第12章 量子物理基础(2)

12 6波函数与波函数的统计诠释 Wavefunctionandstatisticalexplanationofwavefunction 1 12 6 1波函数 Wavefunction 12 6 2自由粒子波函数 Wavefunctionoffreeparticle 12 6 3波函数的统计诠释 Statisticalexplanationofwavefunction 12 6 4波函数的线性叠加原理 定义 任何一个具体的波动都可以用空间和时间的函数来描述 这样的函数称为波函数 用符号 x y z t 表示 例如 频率为 波长为 沿x轴方向传播的单色平面机械波 其波函数为 或写成复数形式 2 对实物粒子而言 德布罗意波的波函数如何 12 4 1波函数 Wavefunction 量子力学假设 微观粒子的运动状态用波函数 描述 12 4 2自由粒子波函数 Wavefunctionoffreeparticle 设一自由粒子 不受外力作用 则粒子作匀速直线运动 设沿x轴 其动量Px 能量E均保持恒定 E h恒定 h Px恒定 这种波只能是单色平面波 或由不确定关系 有 Px 0 x 弥散在整个x方向上 E 0 t 波列长为 结论 自由粒子的DeBr glie波是单色平面波 3 从波动观点看来 由德布罗意关系 有 其波函数为 由德布罗意关系式 常写成复数 4 三维运动的自由粒子的波函数 注意 描述微观粒子运动状态的波函数因情况不同而不同 12 6 3波函数的统计诠释 Statisticalexplanationofwavefunction 光强与光振动的平方成正比 I E2 物质波的强度与波函数模的平方成正比 即I 2 5 物质波与光波类比后玻恩假定 玻恩 BornM 1882 1970 德国物理学家 其中 是 的复共轭 把 中的i 虚数 变成 i即得到 粒子一个一个地入射到单缝上 较长时间以后 6 结论 在空间dV dxdydz内 波函数 可视为不变 t时刻 在 x y z 点处dV内粒子出现的概率为 2dV 在t时刻粒子出现在 x y z 点附近dV体积元内的概率 在t时刻粒子出现在V体积内的概率 2 在t时刻粒子出现在 x y z 点处单位体积内的概率 即粒子出现的概率密度 因此波函数 相当于是概率振幅 简称概率幅 probabilityamplitude dW 2dV dV 7 以下熟练掌握 重点 1 波函数 是空间和时间的复函数 无物理意义 而 2表示概率密度 有物理意义 8 说明 2 因概率密度 2必须为空间坐标 x y z 的单值 有限 连续的函数 所以 也是空间坐标 x y z 的单值 有限 连续的函数 称为波函数的标准化条件 standardcondition 解 首先把给定的波函数归一化 设归一化波函数为 x C x 其中C为待求的归一化因子 由归一化条件 得 9 C 2 a 1 2 则归一化的波函数为 10 归一化之后 x 2就代表概率密度了 即 如何求在 0 a 区间内发现粒子的概率 12 6 4波函数的线性叠加原理 电子双缝实验 单缝 1 打开 2 关闭 波函数为 1 单缝 2 打开 1 关闭 波函数为 2 双缝都打开 波函数为 C1 1 C2 2 11 波函数线性叠加原理 如果 1 2 n都是系统的可能状态 那么它们的线性叠加也是这个系统一个状态 即 也是系统的一个可能状态 双缝实验中 干涉项 12 13 12 7薛定谔方程 Schr dinger sEquation 宏观物体的运动遵循运动方程 由方程解出的位矢是描述物体运动状态的基本物理量 描述微观粒子运动规律的基本方程是薛定谔方程 由方程解出的描述微观粒子运动状态的物理量称为波函数 薛定谔 Schr dingerE 1887 1961 奥地利物理学家 怎样建立在给定条件 一般是给定一势场 下的薛定谔方程 继而求解相应的波函数 12 7 1建立薛定谔方程 FoundingSchr dingerEquation 粒子在x轴方向匀速直线运动 E P 不变 14 非相对论效应 1 对x求二阶导数二边再乘 2 2m 得 一维自由粒子的波函数 1 建立一维运动的自由粒子薛定谔方程 FoundingSchr dingerequationoffreeparticle 其中称为动量算符 记为 2 1 2 式合并得 一维运动的自由粒子薛定谔方程 Schr dingerequationoffreeparticle 15 对t求一阶导数二边再乘i 得 意义 它描述一维运动的自由粒子的波函数随时间演化的规律 其中称为能量算符 记为 3 1 3 式合并得 上式为势场中一维运动粒子的薛定谔方程 16 2 建立势场中的一维运动粒子薛定谔方程 粒子处于势埸中 具有势能U x t 3 建立势场中的三维运动粒子薛定谔方程 设作三维运动的粒子 处于势场为U x y z t 中 其波函数为 x y z t 引入拉普拉斯算符 Laplaceoperator 则 引入哈密顿算符 Hamiltonianoperator 三维运动粒子薛定谔方程 17 12 7 2定态薛定谔方程 重点 StationarySchr dingerEquation 定态问题 U x y z 即势能 不随时间变化 x y z t 能分成二部分函数的乘积 即 将上式代入薛定谔方程再二边同除以 x y z t 得 上式二边须都为常数 令常数为E 具有能量量纲 得 4 4 式右边 5 式解为 5 18 4 式左边也为E 整理得 此式解为 x y z 叫定态波函数 相应的状态为定态 称为定态薛定谔方程 stationarySchr