24[1].1.2_垂直于弦直径(第1课时)

24 1 2垂直于弦的直径 垂径定理 实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折 重复几次 你发现了什么 由此你能得到什么结论 可以发现 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 如图 AB是 O的一条弦 做直径CD 使CD AB 垂足为E 1 这个图形是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些相等的线段和弧 为什么 O A B C D E 思考 1 是轴对称图形 直径CD所在的直线是它的对称轴 2 线段 AE BE O A B C D E 想一想 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦对的两条弧 垂径定理 定理垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 CD AB 如图 CD是直径 AM BM 判断下列图形 能否使用垂径定理 注意 定理中的两个条件 直径 垂直于弦 缺一不可 垂径定理的几个基本图形 作业评讲如图 在 O中 CD是直径 AB是弦 且CD AB 已知CD 20 CM 4 求AB OM的长 解 连接OA 在 O中 直径CD 弦AB AB 2AM OMA是Rt CD 20 AO CO 10 OM OC CM 10 4 6 在Rt OMA中 AO 10 OM 6 根据勾股定理 得 AB 2AM 2x8 16 弦心距 过一个圆的圆心作弦的垂线 圆心与垂足之间的距离叫做弦心距 如图 圆O中 AB是圆O中的一条弦 其中OC AB圆心到弦的距离用d表示 半径用r表示 弦长用a表示 则d r a之间满足什么样的关系呢 8cm 1 半径为4cm的 O中 弦AB 4cm 那么圆心O到弦AB的距离是 2 O的直径为10cm 圆心O到弦AB的距离为3cm 则弦AB的长是 3 半径为2cm的圆中 过半径中点且垂直于这条半径的弦长是 练习2 A B O E A B O E O A B E OEAB 1 如图 在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 O A B E 解 答 O的半径为5cm 活动三 在Rt AOE中 讲解 垂径定理的应用 2 已知 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 你认为AC和BD有什么关系 为什么 证明 过O作OE AB 垂足为E 则AE BE CE DE AE CE BE DE即AC BD 1 在半径为30 的 O中 弦AB 36 则O到AB的距离是 练一练 24mm 注意 解决有关弦的问题 过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 也是一种常用辅助线的添法 方法归纳 解决有关弦的问题时 经常连接半径 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线 为应用垂径定理创造条件 垂径定理经常和勾股定理结合使用 G a b c d a b c d a c b d 线段加减 圆弧加减 1 如图 AB CD都是 O的弦 且AB CD 求证 AC BD F E 解 过点O作OE CD 交CD于点E 在 O中 OF 弦AB G 交 O于点G 交AB于点F OE 弦CD 2 如图4 在 O中 AB为 O的弦 C D是直线AB上两点 且AC BD求证 OCD为等腰三角形 3 如图 两个圆都以点O为圆心 小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上 你认为AC与BD的大小有什么关系 为什么 4 如图为一圆弧形拱桥 半径OA 10m 拱高为4m 求拱桥跨度AB的长 2 如图 P为 O的弦BA延长线上一点 PA AB 2 PO 5 求 O的半径 关于弦的问题 常常需要过圆心作弦心距 这是一条非常重要的辅助线 弦心距 半径 半弦长构成直角三角形 便将问题转化为直角三角形的问题 2 如图 在 O中 AB AC为互相垂直且相等的两条弦 OD AB于D OE AC于E 求证四边形ADOE是正方形 证明 四边形ADOE为矩形 又 AC AB AE AD 四边形ADOE为正方形 再逛赵州石拱桥 如图 用表示桥拱 所在圆的圆心为O 半径为Rm 经过圆心O作弦AB的垂线OD D为垂足 与相交于点C 根据垂径定理 D是AB的中点 C是的中点 CD就是拱高 由题设知 在Rt OAD中 由勾股定理 得 解得R 27 9 m 答 赵州石拱桥的桥拱半径约为27 9m R 7 2 18 7 1300多年前 我国隋朝建造的赵州石拱桥 如图 的桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对是弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 也叫弓形高 为7 2m 求桥拱的半径 精确到0 1m G a b c d a b c d a c b d 线段加减 圆弧加减 1 如图 AB CD都是 O的弦 且AB CD 求证 AC BD F E 解 过点O作OE CD 交CD于点E 在 O中 OF 弦AB G 交 O于点G 交AB于点F OE 弦CD 2 如图4 在 O中 AB为 O的弦 C D是直线AB上两点 且AC BD求证 OCD为等腰三角形 3 如图 两个圆都以点O为圆心 小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上 你认为AC与BD的大小有什么关系 为什么 练一练 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后 截面如图所示 若油面宽AB 600mm 求油的最大深度 变形题 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后 截面如图所示 若油面宽AB 600mm 求油的最大深度 D C 练习 如图 CD为圆O的直径 弦AB交CD于E CEB 30 DE 9 CE 3 求弦AB的长 H 方法规律 已知 如图 直径CD AB 垂足为E 若半径R 2 AB 求OE DE的长 若半径R 2 OE 1 求AB DE的长 由 两题的启发 你能总结出什么规律吗 方法总结 对于一个圆中的弦长a 圆心到弦的距离d 圆半径r 弓形高h 这四个量中 只要已知其中任意两个量 就可以求出另外两个量 如图有 d h r 解这个方程 得R 545 例1 如图 一条公路的转弯处是一段圆弧 即图中弧CD 点0是弧CD的圆心 其中CD 600m E为弧CD上的一点 且OE垂直于CD 垂足为F EF 90m 求这段弯路的半径 解 连接OC 设弯路的半径为Rm 则OF R 90 m OE CD CF CD x600 300 m 根据勾股定理 得OC CF OF 即R 300 R 90 所以 这段弯路的半径为545m 11 矩形ABCD与圆O交A B E FDE 1cm EF 3cm 则AB A B F E C D O 5cm 挑战自我画一画 4 如图 圆O与矩形ABCD交于E F G H EF 10 HG 6 AH 4 求BE的长 3 已知 O半径为2cm 弦AB长为cm 则这条弦的中点到这条弦所对的劣弧中点的距离为 A 1cmB 2cmC cmD cm C A 请围绕以下两个方面小结本节课 1 从知识上学习了什么 从方法上学习了什么 课堂小结 圆的轴对称性 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦对的两条弧 垂径定理和勾股定理结合 在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线 过圆心作垂直于弦的线段 连接半径 探索垂径定理的逆定理 1 想一想 如下图示 AB是 O的弦 不是直径 作一条平分AB的直径CD 交AB于点M 同学们利用圆纸片动手做一做 然后回答 1 此图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些等量关系 说一说你的理由 驶向胜利的彼岸 由 CD是直径 AM BM CD AB 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 O A B C D M 推论 垂径定理及推论 直径 过圆心的线 2 垂直弦 3 平分弦 4 平分劣弧 5 平分优弧 知二得三 注意 直径平分弦则垂直弦 这句话对吗 错 垂径定理及逆定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 驶向胜利的彼岸 挑战自我填一填 1 判断 垂直于弦的直线平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧 经过弦的中点的直径一定垂直于弦 圆的两条弦所夹的弧相等 则这两条弦平行 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 一 判断是非 1 平分弦的直径 平分这条弦所对的弧 2 平分弦的直线 必定过圆心 3 一条直线平分弦 这条弦不是直径 那么这条直线垂直这条弦 4 弦的垂直平分线一定是圆的直径 5 平分弧的直线 平分这条弧所对的弦 6 弦垂直于直径 这条直径就被弦平分 C 4 判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中 如果一条直线经过圆心且平分弦 必平分此弦所对的弧 