3.2.3直线的一般式方程

3 2 3直线的一般式方程 复习回顾 点P x0 y0 和斜率k 点斜式 斜截式 两点式 截距式 斜率k y轴上的纵截距b 在x轴上的截距a在y轴上的截距b P1 x1 y1 P2 x2 y2 有斜率的直线 有斜率的直线 不垂直于x y轴的直线 不垂直于x y轴 且不过原点的直线 上述四式都可以写成二元一次方程的形式 Ax By C 0 A B不同时为0 思考 1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x y的二元一次方程表示吗 2 每一个关于x y的二元一次方程都表示直线吗 分析 直线方程二元一次方程 2 当斜率不存在时L可表示为x x0 0 亦可看作y的系数为0的二元一次方程 x x0 0y 0 结论1 平面上任意一条直线都可以用一个关于x y的二元一次方程表示 1 当斜率存在时L可表示为y kx b或y y0 k x x0 显然为二元一次方程 直线方程二元一次方程 即 对于任意一个二元一次方程Ax By C 0 A B不同时为0 判断它是否表示一条直线 2 当B 0时 因为A B不同时为零 所以A一定不为零 于是方程可化为 它表示一条与y轴平行或重合的直线 结论2 关于x y的二元一次方程 它都表示一条直线 我们把关于x y的二元一次方程Ax By C 0 其中A B不同时为0 叫做直线的一般式方程 简称一般式 探究 在方程Ax By C 0中 A B C为何值时 方程表示的直线 1 平行于X轴 2 平行于Y轴 3 与X轴重合 4 与Y轴重合 分析 1 直线平行于X轴时 直线的斜率是为零 在X轴上的截距不为0 即A 0 B0 C0 2 B 0 A0 C0 3 A 0 C 0 B0 4 B 0 C 0 A0 练习一 方程Ax By C 0的系数A B C满足什么关系时 它表示的直线有以下性质 与两坐标轴都相交 只与x轴相交 只与y轴相交 是x轴所在直线 是y轴所在直线 过原点且不是坐标轴 AB0 A0 且B 0 A 0 且B0 A C 0 且B0 B C 0 且A0 AB0 且C 0 解 例1 注意 对于直线方程的一般式 规定 1 x的系数为正 2 x y的系数及常数项一般不出现分数 3 按含x项 含y项 常数项顺序排列 例2把直线L的一般式方程x 2y 6 0化成斜截式 求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距 并画出图形 解 化成斜截式方程y x 3因此 斜率为k 它在y轴上的截距是3 令y 0得x 6 即L在x轴上的截距是 6 由以上可知L与x轴 y轴的交点分别为A 6 0 B 0 3 过A B做直线 为L的图形 例3 直线试讨论 1 的条件是什么 2 的条件是什么 例4已知直线l1 ax a 1 y a 0和l2 a 2 x 2 a 1 y 4 0 若l1 l2 求a的值 例5已知直线l1 x ay 1 0和l2 a2x y 2 0 若l1 l2 求a的值 练习 1 已知直线l1 x a 1 y 2 a 0和l2 2ax 4y 16 0 若l1 l2 求a的值 a 1 2 m n为何值时 直线mx 8y n 0和2x my 1 0垂直 解 1 若两条直线的斜率都存在 则m不等于0 且两条直线的斜率分别为但由于所以两条直线不垂直 2 若m 0 则两条直线中一条直线的斜率为0 另一条斜率不存在 这时两条直线垂直 方程分别为 综上知 m 0 n为全体实数时 两条直线垂直 点评 分类讨论思想的运用 如不分类将找不到正确答案 直线系方程 1 与直线l 平行的直线系方程为 其中m C m为待定系数 2 与直线l 垂直的直线系方程为 其中m为待定系数 三 直线系方程 练习 1 直线Ax By C 0通过第一 二 三象限 则 A A B 0 A C 0 B A B 0 A C0 D A B 0 A C 0 2 设直线l的方程为 m2 2m 3 x 2m2 m 1 y 2m 6 分别根据下列条件确定m的值 1