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四 多自由度体系的振动 多自由度无阻尼自由振动振型的正交性多自由度的受迫振动杆系结构有限元动力分析多自由度时程分析方法结论与讨论 1 虽然很多工程问题可以化为单自由度问题计算 但为了有足够的分析精度 一些问题也必须作多自由度进行分析 在等效粘滞阻尼理论下 第二章讨论了两和多自由度体系的运动方程 理论上阻尼矩阵 C Cij Cij表示j自由度单位速度引起的i自由度方向的阻尼力 但实际上Cij一般是确定不了的 目前多自由度问题分析先求无阻尼自由振动确定频率 振型等动力特性 然后利用振型的正交性 在假定阻尼矩阵也正交条件下 将多自由度分析通过振型分解化为单自由度问题的组合来解决 再一次体现了 化未知问题为已知问题的研究方法和思想 对复杂荷载情况 象地震地面运动等离散荷载 要用时程分析方法或随机振动理论来解决 第六章 因此 首先介绍无阻尼自由振动 2 4 1多自由度无阻尼自由振动 多自由度运动方程为 无阻尼自由振动运动方程为 设其解为 A sin t 代入运动方程可得 2 M K A sin t 0 为使系统有非零的振动解答 必须 2 M K 0 1 或者 2 M K A 0 2 上述两式分别称为频率和特征方程 由式 1 展开可得双n次方程 对一般建筑工程结构 求解可得到n个实的不等的正根 它们即为系统的频率 但一般更多是从式 2 出发 3 4 1多自由度无阻尼自由振动 式 2 可改写为 2 M A K A 3 数学上称作广义特征值问题 为了将其化为标准实对称矩阵特征值问题 需作如下改造 设 M M 1 2 T M 1 2 4 M 1 2 A X 则 A M 1 2 1 X 5 代回式 3 得 2 M 1 2 T X K M 1 2 1 X 6 方程两边再左乘 M 1 2 T 1 则 2 X M 1 2 1 T K M 1 2 1 X 7 记 M 1 2 1 T K M 1 2 1 D 8 由于 K 是对称矩阵 从式 8 可见 D 是对称矩阵 将式 8 代入式 7 可得 2 X D X 9 4 4 1多自由度无阻尼自由振动 式 2 X D X 9 就是实对称矩阵标准特征值问题的方程 利用线性代数所介绍的特征值问题解法就可求得 D 矩阵的特征对 2 X 再由式 5 可求得广义特征问题的振型矩阵 A 由数学可知 对建筑工程一般问题 从n阶的特征方程 3 可求得n个特征对 也即有n个频率 i以及和 i对应的振型 A i 按 i从小到大排列可得结构的频谱 1和 A 1分别称为第一频率 基本频率或基频 第一振型 其他依次称第二 第三等等频率 振型 有了任意n自由度问题自由振动解法 结论 两自由度问题可以作为它的特例 按上述解法 思路进行分析 5 4 1多自由度无阻尼自由振动 对两自由度问题来说 根据具体问题运动方程可以用刚度法建立 也可以用柔度法建立 因此 教材上分别基于刚度法和柔度法进行了具体讨论 给出了频率 振型和刚度系数 质量的关系以及和柔度系数 质量的关系 这些公式能记住更好 但我认为不记也没关系 关键是记住如下一些基本概念 1 在无阻尼自由振动下 M K u 也即惯性力和弹性恢复力平衡 且它们同相位 因此如果设振幅为 A 式 3 也可通过列惯性力 恢复力的幅值方程得到 2 当基于柔度法时 位移由惯性力引起 柔度法特征方程同上理由 同相位 也可直接列幅值方程建立 A 2 f M A 10 3 拿上具体问题后 关键是正确确定 M K 或 f 有了它们不管什麽结构 由统一格式可写出式 3 或式 10 6 4 1多自由度无阻尼自由振动 4 两自由度问题n 2 展开特征方程将得到双二次频率方程 根据具体的刚 柔度系数和质量 解此频率方程即可得频率 1和 2 5 将频率 1和 2代回特征方程只能得到和某频率对应的位移比值 齐次方程只能得到比值 对它可以进行 