：该函数的定义域已给定为,1,2，易知其值域为锦囊妙计：有些函数解析式可能来源于实际问题，命题者抛开实际问题的背景，直接给出从该实际问题中得到的函数关系，只要求解题者处理与该函数有关的问题(如求其值域或讨论该函数的性质等)，希望同学们不要总以为函数的定义域就是“使函数的解析式有意义的自变量的取值范围”这一片面的认识，同学们可结合问题1加以理解(本问题中函数的解析式为y=5x, 显然使该解析式有意义的x的取值范围为R，但本问题中所得函数的定义域显然不是R). （3）复合函数的定义域对于复合函数的定义域，有两种类型：即已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域。在求解时要看清是已知f(x)的定义域，求g(x)的定义域；还是已知fg(x)的定义域而求函数f(x)的定义域，这两类问题的本质不同，前者是解不等式，后者求值域。具体地说，已知f(x)的定义域为D，求函数fg(x)的定义域，只需由g(x)D,求出x即得。例如若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由解出；若已知函数fg(x)的定义域为D，求函数f(x)的定义域只需由xD,求g(x)的值域。4.在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数，则使得的自变量的取值范围是_（答：）；（2）已知，则不等式的解集是_（答：）直击考点考点一. 由解析式求函数的定义域考例1、求下列函数的定义域：； ；.思路分析：本题要求给出解析式的函数的定义域，其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值集合，于是可转化为解不等式或不等式组。锦囊妙计：要求给出解析式的函数的定义域，其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值集合，于是可转化为解不等式或不等式组，因此同学们要熟练掌握如下几种情况：含有分式的：分母不等于0； 有偶次根式的：被开方式大于等于0； 含有对数式的：真数大于0,底数大于0且不等于1； 指数式中，若指数为0，则底数不等于0; 要熟练基本初等函数的定义域。举一反三：1(原创题)函数的定义域是（ D ）A B C D 2（改编题）函数f(x)的定义域是（B ）A0， B，0C（，0）D（，） 3、函数y=的定义域是（ ）(A)，1）（1，(B)（，1）（1，）(C)2，1）（1，2(D)（2，1）（1，2）解析：x1或1x.y=的定义域为，1）（1，. 答案：A4.（06广东卷）函数的定义域是A. B. C. D. 解：由，故选B.5. 函数的定义域是_(答：)；考点二.求复合函数的定义域考例2（06湖北卷）设，则的定义域为（ ）A B C D思路分析：已知的定义域，其复合函数的定义域应由不等式解出。解：f（x）的定义域是（2，2），故应有22且22，解得4x1或1x4。故选B锦囊妙计：若已知的定义域为，要求复合函数的定义域，则应由不等式解出。举一反三： 1. 设，则函数的定义域为_.解：由，于是f（x）的定义域是（1，1），故应有11且11，解得2x1或1x2。故填。2.若函数的定义域为，则的定义域为_（答：）；3.若函数的定义域为，则函数的定义域为_（答：1,5）考点三. 求函数的解析式考例3.（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求解：（1），（或）（2）令（），则，。（3）设，则，（4） ，把中的换成，得 ，得，。锦囊妙计：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。考例4. （05全国卷改编）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。若方程有两个相等的根，求的解析式。解：由方程 因为方程有两个相等的根，所以，即 由于代入得的解析式举一反三：2(05浙江卷节选)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x 求函数g(x)的解析式。解：（I）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为,则 即 .点在函数的图象上. 即 故g(x).3.(05江西卷节选）已知函数（a，b为常数）且方程f(x)x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.求函数f(x)的解析式；解：（1）将得4.(06重庆卷改编)已知定义域为的函数是奇函数，求的值。解析：（）因为是奇函数，所以=0，即 又由f（1）= -f（-1）知所以a=2,b=1.考点四 求由实际问题给出的函数解析式及其定义域的确定考例5. 用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域 。解：AB=2x，则=x，AD=。y=2x+=（+2）x2+lx。由0，解得0x。锦囊妙计：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求。举一反三：1.在ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，建立y与x的函数关系式，并指出其定义域。