戴维罗默 高级宏观经济学 第四章 答案.docx

4.1-4.2（1）对中国进行与表4.1，表4.2或表4.3相类似的计算 （2）对下列项做与表4.3相类似计算 （a）GDP （b）就业率 （c）失业率 （d）工资总额 （e）财政赤字(张驰)解：1990至2009年20年间中国GDP趋势其中纵轴单位是亿元，横轴以1990年为基年1990年至2009年每年GDP的增长率1990/199116.6795%199223.6072%199331.2381%199436.407%199526.1335%199617.0789%199710.9536%19986.8749%19996.2496%200010.6354%200110.5232%20029.7373%200312.8727%200417.7109%200515.6739%200616.9663%200722.8815%200818.1464%2009*8.426%三大需求对国内生产总值增长的贡献率和拉动年 份最终消费支出资本形成总额货物和服务净出口贡献率拉 动贡献率拉 动贡献率拉 动(%)(百分点)(%)(百分点)(%)(百分点)197839.44.666.07.7-5.4-0.6198071.85.626.42.11.80.1198585.511.580.910.9-66.4-8.9199047.81.81.80.150.41.9199544.74.955.06.00.3200065.15.522.41.912.51.0200150.24.249.94.1-0.1200243.94.048.54.47.60.7200335.83.663.26.31.00.1200439.54.054.55.56.00.6200537.94.339.04.423.12.6200640.05.143.95.616.12.0200739.25.642.76.118.12.5200843.54.247.54.69.00.8200945.44.195.28.7-40.6-3.7经济增长中一些经济变量行为变量经济增长中的平均变化增长次数GDP+14.3574%9/9就业率+0.0348%4/9失业率-0.349%5/9工资总额+14.8431%9/9财政赤字+15.732%4/9表中数据跨度为2000年至20 09年，数据来自于中国国家统计局网站4.3 令表示第0期的A的值，并令lnA的行为由式（4.8）和式（4.9）给定。（a）用、和g来表示、和。（b）根据的期望为0这一事实，当给定、和g时，求、和的期望值。（朱琴）解：（a）首先给出表示技术进步的公式，即方程（4.8）和（4.9）： （1） （2）由（1）式可得：，从而可求得： （3）在时期1，利用公式（1）和（2）可得到： （4） （5）将公式（3）和（5）代入（4）得： （6）在时期2，结合公式（1）和（2）得： （7） （8）进而求得： （9）同理在时期3得： （10）（b）因为，通过公式（6）可以得到的期望值，即： 又因为，通过公式（9）可以得到的期望值： 同理，从而通过公式（10）得： 4.4 假设第t期的效用函数为，而非式（4.7）。（a）考虑类似于式（4.12）式（4.15）中研究的一期问题。劳动力供给如何取决于工资。（b）考虑类似于式（4.16）式（4.21）中研究的两期问题。两期中闲暇的相对需求如何取决于相对工资？如何取决于利率？从直观上解释为什么会影响劳动供给对工资和利率的反应程度。（朱琴）解：（a）假定没有初始财富并将家庭的规模正规化为1，则问题可表示如下： s.t. 建立拉格朗日方程：一阶条件为： （1） （2） 将预算约束代入公式（1）得： （3）将公式（3）代入公式（2）化简得： （4）从公式（4）对劳动供给量的潜在定义中可以看出，劳动供给量的大小与实际工资无关。