辨别是非 挑战自我垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行 那么这两条弦所夹的弧相等吗 老师提示 这两条弦在圆中位置有两种情况 垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等 挑战自我画一画 3 已知 如图 O中 AB为弦 C为弧AB的中点 OC交AB于D AB 6cm CD 1cm 求 O的半径OA 例 已知 如图 是 直径 AB 10 弦AC 8 D是弧AC中点 求CD的长 E 5 4 3 2 变式提高 O A B C 1 已知 O的半径为4 5 它的内接 ABC中 AB AC AD BC于D AD AB 10 求AD的长 2 若D是BC的中点 AD BC BC 24 AD 9 求 O的半径 D B A C D O 1 解 连结OB 延长AD 则必过圆心O 若设AD x 则OD 4 5 x AB 10 x在Rt ABD和Rt OBD中 BD2 AB2 AD2 OB2 OD2即 10 x 2 x2 4 52 4 5 x 2解得x 4即AD 4 2 P为 O内一点 且OP 2cm 若 O的半径为3cm 则过P点的最短弦长等于 A 1cmB 2cmC CmD D 垂径定理的应用 解法训练 二 请你选择正确的答案 1 同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D 已知AB 4 CD 2 AB的弦心距为1 则两个同心圆的半径之比为 A 3 2B C 2D 5 42 已知 AB是 O的直径 OA 10 弦CD 16 则A B两点到CD的距离之和等于 A 24B 12C 16D 6 B B 垂径定理的应用 解法训练 二 请你选择正确的答案 已知 如图 AB是的直径 CD是弦 AE CD 垂足为E BF CD垂足为F 求证 EC DF 已知 如图 AB是的直径 CD是弦 CE CD DF CD求证 AE BF G G 一题多变 达标检测 一 填空1 已知AB CD是 O中互相垂直的弦 并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分 则弦和圆心的距离为 cm 2 已知 O的半径为10cm 弦MN EF 且MN 12cm EF 16cm 则弦MN和EF之间的距离为 3 已知 O中 弦AB 8cm 圆心到AB的距离为3cm 则此圆的半径为 4 在半径为25cm的 O中 弦AB 40cm 则此弦和弦所对的弧的中点的距离是 5 O的直径AB 20cm BAC 30 则弦AC 14cm或2cm 2 5cm 10cm和40cm 4 如图 在 O中 AB AC是互相垂直的两条弦 OD AB于D OE AC于E 且AB 8cm AC 6cm 那么 O的半径为 A 4cmB 5cmC6cmD8cm 5 在半径为2cm的圆中 垂直平分半径的弦长为 6 如图 O直径AB和弦CD相交于点E 已知AE 6cm BE 2cm CEA 30 则CD长为 B F 8 已知 如图 AB CD是 O直径 D是AC中点 AE与CD交于F OF 3 则BE 9 如图 DE O的直径 弦AB DE 垂足为C 若AB 6 CE 1 则CD OC 10 已知 O的直径为10cm 弦AB CD AB 12cm CD 16 则弦AB与CD的距离为 6 9 4 2cm或14cm 3 为改善市区人民生活环境 市建设污水管网工程 某圆柱型水管的直径为100cm 截面如图 若管内污水的面宽AB 60cm 则污水的最大深度为cm 能力提升 若遇下雨天 管内污水水面上升了70cm 则污水的水面宽AB cm 船能过拱桥吗 变形题 如图 某地有一圆弧形拱桥 桥下水面宽为7 2米 拱顶高出水面2 4米 现有一艘宽3米 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里 此货船能顺利通过这座拱桥吗 船能过拱桥吗 在Rt OAD中 由勾股定理 得 解得R 3 9 m 船能过拱桥吗 在Rt ONH中 由勾股定理 得 此货船能顺利通过这座拱桥 例题讲解 例1 一条 米宽的河上架有一半径为 m的圆弧形拱桥 请问一顶部宽为 米且高出水面 米的船能否通过此桥 并说明理由 4 已知 ABC中 A 900 以AB为半径作 A交BC于D AB 5 AC 12 求CD的长 A B C E D 垂径定理的应用 1 已知 AB CD是 O的两条平行弦 MN是AB的垂直平分线 求证 MN垂直平分CD2 在直径为130mm的圆铁片上切去一块高为32mm的弓形铁片 求弓形的弦AB的长 作业 问题 车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原 你有办法吗 生活生产中的启示 A B 方法 寻求圆弧所在圆的圆心 在圆弧上任取三点 作其连线段的垂直平分线 其交点即