第六讲解析几何初步.ppt

解析几何的基本思想解析几何的基本思想是在平面上引进所谓 坐标 的概念 并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对之间建立一一对应的关系 使几何代数与几何实现了有机的统一 解析几何的研究方法 交流内容 一 梳理知识 二 聚焦考点 三 赏析试题 一 解析几何知识梳理 一 总体结构 知方程画曲线用曲线研究方程 二 解析几何具体结构 二 解析几何具体结构 三 高中解析几何主要思想与方法 高中解析几何既是一种重要的数学思想 也是一种重要的数学方法 其核心是 数形结合 的思想方法 同时 由于解析几何内容的综合性 在解决问题的过程中 就必然还要用到其它的思想方法 如函数与方程 特殊与一般 分类与整合的思想 以及待定系数法 换元法等等 四 高中解析几何的能力要求 高中解析几何课程具有培养学生的运算求解能力 推理论证能力 抽象概括能力的功效 也是培养学生数学综合能力 应用意识与创新意识的好场所 1 考试要求 1 新课程 考试大纲 与我省 考试说明 的差异比较理科 了解 掌握抛物线的定义 几何图形 标准方程及其简单性质 无说明 掌握直线与圆锥曲线的位置关系 了解 能解决圆锥曲线的简单应用问题 文科 无说明 理解直线与圆锥曲线的位置关系 没变化 了解圆锥曲线的简单应用 二 聚焦考点 1 考试要求 2 高中平面解析几何的内容要求的层次分析理科 双曲线与方程 曲线与方程的概念 文科 抛物线与方程 双曲线与方程 圆锥曲线的简单应用 界定为了解水平 其余都在理解 掌握的水平上 可见这块知识的重要性 这方面知识的考查在难题 中档题都有可能出现 2 考点分析 1 平面解析几何试题统计表表 一 2009 2013福建高考 理科 解析几何试题的总体分布表 二 2009 2013福建高考 理科 解析几何试题的总体分布 2 统计分析 结合2013年全国各高考卷和福建近五年试卷 题型 题量 难易度与分值统计表明 在2013年的解析几何试题中 从所考查的题量分值上看 绝大多数试卷的圆锥曲线题量都保持着一小一大或两小一大的格局 分值约在17 23分之间 从试题所处的位置看 绝大多数解答题都设置在后三题的位置上 其把关题的作用依旧突出 福建5年而言 题型 题量与分值与全国情况基本类似 理科考查权重18 16 324 11 应考分值16 5 文科考查权重 18 12 250 12 应考分值18 实际考查与考查权重基本上相吻合 难度而言从2009到2011年解析几何的难度明显下降 2012年突然加大难度 2013年有所回归 去模式化 例子 内容 知识点从考查内容看 重点考查圆锥曲线的定义方程和几何性质的地位依然不变 其中大多数大题的背景仍以椭圆居多 抛物线次之 双曲线最少 且都以小题为主 从所考查的知识点看 在注重考查基本概念和几何性质的基础上 加大了学科内的知识综合 福建近5年试卷 若考虑理科的选修4 4的参数方程与极坐标 几乎各块都有考 只是不同的交汇形式而已 但解答题背景以椭圆 抛物线 文科以抛物线 圆为主 2 统计分析 数学思想和方法从所考查的数学思想方法看 在重视解析几何本质的同时 既强调通性通法 淡化特殊技巧 又注重提供灵活运用坐标法解题的空间 解析几何的基本思想突出表现为坐标法 向量法的应用 用斜率公式 两点间距离公式 点到直线距离公式 弦长公式 联立方程等代数工具来刻画图形的几何性质 描述直线与圆锥曲线 椭圆 抛物线 的位置关系 求解轨迹方程 探究最值 定值 范围等问题 通常以解答题的形式呈现 是解析几何最重要的考查点 2 统计分析 2 统计分析 同一套试卷文科 理科的差异文理科的解析几何试题在试卷中呈现较大的差异 主要通过相同试题的位置处理或姊妹题的背景或设问方式处理 使得整体的考查内容既有较高的相似度 又符合文理科的考纲要求 较好地反映了文理科学生学习基础 水平上的差异 体现了 标准 中 高中数学课程应具有多样性与选择性 使不同的学生在数学上得到不同的发展 的理念 2 统计分析 解析几何与不同模块知识的大交汇解析几何与不同模块知识的结合 常常是视角别致 情境新颖 为高考解析几何试题的命制拓宽了思路 是实现在知识网络交汇点处设计试题的良好的素材 较好地体现了解析内容的综合性 表中显示 解析几何常与函数 导数 向量 平几 不等式的结合综合考查 其中以函数 向量 平几的结合最为常见 其实质是解析几何内容特点的反映 