（b）计算两期中的相对闲暇，即。假设家庭生存两期，没有初始财富，家庭规模正规化为1，没有不确定性。问题可表述为：s.t. 建立拉格朗日方程：一阶条件为： （5） （6） （7） （8）将式（7）和（8）关于的表达式联立求解，化简可得： （9）如果上升，则也会随之上升。因此，假设第二期的实际工资相对于第一期的实际工资上升，第一期的空闲时间相对于第二期来说就会增加，或者说第一期的劳动时间相对于第二期而言就会减少。从公式（9）中也可看出，如果r升高，就会减小。因此，假设实际利率增加，则第一期的闲暇时间相对于第二期来说就会减少，或者说第一期的劳动供给相对于第二期而言就会增加。下面计算弹性，从直观上解释为什么会影响劳动供给对工资和利率的反应程度：令和，从而得到，令，则因此越小，即越大，个人越有可能对实际工资和实际利率的变化做出反应。4.5 考虑式（4.16）式（4.21）中研究的问题：（a）证明：当保持不变时，和的增加不会影响和。（b）现在假设家庭的初始财富为Z0。（1）式（4.23）是否继续成立？为什么？（2）（a）部分的结论是否继续成立？为什么？（朱琴）解：（a）证明： （1） s.t. （2）建立拉格朗日方程： （3）其一阶条件及其代数运算为：由可推出： （4） 由可推出： （5）由可推出： （6）由可推出： （7）将方程（4）（7）代入方程（2），得：解得： （8）将（8）式代入（6）式可以得到第一期劳动供给量的表达式：是关于相对工资的函数，因此，无论、怎么变化，只要不变，将保持不变。同理将（8）式代入（7）式可以得到第二期劳动供给量的表达式：是关于相对工资的函数，因此，无论、怎么变化，只要不变，将保持不变。（b）（1）家庭的初始财富为Z0，并不影响，它将继续成立。考虑家庭在t期的情况。假设家庭将每成员平均消费减少微小的数量，如c，然后利用由此得到的更多财富来把下一期的每成员平均消费增加到原有消费的水平之上。如果家庭的行为是最优化的，则这种边际变化必定使期望效用保持不变。由家庭效用函数和得：在第t期每成员平均消费的边际效用为。因此这种变动的效用成本为， （9）由于家庭在第t+1期的成员数是第t期的倍，因而第t+1期每成员消费的增加为。第t+1期每成员平均消费的边际效用为。因此，从第t期来看的期望效用收益为， （10）令（9）式和（10）式相等，即由于，化简上式可得：因此，家庭的初始财富为Z0，并不影响该式继续成立。（2）如果家庭拥有初始财富Z0，则（a）部分的结论不再继续成立。新的预算约束线为： （11）明显在约束中加入一个常数项不会影响一阶条件。将一阶条件（4）（7）代入（11）得：化简求得： （12）将方程（12）代入（6）式可以得到第一期劳动供给量的表达式：由上式可以看出，当变化时，即使也随之变化，而相对工资不变，第一期的劳动供给量也会发生变化，且第一期的劳动供给量和其工资是呈正相关的。同理将（12）式代入（7）式可以得到第二期劳动供给量的表达式：从而可以看出，当变化时，即使也随之变化，而相对工资不变，第二期的劳动供给量也会发生变化，且第二期的劳动供给量和其工资是呈正相关的。4.6 假设一个人存活两期，其效用函数为。（a）假设这个人在其生命第一期的劳动收入为，在第二期为0。因此，第二期的消费为；收益率r可能是随机的。（1）求这个人在选择时的一阶条件。（2）假设r由确定变为不确定，而Er不变。C如何对这一变化做出反应。（b）假设这个人在第一期的劳动收入为0，在第二期为。因此，第二期的消费为。是确定的；r同样可能是随机的。（1）求这个人在选择时的一阶条件。（2）假设r由确定变为不确定，而Er不变。如何对这一变化做出反应。