解：设ADC，则ADB。根据余弦定理得12y22ycos（3x）2， 12y22ycos（）x2由整理得y。其中 解得x。函数的定义域为（，）。2. 已知扇形的周长为10，求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、值域。解：设扇形的弧长为l，则l=102r，S=lr=（5r）r=r2+5r。由得r5。S=r2+5r的定义域为（，5）。又S=r2+5r=（r）2+且r=（，），当r=时，S最大=。又S52+55=0，S=r2+5r，r（，5）的值域为（0，。考点五 分段函数问题考例6、市内电话费是这样规定的：每打一次电话不超过3分钟话费为0.18元，超过3分钟而没有超过6分钟话费为0.36元；依次类推。每次打电话x(0x 10 )分钟应付话费y元，写出此函数的解析式并画出图像。思路分析:由于是分段计费，因此所付话费y必须用分段函数来表示。o109360.540.180.720.36y图3-2-2解：依题意应付话费y的解析式为期函数图像如右图所示锦囊妙计：本题所列函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，需要用分段函数来表示。应注意分段函数尽管在各段上的解析式不同，但分段函数是一个函数，而不是几个函数.例7.设定义在N上的函数f（x）满足f（n）= 试求f（2008）的值。解：20082000，f（2008）=ff（200818）=ff（1990）=f(1990+13)=f(2003）= ff（200318）=f(1985)=1985+13=1998。举一反三2、已知(x)=则(3)= .答案2 3.设函数，若，则的取值范围是A.（-1，1） B. C. D. 答案：D常见错误警示例.如果函数的定义域为R，则实数m的取值范围为_.紧扣考纲大演练一. 单项选择题1（06湖南卷）函数的定义域是( )A.(3,+) B.3, +) C.(4, +) D.4, +)解：函数的定义域是，解得x4，选D.2. (07汕头市模拟)函数g(x)= 的定义域为_(用区间表示).答案:(a1,a1)3 . 已知f（）=，则f（x）的解析式可取为A B C D 解析：令=t，则x=，f（t）=。f（x）=答案：C4. (07福建漳州市模拟.)已知函数，那么 的值为B A9 B C9 D5. 若函数f（x）=loga（x+1）（a0，a1）的定义域和值域都是0，1，则a等于A B C D 2解析：f（x）=loga（x+1）的定义域是0，1，0x1，则1x+12.当a1时，0=loga1loga（x+1）loga2=1，a=2；当0a1时，loga2loga（x+1）loga1=0，与值域是0，1矛盾.综上，a=2.答案：D6. 设函数f（x）=则使得f（x）1的自变量x的取值范围为A（，20，10B（，20，1C（，21，10D2，01，10解析：f（x）是分段函数，故f（x）1应分段求解.当x1时，f（x）1（x+1）21x2或x0，x2或0x1 .当x1时，f（x）1413x10，1x10.综上所述，x2或0x10. 答案：A二.填空题7（07揭阳市模拟）已知：函数的定义域为A, ,则的取值范围是 ；提示： ，即,解得.答案：；8. 如果ff（x）=2x1，则一次函数f（x）=_.解析：设f（x）=kx+b，则ff（x）=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b由于该函数与y=2x1是同一个函数，k2=2且kb+b=1,k=当k=时，b=1；当k=时，b=1+答案：f（x）=x+1或f（x）=x+1+9. 已知f（x24）=lg，则f（x）的定义域为_.解析：设x24=t，则t4，x2=4+tf（t）=lg ,f（x）=lg（x4）由得x4.答案：（4，+）10.已知函数f（x）=则f（lg30lg3）=_；不等式xf（x1）10的解集是_解析：f（lg30lg3）=f（lg10）=f（1）=2，f（x1）=当x3时，x（x3）102x5，故3x5.当x3时，2x10x5，故5x3.总之x（5，5）答案：2 ; x|5x5三.解答题11如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积为y=f（x） （1）求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.解：（1）这个函数的定义域为（0，12）当0x4时，S=f（x）=4x=2x；当4x8时，S=f（x）=8；当8x12时，S=f（x）=4（12x）=2（12x）=242x这个函数的解析式为f（x）= （2）其图形如右， 由图知，f（x）max=8.12.矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；（2）求的最大值解：（1），函数的解析式：；（2）在上单调递增，即的最大值为13.(06重庆卷) 已知定义域为R的函数满足 （I）若，求;又若，求; （II）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式解：（I）因为对任意xR，有f (f (x)x2x)f (x)x2x 所以f (f (2)222)f (2)222又由f (2)3，得