2018_2019学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法练习新人教A版.docx

一 数学归纳法,学生用书P56)A基础达标1数学归纳法证明中，在验证了n1时命题正确，假定nk时命题正确，此时k的取值范围是()AkNBk1，kNCk1，kN Dk2，kN解析：选C.数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.2设f(n)1(nN)，则f(n1)f(n)等于()A BC D解析：选D.因为f(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).3用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应该写成()A假设当nk(kN)时，xnyn能被xy整除B假设当n2k(kN)时，xnyn能被xy整除C假设当n2k1(kN)时，xnyn能被xy整除D假设当n2k1(kN)时，xnyn能被xy整除答案：D4用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN)”时，从nk到nk1，等式左边需要增乘的代数式是()A2k1 BC2(2k1) D解析：选C.当nk时，等式左边为(k1)(k2)(kk)；当nk1时，等式左边为(k2)(k3)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)，即增乘了2(2k1)5在用数学归纳法证明等式1232n2n2n(nN*)的第(ii)步中，假设nk时原等式成立，那么在nk1时需要证明的等式为()A1232k2(k1)2k2k2(k1)2(k1)B1232k2(k1)2(k1)2(k1)C1232k2k12(k1)2k2k2(k1)2(k1)D1232k2k12(k1)2(k1)2(k1)解析：选D.因为用数学归纳法证明等式1232n2n2n时，当n1时左边所得的项是12；假设nk时，命题成立，1232k2k2k，则当nk1时，左端为1232k2k12(k1)，所以1232k2k12(k1)2(k1)2(k1)故选D.6用数学归纳法证明时，设f(k)1427k(3k1)k(k1)2，则f(k1)_解析：f(k1)1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2.答案：(k1)(k2)27用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到_解析：因为nk时，命题为“12222k12k1”，所以nk1时，为使用归纳假设，应写成12222k12k2k11.答案：12222k12k2k118已知平面上有n(nN，n3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有f(n)条，则f(3)_，f(4)_，f(5)_，f(n1)f(n)_解析：当nk时，有f(k)条直线当nk1时，增加的第k1个点与原k个点共连成k条直线，即增加k条直线，所以f(k1)f(k)k.又f(2)1，所以f(3)3，f(4)6，f(5)10，f(n1)f(n)n.答案：3610n9用数学归纳法证明：123234n(n1)(n2)(nN)证明：(1)当n1时，左边1236，右边6，等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，即123234k(k1)(k2)，那么当nk1时，123234k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k4)即当nk1时等式成立综合上述(1)(2)得，对一切正整数n，等式都成立10证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)n(n3)(n4，nN)证明：(1)当n4时，四边形有两条对角线，f(4)4(43)2，命题成立(2)假设当nk(k4，nN)时命题成立，即f(k)k(k3)，那么，当nk1时，增加一个顶点，凸多边形的对角线增加k1条，则f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3，即当nk1时命题也成立根据(1)(2)，可知命题对任意的n4，nN都成立B能力提升1已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A30 B26C36 D6解析：选C.因为f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除证明如下：n1，2时，由上得证，设nk(k2，kN)时，f(k)(2k7)3k9能被36整除，则f(k1)f(k)(2k9)3k1(2k7)3k(6k27)3k(2k7)3k(4k20)3k36(k5)3k2，故f(k1)能被36整除因为f(1)不能被大于36的数整除，所以所求最大的m值等于36.2用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是_解析：nk时等式为1222(k1)2k2(k1)22212，nk1时等式为1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212.所以nk1时等式左边比nk时等式左边增加了k2(k1)2.答案：k2(k1)2(或2k22k1)3已知数列an满足a10，a21，当nN时，an2an1an，求证：数列an的第4m1项(mN)能被3整除证明：(1)当m1时，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即当m1时，第4m1项能被3整除(2)假设当mk(k1，kN)时，a4k1能被3整除，则当mk1时，a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.显然，3a4k2能被3整除，又由假设知a4k1能被3整除所以3a4k22a4k1能被3整除即当mk1时，a4(k1)1也能被3整除由(1)和(2)知，对于nN，数列an中的第4m1项能被3整除4求证：tan tan 2tan 2tan 3tan(n1)tan nn(n2，nN)证明：(1)当n2时，左边tan tan 2，右边222tan tan 2，等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时等式成立，即有：tan tan