（朱琴）解：（a）（1）实际利率可能是随机的，定义，其中是一均值为0的随机误差项。 （1）将代入（1）式，可得： （2）对（2）两边取导数，即令由于不是随机的，所以化简求解得：(2) 在上述情况下，并不受r的确定性的影响。即使r是随机变量，个人仅消费第一期收入的一半而将另一半储蓄起来。（b）（1）在这种情况下个人在第一期没有收入，而在第二期收入，从而： （3）将（3）代入预期效应函数（1）得： （4）在（4）中求关于的导数，得到一阶条件： （5）利用两个变量的积的期望公式，可得： （6）在上式中，越高，意味着个人不得不付出更多的借款利息，从而降低了第二期的消费，即变大，因此协方差是正的。（2）如果r是确定的，因此r=Er，此时=0，则（6）式可以变为： 整理求解得： （7）如果r是不确定的，因为是的凸函数，根据詹森Jensen不等式，且由协方差为正，（6）式可整理为：将代入可得：从而， （8）由（7）可以知道，（8）式的右边是在确定性条件下的最优选择。因此，如果r由确定变为不确定，而Er不变，的最优选择变小了。本质上说，如果个人在第二期支付的利率面临不确定，他在决定第一期借款消费时必定会非常谨慎。4.7（a）用类似于推导方程（4.23）的论证方法来证明：家庭最优化要求b1-lt=e-Etb1+rt+1wt1-lt+1wt+1。（b）证明这一条件可由式（4.23）和式（4.26）得出。（郭亚红）解：（a）证明：假定家庭在期增加其劳动供给，数量为。因此，这会为家庭带来更大的财富，从而使家庭可以在期减少劳动供应，并且使各期的消费保持不变。如果家庭最优化其行为，这种边际变化不会改变其终生效用。家庭的总效用函数为： U=t=0t=e-tuct，1-ltHNt (1) 家庭的代表性个人的时期的效用函数为： ct+b(1-lt) (2) 在期工作的负边际效用为： -ult=e-tNtH(b1-lt) (3)因此劳动供给量每增加的效用成本为：e-tNtH(b1-lt)l ，这一变化提高了期的收入，为wtl，家庭的人口增长率为en，因此在期增加的人均财富为：e-n（1+rt+1)wtl。如果消费路径不变，需要决定在期每人劳动供给可以减少多少，在期每人放弃1单位劳动的成本为wt+1，即放弃e-n（1+rt+1)wtl/wt+1 单位劳动导致没人收入减少e-n（1+rt+1)wtl 。恰好等于上期增加劳动带来的额外的财富。预期的效用收益为：Ete-t+1Nt+1Hb1-lt+1e-n1+rt+1wtlwt+1将效用成本和效用收益联立，可得：e-tNtHb1-ltl=Ete-t+1Nt+1Hb1-lt+1e-n1+rt+1wtlwt+1因为e-t+1Nt+1He-n是确定的，并且Nt+1=Nten,所以上式可以化简为：b1-lt=e-Etb1+rt+1wt1-lt+1wt+1（b） 证明：考虑期的家庭。假设家庭每个成员降低当前的消费，数量为c，将增加的财富用于增加下一期的消费。下面是教材中4.23给定的公式，假定家庭的行为是最优的：1t=e-Et1+rt+1ct+1假设家庭每个成员时期增加劳动供给，数量为l，将增加的财富用于增加下一期的消费。下面是教材中4.26给定的公式，假定家庭的行为是最优的：ct1-lt=wtb 求出1t1ct=b(1-lt)wt （5）由于（4.26）和（5）在每期都成立，因此在期有1ct+1=b(1-lt+1)wt+1 （6）将（5）和（6）代入（4.23）得b(1-lt)wt=e-Etb（1+rt+1)(1-lt+1)wt+1两边同乘以wt，由于Etwt=wt，从而b1-lt=e-Etb1+rt+1wt1-lt+1wt+1 （7）这个条件和（a）中得到的一样。4.8 一个具有可加性技术冲击的简化真实经济周期模型。