D3_3连续函数性质

第一节 五 闭区间上连续函数的性质 六 一致连续性 机动目录上页下页返回结束 函数的连续性 第三章 习题课目录上页下页返回结束 五 闭区间上连续函数的性质 在本节中将研究f在 a b 上的整体性质 一些证明将在下节里给出 点 注意 若函数在开区间上连续 结论不一定成立 1 最值定理 定理1 在闭区间上连续的函数 即 设 则 使 值和最小值 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 点 机动目录上页下页返回结束 例如 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 机动目录上页下页返回结束 这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性 质有着根本的区别 推论 由定理1可知有 证 设 上有界 二 介值定理 定理2 零点定理 至少有一点 且 使 机动目录上页下页返回结束 在闭区间上连续的函数在该区间上有界 习题课目录上页下页返回结束 下面用确界定理来证明上述定理2 E为图中x轴上的红 零点 证明如下 的最大值就是函数的 线部分 从几何上看 E 习题课目录上页下页返回结束 我们来否定下面两种情形 连续的 根据保号性 存在 习题课目录上页下页返回结束 同时由x0 supE 对上述d 存在 排除了上面两种情形后 就推得 定理3 介值定理 设 且 则对A与B之间的任一数C 一点 证 作辅助函数 则 且 故由零点定理知 至少有一点 使 即 推论 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 机动目录上页下页返回结束 例1 证明方程 一个根 证 显然 又 故据零点定理 至少存在一点 使 即 说明 内必有方程的根 取 的中点 内必有方程的根 可用此法求近似根 二分法 在区间 内至少有 机动目录上页下页返回结束 则 则 习题课目录上页下页返回结束 证 即 六 一致连续性 已知函数 在区间I上连续 即 一般情形 就引出 了一致连续的概念 定义 对任意的 都有 在I上一致连续 显然 机动目录上页下页返回结束 小结目录上页下页返回结束 首先来看两个例题 例3 证 习题课目录上页下页返回结束 证首先我们说明 例4 习题课目录上页下页返回结束 f x 在区间I上不一致连续的定义 但仍有 确实不是一致 连续的 总有 习题课目录上页下页返回结束 试问 函数在区间I上一致连续与在区 间I上连续的区别究竟在哪里 习题课目录上页下页返回结束 对于任意正数 所得 那么 不仅与 有关 而且还与所讨论的点 习题课目录上页下页返回结束 过程中有一个正下界 当然 2 函数f x 在每一点连续 区间I上就一致连续了 这个下界只与 有关 而与x0无关 则此时f x 在 定理 上一致连续 机动目录上页下页返回结束 下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质 这个定理告诉我们 定义在闭区间上的函数 连 续和一致连续是等价的 习题课目录上页下页返回结束 存在 上一致连续 因此对上述 存在正数 使对任意 习题课目录上页下页返回结束 于是 内容小结 在 上达到最大值与最小值 上可取最大与最小值之间的任何值 4 当 时 使 必存在 上有界 在 在 机动目录上页下页返回结束 1 任给一张面积为A的纸片 如图 证明必可将它 思考与练习 一刀剪为面积相等的两片 提示 建立坐标系如图 则面积函数 因 故由介值定理可知 机动目录上页下页返回结束 则 证明至少存在 使 提示 令 则 易证 2 设 一点 习题课目录上页下