dingerequation 5 式解与此式解的乘积为粒子的波函数 19 结论 对于定态问题 概率分布不随时间变化 粒子的概率密度 量子力学中处理微观粒子运动问题的方法 重点 1 已知粒子质量m和它在势场中势能函数U x y z t 的形式 便可写出薛定谔方程 2 由初始条件 边界条件求解可得波函数 x y z t 20 3 2给出粒子在任意时刻任一位置出现的概率密度 如果一个算符作用到波函数上等于一个数乘以这个波函数 则这个波函数是该算符的本征函数 这个数值称为该算符的本征值 这个方程称为该算符的本征方程 本征函数 本征值 本征方程 代入上式可得 其基态能量 n 1 为 21 解 该粒子的薛定谔方程为 12 8一维势场中的粒子 Particlesinpotentialfield 12 8 1一维无限深方势阱中粒子 Particlesininfinitudedeepsquarepotentialwell 12 8 2势垒穿透 Barrierpenetration 12 8 3简谐振子 Harmonicoscillator 22 12 8 1一维无限深方势阱中的粒子 Particlesininfinitudedeepsquarepotentialwell 质量为m的粒子在0 x a区域自由运动 23 粒子的势能分布 U x 00 x aU x x 0 x a 问题 在势阱内 外求解定态薛定谔方程 一 一维无限深方势阱中粒子的运动问题 二 一维无限深方势阱中粒子的定态薜定谔方程求解 6 7 式的通解为 24 8 1 在势阱外 x 0 x a 2 在势阱内 0 x a x 有限性 9 10 由 9 得B 0 由 10 式A sinka 0解得 ka n n 1 2 3 n 1 2 3 称为量子数 25 由边界条件解 x 0 x 单值 连续 x a 由归一化条件求A 解得 26 波函数为 0 x an 1 2 3 定态波函数为 0 x an 1 2 3 En n2E1称为能量本征值 energyeigenvalue 是与本征值En相应的本征函数 eigenfunction 27 1 粒子能量是量子化的 解方程自然得来 n 1 2 3 三 一维无限深方势阱中粒子运动的特征 2 粒子的最小能量不等于零 n 0 n x t 0 无意义 由不确定关系解释为什么E1 0 n 1 2 3 4 粒子出现的概率密度的分布 重点 3 对电子而言 当a 1cm时 E 2n 1 3 77 10 15 eV 电子能量看作是连续的 电子能量的量子化特征显现 当n 1时 能级的相对间隔为 经典物理可以看成是量子物理中n 时的极限 28 当a 10 10m时 E 2n 1 37 7 eV 5 以上分布可看作物质波在势阱中产生驻波 右行波 左行波 29 解 1 由波函数归一化条件得 30 2 粒子在 0 a 4 区间内出现的概率为 粒子在 a 4 a 区间内出现的概率为1 0 091 0 909 3 粒子坐标x的平均值为 31 解 在势阱中粒子德布罗意波长为 粒子的动量为 32 粒子的能量为 2 由上式 质子的基态能量为 n 1 第一激发态 n 2 的能量为E2 4E1 13 2 10 13 J n 1 2 3 从第一激发态转变到基态所放出的能量为 33 1 半无限深方势阱的势垒穿透 定态薛定谔方程 必须满足标准化条件下 求解薛定谔方程 自然地 得到如下图所示量子化的能级 波函数和概率密度 12 8 2势垒穿透 Barrierpenetration 34 半无限深方势阱的势能函数为 粒子沿x方向运动 量子力学 能量小于U0的粒子 只能在阱内运动 不可进入其能量小于势能的x a 2的区域 否则动能将为负值 薛定谔方程给出的解 x 在其势能U0大于总能量E的区域x a 2内虽然逐渐衰减 但仍有一定的值 结论 与经典理论不同 量子力学指出微观粒子能进入势能远大于总能量的区域 经典理论 35 解薛定谔方程 可得如图所示的波函数 可见 能量低于势垒高度的粒子不仅有可能进入势垒内部 且还有一定的概率穿过势垒 这种现象称为隧道效应 tunnelingeffect 对有限厚度的势垒 粒子的势能函数为 a越小 U0越小 穿透率越高 36 2 隧道效应的应用 隧道效应已经被实验完全证实 粒子从放射性核中放出就是隧道效应的例子 黑洞的量子蒸发 热核反应也是隧道效应的结果 隧道效应的重要应用是扫描隧道显微镜 37 http www uwo ca isw Silicon Si atoms GerdBinnig HeinrichRohrer RussellYoung ComputerScreen 将采集的隧道电流信号送到计算机中 扫描隧道显微镜 STM scanningtunnelingmicroscopes 38 NobelPrize1986 1994年中国科学家的 原子书法 原子操纵不是梦 1993年科罗米 M F Crommie 将48个Fe原子栽到铜表面上组成 量子围栏 quantumcorral 围栏中铜表面的电子被Fe原子反射形成圆形驻波 39 一氧化碳 分子人 1 势函数 m 振子质量 固有频率 x 位移 2 定态薛定谔方程 有定态薛定谔方程 12 8 3简谐振子 Harmonicoscillator 哈密顿量 这是一个变系数常微分方程 求解复杂 40 为使波函数满足单值 有界 连续的条件 谐振子的能量必须是量子化的 求得能级公式为 其中n为量子数 1 普朗克假设的谐振子能量量子化是解薛定谔方程的自然结果 结论 41 零点能 谐振子的最低能量不等于零 即它永远不能静止不动 这与经典力学截然不同 是波 粒二象性的表现 3 谐振子运动中