考虑一个由长生不老的个人组成的经济。代表性个人最大化的期望值t=0uct(1+)t ，0。瞬时效用函数uct，uct=ct-ct2 ，0 。假设C总处在使u,c为正的区间里。产出是资本的线性函数再加上一个可加性扰动，即Yt=Akt+et。没有折旧，因而Kt+1=Kt+Yt-Ct ，利率为A。假设A=。最后，该扰动服从一个一阶自回归过程：et=et-1+t ，其中-11，t为0均值、独立同分布的冲击。（a）求将ct和ct+1的期望联系起来的一阶条件（欧拉方程）。（b）假设消费具有以下形式；ct=+kt+et。根据这个假设，把Kt+1表示为Kt 和 et的函数。（c）参数、 和必须取何指才能使（a）部分中的一阶条件对Kt 和 et的所有值都成立。（d）一次性的冲击对Y、K和C的路径有何影响？（郭亚红） 解：（a）假定代表性个人降低期的消费为c ，将增加的财富用于增加下一期的消费。期的效用成本为：1+1tu,ctc=1+1t1-2ctc 利用uct=ct-ct2 ，计算 u,ct。通过上面的实验可以得出期的预期效用增加为：Et(11+)t+1u,ct+1(1+A)c=(11+)t+1Et1-2ct+1(1+A)c 其中实际利率为A，化简上式得预期效用增加为：(11+)t+11-2Et（ct+1）(1+A)c如果个人实现最优化自己的行为，则效用成本等与预期的效用收益：1+1t1-2ctc=(11+)t+11-2Et（ct+1）(1+A)c上式化简得：1-2ct=(11+)(1+A)1-2Et（ct+1） 由于=A，进一步化简上式得：ct=Et（ct+1） (1)说明消费遵循随机游走，下一起的预期消费等与本期的实际消费。（b）假设消费函数表示如下：ct=+kt+et (2)将方程（2）和生产函数Yt=Akt+et代入资本积累方程Kt+1=Kt+Yt-Ct 可以得到：Kt+1=Kt+AKt+et-（+kt+et)化简得：Kt+1=-+1-A-kt+(1-)et (3)（c）将方程（2）和带一阶滞后的方程（2）代入一阶条件（1）中，可得：+kt+yet=Et+kt+1+et+1 (4)将方程（3）代入方程（4）得：+kt+et=+Et-+1-A-kt+1-et+Etet+1 由于Etet+1=Etet+t+1=et所以将其代入上式可得：+kt+et=1-+1+A-kt+- et (5)为使（5）成立，需要使两边的kt 和 et的系数以及常数项相等，首先使kt的系数相等，可得：=1+A-得出1=1+A-，得出=A (6)其次使 et的系数相等，可得：=+（-）利用方程（6）并化简上式得：1-+A=A再转化得：=A1-+A (7)最后使常数项相等，可得：=（1-）除非=A=1，否则要求=0 (8)注意这里忽略了条件=0，=0，并且对无任何限制。(d)将（6）-（8）带入消费方程（2）和资本积累方程（3）得：Ct=AKt+(A1-+A)et (9)Kt+1=Kt+(1-1-+A)et (10)为使分析简化，又不失一般性，假定直到期和e都等于0，在期存在一次性的正的冲击t=1-+A，在期，再次等于0。在下面的分析中，一个变量的变化指它的实际值与不存在冲击时的值的差别。在期，Kt不受影响。由（10）可知，Kt由上期的资本存量和上期的e决定。由生产函数Yt=Akt+et可以推出：Yt=Akt+et=0+1-+A因此，在存在冲击时产出高出1-+A。由（9）可知，消费的变化为：Ct=AKt+A1-+Aet=0+A1-+A1-+A=A在存在冲击时，消费高出A。在期，尽管t+1再次为0，et+1也不同于不存在冲击时的情况，因为e的一阶自回归过程，更精确的是：et+1=et=1-+A 由（10）可知，资本存量的变化为：Kt+1=Kt+1-1-+Aet=0+1-1-+A1-+A=（1-）在上一期，产出上升1-+A，但消费仅上升A，剩余的部分是由于投资或资本存量的增加。