2.3函数的连续性

二 函数的间断点 一 函数连续性的概念 第三节 机动目录上页下页返回结束 函数的连续性 第一章 三 连续函数的运算性质 四 初等函数的连续性 可见 函数 在点 一 函数连续性的概念 定义2 6 在点 的某邻域内有定义 则称函数 1 在点 即 2 极限 3 设函数 连续必须具备下列条件 存在 若 有定义 存在 机动目录上页下页返回结束 极限值 函数值 对自变量的增量 有函数的增量 左连续 右连续 当 时 有 函数 在点 连续有下列等价命题 机动目录上页下页返回结束 定义2 7 continue 若 在某区间上每一点都连续 则称它在该区间上 连续 或称它为该区间上的连续函数 例如 在 上连续 有理整函数 又如 有理分式函数 在其定义域内连续 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 都有 机动目录上页下页返回结束 例1 证明函数 在 内连续 证 即 这说明 在 内连续 同样可证 函数 在 内连续 机动目录上页下页返回结束 例2 问a为何值时 f x 在x 0连续 解 f 0 3 3 为使f x 在x 0连续 必须 即 a 3 故当a 3时 f x 在x 0连续 a 在 在 二 函数的间断点 1 函数 2 函数 不存在 3 函数 存在 但 定义2 9如果函数f x 在点a处不满足连续性条件 则称f x 在点a不连续 间断 点a称为函数f x 虽有定义 但 虽有定义 且 在 无定义 机动目录上页下页返回结束 的间断点 间断点分类 第一类间断点 及 均存在 若 称 若 称 第二类间断点 及 中至少一个不存在 称 若其中有一个为振荡 称 若其中有一个为 为可去间断点 为跳跃间断点 为无穷间断点 为振荡间断点 机动目录上页下页返回结束 为其无穷间断点 为其振荡间断点 为可去间断点 例如 机动目录上页下页返回结束 显然 为其可去间断点 4 5 为其跳跃间断点 机动目录上页下页返回结束 例3 求 的间断点 并判别其类型 解 x 1为第一类可去间断点 x 1为第二类无穷间断点 x 0为第一类跳跃间断点 机动目录上页下页返回结束 在其定义域内连续 三 连续函数的运算性质 1 在某点连续的有限个函数经有限次和 差 积 利用极限的四则运算法则证明 商 分母不为0 运算 结果仍是一个在该点连续的函数 例如 机动目录上页下页返回结束 定理2 8 连续函数的复合函数是连续的 设函数 则复合函数 且 即 机动目录上页下页返回结束 简言之 连续函数的符号和极限符号可以换序 3 连续单调递增函数的反函数也连续单调 例如 在 上连续单调递增 其反函数 递减 在 1 1 上也连续单调递增 递增 递减 机动目录上页下页返回结束 例如 是由连续函数链 因此 在 上连续 复合而成 机动目录上页下页返回结束 四 初等函数的连续性 基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如 的连续区间为 端点为单侧连续 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 机动目录上页下页返回结束 利用函数连续性求函数极限举例 解 因为函数在