规格化 一般使最大值等于1 即可得振型 6 自由振动的通解可由各频率的简谐振动解答叠加得到 振幅 相位由质量的初位移 初速度 n个自由度有2n个初始条件 来确定 综上可见 有了 M K 或 f 剩余工作主要是数学运算了 但要达到熟练掌握 必须到SMCAI里多看一些例子 多做一些练习 限于学时这里不举例了 7 4 2振型的正交性 因为 i2 M A i K A i j2 M A j K A j前一式左乘 A jT 后一式左乘 A iT 再将两式相减 由于质量 刚度的对称性 可得 i2 j2 A jT M A i 0 11 由此可得 A jT M A i 0 12 上式乘 j2 考虑到 j2 M A j物理意义是第j振型对应的惯性力幅值 因此式 12 表明第j振型对应的惯性力在第i振型位移上不做功 从式 12 和特征方程立即可证 A jT K A i 0 13 它表明第j振型对应的弹性恢复力在第i振型位移上不做功 8 4 2振型的正交性 式 12 和式 13 从数学上说 是不同振型对质量 刚度加权正交 也即振型具有正交性 从第i振型幅值方程 立即可得 i2 A iT M A i A iT K A i 14 记Mi A iT M A i 15 称作第i振型广义质量 记Ki A iT K A i 16 称作第i振型广义刚度 则 i2 Ki Mi 17 也即第i频率的平方可象单自由度一样 由广义刚度和质量来求 式 12 和 13 是最基本 最常用的正交关系 9 4 2振型的正交性 因为 i2 M A i K A i a 两边同时左乘 A jT K M 1 则 i2 A jT K M 1 M A i i2 A jT K A i i2 A jT K M 1 K A i 0 b 式 a 两边同时左乘 A jT K M 1 K M 1 则可证 i2 A jT K M 1 K A i i2 A jT K M 1 K 2 A i 0 c 按此思路继续左乘 即可证明 A jT K M 1 K n A i 0 18 类似地 请自行证明 A jT M K 1 M n A i 0 19 式 18 和式 19 中n是正整数 它们还可合并为一个式子 请大家思考如何合并 这是更一般的正交关系 10 4 2振型的正交性 式 12 和 13 或式 18 和 19 正交性在多自由度分析中有极重要的作用 应该深刻理解 利用正交性可作如下工作 1 在正确确定 K M 前提下 可用它校核振型计算的正确性 2 已知振型 K M 的条件下 可用它求振型对应的频率 3 可用正交性将任意位移分解成振型的组合 例如有位移 y 可设 y ci A i ci为组合系数 等式两边同时左乘 A jT M 根据正交性则有 A jT M y cjMj d 由此可求出组合系数cj 代回 y ci A i即可得按振型分解的结果 11 4 2振型的正交性 4 可将多自由度问题化成单自由度问题来解决 实际上 只要设 u t yi t A i 代入运动方程可得 M i t A i K yi t A i 0 e 方程两边同时左乘 A jT 根据正交性则有Mj j t Kj yi t 0 20 从式 20 可得 根据单自由度自由振动结果 yi t aisin it ci f 代回多自由度所假设的解 即可得 u t aisin it ci A i 21 5 式 21 中的待定常数ai ci可由初始条件确定 如何确定请自行考虑 6 正交性还是受迫振动分析的基础 12 4 3多自由度的受迫振动 4 3 1多自由度受迫振动的振型分解法多自由度任意荷载下运动方程为 象上节4 一样 设 u yi t A i 也即位移分解成各振型的组合 组合系数yi t 称广义坐标 则 M i t A i C i t A i K yi t A i P t a 如果阻尼矩阵对振型不正交 也即 A jT C A i 0 b 则式 a 将是联列的微分方程组 