由生产函数Yt+1=Akt+1+et+1可知，产出的变化为：Yt+1=Akt+1+et+1=A1-+1-+A=A+1-由（9）可知，消费的变化为：Ct+1=AKt+1+A1-+Aet+1=A1-+A1-+A1-+A=A因此，此处消费没有进一步的动态变化，它仍然比未受冲击影响时高出A。同理，t+2期的变化为：et+2=et+1=21-+AKt+2=Kt+1+1-1-+Aet+1=1-+1-1-+A1-+A=1-2Yt+2=Akt+2+et+2=A1-+A1-+21-+A=A+21-Ct+2=AKt+2+A1-+Aet+2=A1-2+A1-+A21-+A=A假设有一期的冲击为t=1-+A。在冲击时，消费上升A 然后永久的保持在新水平上，不存在进一步的变化。除此以外，冲击发生n期后，产出的变化为：Yt+n=A+n1- 资本存量的变化为：Kt+n=1-n 。 Y和K的动态性质依赖于。在特殊情况下，=0，此时技术冲击不存在持久性，期后没有进一步的动态变化。在冲击之后，资本高于1而产出高于A。对于01，冲击发生后资本存量上升1-，接着它继续上升直到达到新的长期水平上。产出在冲击发生后上升1-+A，接着它继续下降直到到达新的长期水平上。对于-10，资本和产出震荡，在它们的新的长期水平上不断上下变化，最终稳定在1和A上。4.9 一个具有偏好冲击的简化真实经济周期模。考虑习题4.8中的结构。但是假设没有技术扰动，且瞬时效用函数为uct=ct-(ct+vt)2。V是0均值、独立同分布的冲击。（a）求将ct和ct+1的期望联系起来的一阶条件（欧拉方程）。（b）猜测消费具有以下形式；ct=+kt+vt。根据这个猜测，把Kt+1表示为Kt 和 vt的函数。（c）参数、 和必须取何指才能使（a）部分中的一阶条件对Kt 和 vt的所有值都成立。（d）一次性的v冲击对Y、K和C的路径有何影响？ (郭亚红)解：（a）假设代表性个人降低期的消费c，他将增加的财富用于增加期的消费，这样做的效用成本为：1+1tu,ctc=1+1t1-2ctc上步用到了瞬时效用函数uct=ct-(ct+vt)2 来计算 u,ct。通过上面的计算可以得出期的预期效用，即：预期效用等于：Et(11+)t+1u,ct+1(1+A)c=(11+)t+1Et1-2（ct+1+vt+1)(1+A)c其中A表示实际利率。因为v是白噪声序列，所以Etvt+1=0，因此上式可以化简为：预期效用等于：(11+)t+11-2Et（ct+1）(1+A)c如果代表性个人是最优的，则效用成本等于效用收益，即：(11+)t1-2（ct+vt)c=(11+)t+11-2Et（ct+1）(1+A)c上式化简得：1-2（ct+vt)=(11+)1-2Et（ct+1）(1+A)已知=A，进一步化简上式得：ct+vt=Et（ct+1） (1)（b）设定效用函数形式为：ct=+kt+vt (2)将方程（2）和生产函数Yt=AKt 代入资本积累方程Kt+1=Kt+Yt-Ct 得出：Kt+1=Kt+AKt-（+kt+vt)化简得：Kt+1=-+1-A-kt-vt (3)（c）将方程（2）和带有滞后项的方程（2）代入一阶方程（1）中，可得：+kt+vt+vt=Et+kt+1+vt+1其中Etvt+1=0。化简上式，可以得到：+kt+1vt=+Etkt+1 (4)将方程（3）代入方程（4），并且去掉期望值，这是由于kt+1是kt 和vt的函数，而后两者在期是已知的。