较好地体现了解几内容在高考选拔中的作用 下面结合2013年全国高考试题以及福建09 13年的部分试题 对解析几何的知识思想方法和能力考核目标分类加以细化分析 一 直线与圆考核目标细化分析 二 椭圆的考核目标细化解析 三 双曲线的考核目标细化解析 四 抛物线的考核目标细化解析 五 亮点试题推荐 三 赏析试题 一 直线与圆考核目标细化分析理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线斜率的计算公式 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 掌握直线方程的几种形式 掌握三种距离 会直线与圆的位置关系的判定 直线与圆中的度量 弦长 距离等 分析 直线与圆的方程等 强化了求弦长 求圆的切线方程 求圆的方程 直线与圆的位置关系判定 圆与圆的位置关系判定等技能与技巧的考查 同时 关注对图形几何特征的代数转化 数形结合化归与转化 分类讨论 待定系数法等基本数学思想与方法的渗透 三 赏析试题 评注1 以抛物线的基础知识为背景 考查圆的一般方程 只需求得圆心和半径即可 评注2 第 I 问已知直线的方程及直线和圆相切 求圆的方程 主要考查待定系数法求圆的方程 评注3 第 问和上一题相比较 考查的内容相同 都是求圆的方程 但条件呈现的形式不同 此时的直线是抛物线的准线要自己求得 通过对前三道题目的分析和比较 可以清晰地看出 直线与圆的方程这部分内容 在高考中的考查 一般难度不大 基本上是考查双基问题 对运算能力的要求相对也比较低 评析 对直线与圆的位置关系问题 经常受到命题者的青睐 由于直线与圆的位置关系问题是为学习直线与圆锥曲线位置关系问题做铺垫 这两种题型中的很多解题的思想方法是一样的 所以 命题者如果为了达到试题的考查目标 但又不至于让题目的运算量很大 往往会借助直线与圆的位置关系问题进行考查 所以也才会出现 在全国各地的高考试卷中 文科卷的解答题更喜欢考 直线与圆的位置关系问题 这一命题特点可能得引起文科老师的注意 2013年这道试题 题目看完不会让考生感觉很难受 也不会让考生出现题目看不懂 无从下手 事实上 这道题目已经把解析几何的本质体现得淋漓尽致 即题目给出的这一几何条件 如何把它翻译成代数问题 如何设圆的圆心坐标 进而求得圆的方程及半径 这与我们前面介绍的解析几何的思想方法不谋而合 二 椭圆的考核目标细化解析掌握椭圆的定义标准方程及简单几何性质 能用文字与符号语言描述椭圆的定义及相关概念 会推导其标准方程 并能用定义和待定系数法求满足条件的椭圆的标准方程 能根据定义和标准方程研究椭圆的范围 对称性 顶点 离心率等简单几何性质 并能综合应用椭圆的几何性质求它的标准方程 能灵活运用椭圆的定义标准方程几何性质和坐标法解决一些与椭圆有关的综合问题及简单的实际问题 纵观2013年的圆锥曲线试题以椭圆为主流 绝大多数试卷的试题都出现用椭圆作背景 主要考查椭圆的定义标准方程几何性质和直线与椭圆的位置关系等问题 评注 这组选择 填空题都是以椭圆的定义标准方程和简单的几何性质为素材 并结合直线与椭圆的位置关系 考查椭圆的离心率问题 要求考生会运用椭圆的定义焦点三角形的性质和数形结合的思想 将问题化归为与离心率相关的方程 从而求出离心率 这些试题的设计都突出了解三角形和解方程的基本思想方法 较好地体现了椭圆的考核目标要求 评注 这四道解答题的设计有一个很明显的共同特征 就是第 1 问都是求满足题设条件的椭圆方程 在此基础上的第 2 问都是具有一定探究性的直线与椭圆位置关系 定值 最值等类似地问题 统计发现 在2013年高考中 新课程全国 卷理科第20题 天津卷文理共用第18题 安徽卷文科第21题 山东卷文理科第22题等十几道题都是这种套路 所有这些题的立意和设问仍还是非常强调通性通法的考核 体现了淡化特殊技巧强调通性通法的命题思想 无论是内容创新还是去模式化都必须源于中学数学的教学实际 做到新 变 但不怪 难 恰当处理好这两者之间的关系 可能是今后圆锥曲线试题的命题者需要进一步探索的问题 三 双曲线的考核目标细化解析了解双曲线的定义 标准方程及简单几何性质 会直观地认识双曲线 会识别双曲线的定义和相关概念 会模仿导出其标准方程 并会用定义和待定系数法求满足条件的双曲线的标准方程 知道双曲线的范围 对称性 顶点 渐近线和离心率等简单几何性质 会根据双曲线的标准方程和几何性质初步解决一些简单问题 