求解将是很困难的 为此 通常引入正交阻尼假设 也称Rayleigh 瑞利 比例阻尼如下 C 0 M 1 K 22 也即认为阻尼和系统质量 刚度成正比 0比 1可用振型正交性由阻尼比 i j和频率 i j确定 作业 13 4 3多自由度的受迫振动 在正交阻尼假设下 A iT C A i Ci 23 式 a 两边同时左乘 A iT 则可得Mi i t Ci i t Ki yi t A iT P t 24 其中Mi Ci Ki 分别称为第i振型广义质量 广义阻尼 广义刚度 再记第i振型广义荷载为 A iT P t Pi t 25 则式 24 是广义坐标yi t 的单自由度方程Mi i t Ci i t Ki yi t Pi t 26 利用Duhamel积分可求出式 26 的解答为 代回 u yi t A i 即可得多自由度受迫振动解答 14 4 3多自由度的受迫振动 如果 P t P f t 27 则Pi t A iT P f t Pi f t c 记 i A iT P Mi Pi Mi 28 称为第i振型的振型参与系数 则可得Mi i t Ci i t Ki yi t iMi f t 29 或 i t 2 i i i t i2yi t if t 30 在零初始条件下 广义坐标为 代回 u yi t A i 即可得 u i i t A i i t 称为第i振型的广义位移 31 32 15 4 3多自由度的受迫振动 4 3 2简谐荷载下的受迫振动反应设动荷载 转动机器引起 为 P t P sin t 33 则由式 28 可求得各振型的振型参与系数 i 当只讨论稳态振动 并且认为 i i d 忽略阻尼对频率的影响 时 根据单自由度所得结果 广义位移为 i t isin it i i2 34 式 34 中 i为第i振型动力系数 i 1 i2 2 4 i2 i2 1 2 35 其中 i为第i振型频率比 i i i为第i振型相位角tg i 2 i i 1 i2 36 将式 34 代回 u i i t A i 得 u t i isin it i i2 A i 37 无阻尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例 在上述结果中令 i 0得到 16 4 3多自由度的受迫振动 4 3 3简谐荷载受迫振动反应分析步骤当动荷载为 P sin t 或 P cos t 时 多自由度系统稳态反应分析 可按如下步骤进行1 确定系统质量 M 刚度 K 或柔度 f 矩阵 2 求无阻尼自由振动的振型 A i 频率 i 3 用阻尼比 1 2和频率 1 2求瑞利阻尼的 0和 1 4 求i振型振型参与系数 i A iT P A iT M A i 5 求i振型阻尼比 i 1 2 0 i 1 i 6 求i振型动力系数 i 1 i2 2 4 i2 i2 1 2 7 求i振型相位角 i arctg 2 i i 1 i2 8 求i振型广义位移 i t isin it i i2 9 将各振型广义位移代回 u i i t A i 则得最终结果 u t i isin it i i2 A i 37 17 4 4杆系结构有限元动力分析 4 4 1基本原理对动力问题 设单元位移场仍表示成 d N d e 只是现在 d d x t d e d t 设杆单元的密度为 将微段惯性力 a Adx作为体积力 则这一单元荷载的总虚功为 38 引入单元一致质量矩阵 m e 39 18 4 4杆系结构有限元动力分析 由式 39 代入形函数并积分 对质量均匀分布的平面弯曲单元 其单元一致质量矩阵 m e为 40 作业 试求拉压杆单元的一致质量矩阵 k 19 4 4杆系结构有限元动力分析 当在无阻尼情况下 用虚位移原理进行单元分析可得单元刚度方程 注意 现在的分析是对单元局部坐标系的 由此 单元刚度方程 出发 经坐标转换 整体集装 定位向量 对号入座 后 可得有限元所建立的运动方程 