得：+kt+1vt=+-+1-A-kt-vt化简得: +kt+1vt=(1-)+1-A-kt-vt (5)为使（5）成立，需要使两边的kt、vt和常数项相等，即表示如下：=1-A- ，=A (6)+1=- ，=-11+A (7)1-=，1-A=，=0 (8)存在另一种约束：=0、=-1 和 不受限制。第二种方法很烦琐。不过，因为=0意味着消费不依赖于资本存量，这显然是不现实的。因为消费依赖于产出，而产出依赖于资本。因此，可以忽略这种情况。（d）将（6）-（8）代入消费方程（2）和资本积累方程(3)得：ct=Akt-vt1+A (9) kt+1=kt+vt1+A (10)不失一般性，假设直到期v=0，此时出现一次性的正的冲击。为保持分析的简化，令vt=1+A，在期之后，v=0。在时刻，kt不受影响，它由上期的资本和储蓄率决定。在生产函数Yt=AKt 中，Yt 不受影响，因为Kt 不受影响。由（9）可知，消费降低了vt1+A=1+A1+A=1 。在期，由（10）知道，kt+1 提高了vt1+A=1+A1+A=1 。在产出保持不变的前提下，上期消费下降1，意味着储蓄提高1，反过来表明资本存量增加1。通过生产函数，当kt+1 提高了1时，产出提高了A。最后，由于vt+1=0，而kt+1 提高了1，ct+1 必须提高A，这一点由（9）可以看出。在t+2期，v=0，这将没有进一步的动态变化。K保持在新的水平上，比上期提高了1。C保持在更高的水平上，比上一期提高了A。Y也保持在新的更高的水平上，比上一期高A。4.10 第4.3节模型的平衡增长路径。考虑无冲击时的4.3节的模型。令和表示和的平衡增长路径值。令为的值；为的值；为的值。（a）利用式（4.1）式（4.4）、式（4.23）和式（4.26），以及和在平衡增长路径上不变的事实，求关于这六个变量的六个方程提示：式（4.23）中的为人均消费，为每单位有效劳动平均消费的平衡增长路径值,这些事实意味着，在平衡增长路径上，（b）考虑4.7节中假设的参数值，在平衡增长路径上，消费和投资在产出中各占多少份额，资本与年产出之比是多少？（代义报）解：(a)在索洛模型、拉姆齐模型和戴蒙德中，在没有冲击的均衡增长路径上,、和的增长率为。除此之外，的增长率为，的增长率为，而的增长率为0。给定此处的对数结构，增长率意味着变量的对数变化，即增长率为，意味着。在生产函数的两边同时除以得： （1）同理，将资本积累方程两边同时除以得：由于在均衡增长路径上，因此，可以推出： （2）在实际工资方程的两边同时除以得到： 定义在均衡增长路径上，从而有： （3）在均衡增长路径上利率为： （4）下面将教材中当前消费与当前劳动供给的权衡关系转化到在均衡增长路径上不存在冲击时的表达式。注意在教材中的（4.26）中，。在均衡增长路径上每单位有效劳动是,因为,因此有。在（4.26）两边同除以,得到：由可以得到： （5）为了转换教材中当前消费与未来消费之间的权衡关系，首先消除预期项，因为没有冲击时没有不确定性。在方程两边同时乘以得：在均衡增长路径上人均消费的增长率为，因此或者，可以得到： （6）方程（1）（6）分别含有6个变量：。(b)假设下面的几个参数变量： 。以上数据为季度数据。由（4）可以得到在均衡增长路径上每单位有效劳动的资本，将上面的数据代入，可得： 即：。将值代入（1）中，得到在均衡增长路径上每单位有效劳动的产出的季度值：由可推得：。在均衡增长路径上政府购买占产出的比率为,由此可推得：,进而可推得：。由（2）可以解出在均衡增长路径上每单位有效劳动的消费：将上述变量值代入的表达式，可得： 运用和求解在均衡增长路径上消费在产出中的份额，如下：因此消费在产出中的份额大约为53%。下面求投资在产出中的份额，即：因此投资在产出中的份额大约为27%。与美国的实际数据相比较，这里投资所占的比重较大，而消费所占的比重较小。