高三数学一轮复习教案全套人教A版等差数列及其前n项和.doc

高三 一轮复习 5.2 等差数列及其前n项和【教学目标】1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.【重点难点】 1.教学重点理解等差数列的概念并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节二考纲传真1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.真题再现;1 (2013课标全国卷)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.【解】(1)设an的公差为d，由题意得aa1a13，即(a110d)2a1(a112d)于是d(2a125d)0.又a125，所以d0(舍去)，d2.故an2n27.(2)令Sna1a4a7a3n2.由(1)知a3n26n31，故a3n2是首项为25，公差为6的 等差数列从而Sn(a1a3n2)(6n56)3n228n.知识梳理知识点1等差数列1定义an1and(常数)(nN*)2通项公式ana1(n1)d，anam(nm)d.3前n项和公式Snna1.4a，b的等差中项A.知识点2等差数列的性质已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)若m，n，p，q，k是正整数，且mnpq2k，则amanapaq2ak.(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.(3)若an，bn是等差数列，则panqbn是等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(5)若数列an的前n项和为Sn，则S2n1(2n1)an，S2nn(a1a2n)n(anan1)名师点睛 1必会结论(1)等差数列的增减性d0时为递增数列，且当a10时，前n项和Sn有最小值，d0时为递减数列，且当a10时，前n项和Sn有最大值(2)数列an的前n项和SnAn2Bn(A0)是an成等差数列的充分条件(3)两个等差数列an，bn的前n项和Sn，Tn之间的关系为.(4)若数列an，bn是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列pan，anp，panqbn都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1qd2.2必知联系；(1)当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常数(2)公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列考点分项突破考点一等差数列的基本运算1(2015重庆高考)在等差数列an中，若a24，a42，则a6()A1 B0 C1 D6【解析】an为等差数列，2a4a2a6，a62a4a2，即a62240.【答案】B2(2015陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_【解析】设数列首项为a1，则1 010，故a15.【答案】5归纳1等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题2等差数列前n项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使用公式Snna1d，若已知通项公式，则使用公式Sn.考点二等差数列的判定与证明(1)设an(n1)2，bnn2n(nN*)，则下列命题中不正确的是()Aan1an是等差数列 Bbn1bn是等差数列Canbn是等差数列 Danbn是等差数列(2)(2014全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数证明an2an；是否存在，使得an为等差数列？并说明理由【解析】(1)对于A，an(n1)2，an1an(n2)2(n1)22n3，设cn2n3，cn1cn2.an1an是等差数列故A正确对于B，bnn2n(nN*)，bn1bn2n，设cn2n，cn1cn2，bn1bn是等差数列故B正确对于C，an(n1)2，bnn2n(nN*)，anbn(n1)2(n2n)3n1，设cnanbn3n1，cn1cn3，anbn是等差数列故C正确对于D，anbn2n2n1，设cnanbn，cn1cn不是常数故D错误【答案】D(2)证明由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.由题设知a11，a1a2S11，可得a21.由知，a31，令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列跟踪训练(2014大纲全国卷)数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式【解】(1)证明由an22an1an2得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.于是(ak1ak)(2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式为ann22n2.归纳等差数列的四个判定方法1定义法证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数2等差中项法证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列3通项公式法得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列4前n项和公式法得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列考点三 等差数列性质的应用(1)(2015广东高考)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.(2)已知等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项和S10_.(3)设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn324(n6)，求数列an的项数及a9a10.【解析】(1)因为等差数列an中，a3a4a5a6a725，所以5a525，即a55.所以a2a82a510.(2)a2a42a34，a32，又a3a52a410，a45，da4a33，又a3a12d2，a14，S1010(4)395.【答案】(1)10(2)95(3)由题意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18.即a1a1836，从而a9a10a1a1836.跟踪训练1在等差数列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则该数列前13项和是_【解析】3(a3a5)2(a7a10a13)32a423a106a46a1024，a4a104，a1a134.S1326.【答案】262已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.【解析】S10，S20S10，S30S20成等差数列，且S1010，S2030，S20S1020，S30S202201030，S3060.【答案】60归纳1本例中主要使用了等差数列中两项和的性质，即若mnpq2k，则amanapaq2ak.2掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口考向4等差数列的前n项和命题角度1等差数列前n项和的最值1(2014北京高考)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大【解析】a7a8a93a80，a80.a7a10a8a90，a9a80.数列的前8项和最大，即n8.【答案】82等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少时，Sn最大？【解】法一由S3S11，得3a1d11a1d，则da1.从而Snn2n(n7)2a1，又a10，所以0.故当n7时，Sn最大法二由于Snan2bn是关于n的二次函数，由S3S11，可知Snan2bn的图象关于n7对称由方法一可知a0，故当n7时，Sn最大法三由方法一可知，da1.要使Sn最大，则有即解得6.5n7.5，故当n7时，Sn最大法四由S3S11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故a7a80，又由a10，S3S11可知d0，所以a70，a80，所以当n7时，Sn最大命题角度2求数列|an|的前n项和3在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.【解】(1)由题意得，a15a3(2a22)2，即a15(a12d)2(a1d)22，整理得d23d40，解得d1或d4.当d1时，ann11，当d4时，an4n6.总上知d1，ann11(nN*)或d4，an4n6(nN*)(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d1，ann11.令an0，即n110得n11，从而当n11时，an0，当n12时，an0.所以当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n；当n12时，|a1|a2|a3|an|(a1a2a11)(a12a13an)2S11Snn2n110.综上所述，|a1|a2|a3|an|归纳1求等差数列前n项和最值的方法(1)二次函数法用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意nN*.(2)图象法利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值(3)项的符号法当a10，d0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a10，d0时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个2求数列|an|前n项和的方法(1)先求an，令an0(an0)找出an0与an0的项(2)根据n的取值范围，分类讨论求和。学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构