四 抛物线的考核目标细化解析掌握抛物线的定义标准方程及简单几何性质 能用文字与符号语言描述抛物线的定义及相关概念 会推导其标准方程 并能用定义或待定系数法求出满足条件的抛物线的标准方程 能根据定义和标准方程研究抛物线的范围 对称性 顶点等简单几何性质 并能综合应用抛物线的几何性质求它的标准方程 能灵活运用抛物线的定义标准方程几何性质和坐标法解决一些与抛物线相关的综合问题及简单的实际问题 评注 我省的这三道解答题都是结合图形的几何特性 起点定位于求抛物线标准方程 终点落脚于直线与抛物线的位置关系 尤其是 L1319 立意于抛物线的一种几何生成方式 以求抛物线方程和直线方程进行设问 体现了坐标法的本质这类试题要求考生能抓住抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系 合理运用化归与转化思想 数形结合思想和函数与方程思想指导解题过程 较好地考查了学生的运算求解能力 五 试题亮点赏析通过上述分类解析 不难看出 2013年高考的圆锥曲线试题 大多数试题都是常规题型 只有少数试题在交会性 存在性 开放性的特点上富有创意 主要体现在动态探究型试题 2013年湖北卷 信息迁移型试题和自然交会型试题 2013年上海卷 的创新设计上 其立意新颖构思精巧设问开放解法多样 成为2013年高考圆锥曲线试题中的亮点 评析 本题以椭圆离心率的几何性质为背景 将控制椭圆扁平程度的伸缩量融入到三角形的面积关系之中进行设问 主要考查运用方程与不等式等基础知识和坐标法研究直线与椭圆的位置关系问题 两个共长轴但离心率不同的椭圆和一条过坐标原点的直线构成的图形对称和谐 两个错位对接的三角形又仿佛一只飞舞着的蝴蝶 栩栩如生 以极富美感的动态方式 充分展现了解析几何数形结合的本质和韵味 两问自然衔接 体现着从特殊到一般的探究过程从具体到抽象的数学思想方法 同时通过探究图形蕴含着的动态变化中的不变性 让考生体验由形到数 再由数到形的分析过程 有效地检测了考生对数形结合 化归与转化 函数与方程等思想和坐标法的理解和掌握程度 可以看作双曲线的两条渐近线将平面分成两两对称的四部分 如图11所示 在不含双曲线的两个对称区域 内 过原点的直线与双曲线没有公共点 在含双曲线的两个对称区域内 过原点的直线与双曲线始终有两个交点 由此把两类曲线 两组射线和两支双曲线 既对称分离又整合统一 将其化归为四个对称区域进行处理 便可使问题迎刃而解 试题的设问采用开放性与封闭性有机结合 要求考生具有良好的几何直觉意识和分类讨论思想 充分体现了在新情境下 通过合情推理和分步探究以达到解决问题的目的 有效地考查了考生的创新应用能力 四 减负增效复习建议 1 研读文件 落实说明首先 应认真研读 考试大纲 考试说明 所谓 万变不离其宗 虽然高考试题每年都在变化 但命题的依据是 考试说明 和 考试大纲 要以此为根本 弄清高考对基础知识 基本技能 基本思想 数学素养等方面的要求 为教学工作提供支持 2 立足课本 研究教材从近年的高考试题中 我们可以发现高考命题的一个重要规律 高考试题在课本中都能找到题源 因为高考命题的一个不变的原则就是 源于课本 又不囿于课本 因此 在高考的复习中 我们必须重视课本知识的回顾和整理 对课本知识重新认识 挖掘其更深层次的内容 变化 深化 串化 优化课本例题 习题 充分发挥课本上的典型例题 习题的作用 提高复习效率 以期达到事半功倍的复习效果 A 圆锥曲线的定义 标准方程及简单几何性质的应用主要考查 求标准方程 求离心率 求基本量等 这是圆锥曲线的基础内容 解决问题的基本策略 结合圆锥曲线的几何性质 抓住圆 圆锥曲线的定义 分析思辨 一般都能找到好的解题思路 3 理清解析几何问题的基本解题策略 构建方法体系 B 已知曲线求轨迹方程的问题 这是建方程问题应掌握常见的求解的方法 如 直译法 定义法 相关点法 参数法等 探求轨迹问题中 涉及到弦的中点 弦的斜率 端点坐标等问题 常用 点差法 进行 设而不解 借石攻玉 可减少了运算量 是一条解题思路的捷径 C 已知方程研究曲线的性质 这是用方程问题诸如直线与曲线位置关系 定点 看作是直线与曲线交点 问题 定长 定值 最值对应的几何量也可转化为直线与曲线位置关系的交点问题 归根结底 其基本策略就是联立方程求解的代数问题 所以 上述问题的实质是建方程和用方程的问题 即便是与其它知识 如函数 数列 不等式 三角函数 向