最后在均衡增长路径上资本与实际产出的比值为（年度数据）：4.11 通过寻求社会最优来求解一个真实经济周期模型。【1】考虑第4.5节的模型。为简单起见，假设。令值函数为代表性个人从当期开始的一生效用的期望现值，它是资本存量和技术的函数。（a）直观的解释为什么必须满足：该条件被称为贝尔曼（Bellman）方程。根据该模型的对数线性形式，我们猜测具有以下函数形式：其中需要确定的值。将这个猜测的函数形式以及和代入贝尔曼方程，得：（b） 求的一阶条件，证明该条件意味着不依赖于或（c） 求的一阶条件，利用这个条件以及（2）部分的结果，证明不依赖于和。（d）将生产函数以及（2）、（3）有关最优和的结果代入上面的方程，证明所得表达式的形式为（d） 和应为何值才能使和?（e） 和所隐含的值是多少？他们与第4.5节中的情形下所得的值相同吗？（代义报） 解：这里的RBC模型没有政府购买并且折旧率为100%，给定下面的公式： （1） （2） （3） （4） （5） （6）在该模型中，简单地假定,调整上面的公式：由可得出，人口为： （）将人口正规化为1，因此每个人的劳动供给将与总的劳动供给一致，因此新的生产函数为： （）最后对于技术，由于和均为0，因此有，将其代入（4）中，可得： （）（a）定义t时期的值函数为： （7）为解决这一社会计划者的问题，约束条件为生产函数（），资本积累方程（2）和技术方程（）。因此在时期的值函数是预期终生效用的贴现值，从时期向前，估计所有消费和劳动的最优选择。此处运用的技术是将一个复杂的多期问题变为一个单期问题。这是由于值函数必须满足贝尔曼方程，即： （8）式（8）说明在时期的值函数等于在时期的效用（关于和的最优选择），加上下期值函数在时期的贴现值。最大化终生效用的期望值等于最大化今天的效用加上预期以后的效用。(b）假设值函数的形式为： （9）动态规划的求解有三种方法，这是其中的一种：猜解法。将（9）代入（8）中，可得： （10） 在资本积累方程（2）两边取对数并取期望形式，即： （11）对（）两边取期望，得： （12）上式用到了的均值为0，将（11）和（12）代入（10）中，可得： （13）的一阶条件为：最后可以求出： （14）因此消费产出比为： （15）显然，消费产出比与和无关。（c）的一阶条件为（其中）：化简得： （16）将（14）代入（16）得：（17）将（15）代入（17）得：进而可以推出：进一步化简可以得到：因此有： （18）由此可见，人均劳动供给量既不取决于也不取决于。另外，运用简单的代数运算，可以求得最优的闲暇，即： （19）(d) 现在将消费和闲暇的最优选择和生产函数代入值函数，可以发现设定的关于值函数猜解形式关于资本和技术为对数线性是有效的。将方程（14）和（19）代入（13）得： （20） 将生产函数（1）代入（20），并将其对数形式展开，得： (21)此处没有必要将代入，因为并不依赖于和，而和的系数才是求值函数的最优解所关注的。将（21）重写为： （22）其中并不依赖于和，而，(e) 为证明原先的猜想是正确的，应该使（22）中的系数等于，即，求解： (23)同时使（22）中的系数等于的系数： (24)将的表达式及方程（23）代入（24）得：合并同类项化简得：最终可得到： (25)(f) 将值代入和中，将（23）代入（15）： 化简得： (26)在的假设下，这与本模型的竞争解是相同的。同理，将方程（23）代入（18）可得劳动供给量：简化为： (27)在的假定下，这里劳动供给的表达式与本模型的竞争解是相同的。4.12 假设技术不服从lnAt=A+gt+At和At=rAAt-1+eA,t ，-1rA 0给定，而是由ut=lnct+bln(1-lt)1-g/1-g，b0,g0给定。