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1 4 1向量的内积 定义 2 定理 若n维向量 1 2 r是一组正交向量组 则 1 2 r线性无关 定义 若n维向量是一个非零向量组 且中的向量两两正交 则称该向量组为正交向量组 3 定义 设n维向量 1 2 r是向量空间V Rn的一个基 若 1 r两两正交 且 i 1 i 1 r 则称 1 r为V的标准正交基 规范正交基 4 例 为R4的规范正交基 分析 即 i 1 且 由定理知 1 2 3 4线性无关 即为规范正交基 5 标准正交基的优点 若n维向量 1 2 n是一组标准正交基 则n维向量 x1 x2 xn 在基 1 2 n下的第j个分量为 证 6 标准正交基具有良好的性质 因此如何将一组基转化为标准正交基是本节的重点采用构造法将一组基化为标准正交基 Schmidt正交化 如何将一组基转化为标准正交基 7 定理 任何一个非零向量空间V都存在规范正交基 且若 1 r为V的一个基 则可通过 1 r构造出一个规范正交基 说明 有时可代替 构造性证明 Schmidt正交化 令 1 1 求 2 2 1 1使 2 1 得 1 2 1 1 1 2 1 1 1 故 0 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 8 求 3 3 1 1 2 2使 3 1 3 1 1 1 1 0 3 2 2 2 2 3 1 1 2 2 1 0 3 2 3 1 1 2 2 2 9 Schmidt正交化过程 则 1 2 r是一个规范正交基 10 例设 1 1 2 1 2 1 3 1 3 4 1 0 试将其正交规范化 解 1 1 1 2 1 1 3 1 6 1 2 1 1 3 1 11 4 1 0 6 1 2 1 4 1 0 2 0 2 单位化得正交规范基 3 4 1 0 1 1 2 1 12 定义 设A是n阶实矩阵 如果A满足 则称A是正交矩阵 简称正交阵 正交阵的性质 1 2 若A是正交阵 则 3 两个正交阵之积仍是正交阵 4 正交阵的行列式等于1或 1 n阶实矩阵A是正交阵的充要条件是
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