41 42 如果要考虑阻尼 则可利用瑞利阻尼 由结构一致质量矩阵 M 和结构刚度矩阵 K 来建立结构阻尼矩阵 C 20 4 4杆系结构有限元动力分析 4 4 2几点说明1 以单元上无荷载作用 仅产生单位位移的形函数作为单元位移场 这是常用的一种近似处理 2 结构一致质量矩阵和结构刚度矩阵非零元素分布一样 3 Clough教授曾经指出 对于框架结构 将杆件一半质量集中在杆端 用集中质量法计算不仅在处理后可减少未知数个数 自由度 而且往往精度更好 4 当采用集中质量法时 M 中相应转动自由度的对角线元素 转动惯量 为零 假设位移编码将转动自由度集中在最后编 则无阻尼运动方程分块形式为 M1 K11 u K12 R1 K21 u K22 R2 由此消去 可得只有线位移自由度的方程 21 4 4杆系结构有限元动力分析 4 4 2几点说明5 如果分析时用集中质量法且不考虑轴向变形 则集装后最终质量矩阵是每层质量对角排列的形式 这是目前杆系模型的常用计算方案 6 对于上述杆系模型的计算程序 质量矩阵很简单 但是集装形成刚度矩阵时 要做4 中所述的 静力缩聚 当 R2 0 时 K1 K11 K12 K22 1 K21 运动方程为 M1 K1 u R1 43 自由度数等于框架的层数 7 本节基本原理是对杆系结构进行说明的 象计算结构力学力里一样 思路 方法也可用于其他位移有限元动力分析 8 程序Vibra可用来计算杆系结构的自振特性等等 请大家使用 22 4 5多自由度时程分析方法 4 5 1多自由度的线加速度法在3 3节介绍了单自由度线加速度法 从运动方程的相似性m c ku P t M C K u P t 显然在 0 t 时间间隔内假设加速度线性变化 则将3 3节m c k P换成 M C K P t 即可得到多自由度线加速度法的等效刚度和等效荷载 数值积分能做线性 非线性时程分析 对非正交阻尼矩阵也能求解 重要 高层结构要用时程分析 4 5 2多自由度的Wilson 法线加速度法要求 t小于系统最短周期的1 10 当自由度很多时频率将很高周期很短 这一要求使计算很费时间 而且进一步数学分析表明它是条件稳定的 23 4 5多自由度时程分析方法 Wilson提出 假设 0 t 加速度线性变化 仿线加速度法进行推导 可得 K a0 M a1 C K 44 P t t P t P t t P t M a0 u t a2 t 2 t C a1 u t 2 t a3 t 45 K u t t P t t 46 由式 46 可解出 u t t 进一步可以求的t t时刻的状态向量 4 5 3Wilson 法的步骤1 形成系统 M C K 2 确定初始状态向量 u 0 0 0 3 确定 一般为1 4 和 t 按以下公式计算常数 24 4 5多自由度时程分析方法 a0 6 t 2 a1 3 t a2 2a1 a3 t 2 a4 a0 a5 a2 a6 1 3 a7 t 2 a8 t2 6 47 4 按式 44 计算等效刚度 5 对等效刚度进行LDLT分解 获得D和L 6 按式 45 计算等效荷载 7 用线性方程组的LDLT法解 u t t 8 按以下公式计算t t时刻的状态向量 t t a4 u t t u t a5 t a6 t t t t a7 t t t 48 u t t u t t t a8 t t 2 t 9 按6 8 逐步计算 求整个时程的反应 4 5 4Wilson 法的几点说明1 这是无条件稳定的算法 25 4 5多自由度时程分析方法 2 用这种方法会带来附加的阻尼 算法阻尼 使频率减少 周期增长 3 当 t太大时 有所谓 超越现象 导致发散 4 其截断误差为 t2量级 因此精度较低 提高精度就得减小步长 t 这又将增加工作量 4 5 5其他数值逐步积分方法为了提高精度 国内外学者做了很多研究 目前常用的算法除上述两种外 还有Newmark法 H