（a）求与ct1-lt=wtb类似，且工资给定将当期闲暇和消费联系起来的一阶条件。（b）在对模型做了这种修改后，储蓄率s是否仍然不变？（c）人均闲暇1-l是否仍然不变？（曹思齐）解：（a）家庭增加在t期的劳动供给l，将增加的收入用于增加当期的消费。家庭的效用函数和瞬时效用函数分别为：U=u(ct,1-lt)Nt/H (1)ut=lnct+bln(1-lt)1-g/1-g (2)由（1）和（2）知道在t期工作的负边际效用为：-U/lt=e-rt(Nt/H)b (1-lt)-g (3)人均劳动供给l的增加带来的效用成本为：e-rt(Nt/H)b (1-lt)-g l由于这一变化导致消费增加wtl，从而产生效用收益为：e-rt(Nt/H)(1/ct) wtl如果家庭行为时最优的，这一边际变化导致预期的终生效用不变。因此效用成本一定等于效用收益：e-rtNtHb(1-lt)gl=e-rtNtH1ct wtl化简得：ct(1-lt)g=wtb (4)（4）式表明当前闲暇和当前消费决定了工资。（b）对于上述变化，储蓄率保持不变。当前消费和预期的未来关系为：1/ct=e-rEt(1+gt+1)/ct+1,此式不受瞬时效用函数形式变化的影响。剩下的变化依赖于柯布-道格拉斯生产函数和100%的折旧率的设定，而不依赖于效用如何对闲暇做出变化。因此s=aen-r仍然成立。（c）人均闲暇仍保持不变。（4）式中ct是人均消费，可以写为：ctCt/Nt=(1-s)Yt/Nt，其中储蓄率s保持不变。在（4）式两边取对数并将上式代入，可得：ln(1-s) Yt/Nt-gln(1-lt)=lnwt-lnb (5)因为生产函数是柯布-道格拉斯生产函数，因此产出中劳动的份额（1-a），可得：wtltNt=(1-a)Yt，上式中用到了LtltNt，总的劳动供给为人均劳动供给lt乘以人口数Nt。上式整理为wt=(1-a) Yt /Nt。将上式代入（5）中：ln(1-s) +lnYt-lnNt-gln(1-lt)=ln(1-a)+lnYt-lnlt-lnNt-lnb 整理得：lnlt-gln(1-lt)=ln(1-a)-ln(1-s)-lnb (6)在（6）式两边取指数，得：lt(1-lt)g=(1-a)b(1-s) (7)(7)式潜在的定义了作为a、g、b和s的函数的人均闲暇。因此人均闲暇保持不变。4.14 （a）若At始终未0，且lnYt=alns+alnYt-1+(1-a)(lnAt+lnl+lnNt)= alns+alnYt-1+(1-a)(A+gt)+ (1-a)At+(1+a)(lnt+N+nt)发生演化，那么，lnYt最终会达到什么路径？（b）将Yt定义为lnYt与（a）部分所得路径之差，请推导Yt=aYt-1+（1-a）At。（曹思齐）解：（a）对Yt=Kta(AtLt)1-a两边同时去对数得：lnYt=alnKt+(1-a)(lnAt+lnLt) (1) 从（4.5）部分的模型中可以看出劳动供给量和储蓄率是不变的，因此有:Lt=lNt和Kt=sYt-1，所以式（1）可以写为：lnYt=alns+alnYt-1+(1-a)(lnAt+lnl+lnNt) (2)利用技术进步和人口增长方程式，即lnAt=A+gt+At和lnNt=N+nt，将其代入（2）可以得出：lnYt =alns+alnYt-1+(1-a)(A+gt)+(1-a)At+(1-a)lnl+N+At (3)下面求解在没有技术冲击的情况下的产出对数路径。在（3）两边去掉(n+g)t,得到：lnYt-(n+g)t=alns+alnYt-1-a(n+g)t+ (1-a)A+lnl+N+At (4)在（4）式右边同时加和减去a(n+g)，得到：lnYt-(n+g)t=alns+(1-a)A+lnl+N-