数学建模实习

一、数学规划模型1 问题的提出某企业将铝加工成A,B两种铝型材，每5吨铝原料就能在甲设备上用12小时加工成3吨A型材，每吨A获利2400元，或者在乙设备上用8小时加工成4吨B型材，每吨B获利1600元。现在加工厂每天最多能得到250吨铝原料，每天工人的总工作时间不能超过为480小时，并且甲种设备每天至多能加工100吨A，乙设备的加工能力没有限制。 （1）请为该企业制定一个生产计划，使每天获利最大。 （2）若用1000元可买到1吨铝原料，是否应该做这项投资？若投资，每天最多购买多少吨铝原料？ （3）如果可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给工人的工资最多是每小时几元？ （4）如果每吨A型材的获利增加到3000元，应否改变生产计划？2 问题分析与假设2.1问题分析我们为该企业制定的生产计划要使得每天获利最大，也就是也就是要确定分别用多少吨铝原料分配给甲、乙设备使得总利润最大，因此分配给甲、乙设备铝材料的吨数就是我们这次线性规划的决策变量，由此就确定了获利的目标函数。同时目标函数又要满足一些约束条件，如每天最多能得到250吨铝原料、每天工人的总工作时间不能超过为480小时、甲种设备每天至多能加工100吨A，由此可以建立求解利润最大化的数学模型。对于问题2,3上，仅仅改变相关参数，就可以的到最优解所得到最大值的变化，也就是所谓的影子价格，通过与影子价格比较，制定相应的策略。对于问题4可以从两个角度进行分析，一种直接改变参数，观察最优解是否变化，另外一种是对其进行灵敏度分析，观察其系数是否落在取值范围内。2.2问题假设1假设加工A,B型材的铝原料数是满足铝原料供应的非负实数；2. 假设是在完全市场经济的情形下，进行问题分析的3假设A，B 型材每吨的获利是与产量，所用时间是相互独立的，即两两之间是没有关系的。这三条假设是进行线性规划，影子价格分析的基础3 模型建立在模型建立之前，我们先给出如下记号：分配给甲设备个5吨铝材料：分配给乙设备个5吨铝材料：每天的生产获利现在我们建立数学模型各给甲、乙分配5吨原材料的情况下，原材料的生产能力、消耗时间、获利之间的关系如下表：甲设备消耗5吨铝材料/甲设备消耗5吨铝材料/所用时间128产量3吨A产品4吨B产品获利32400=720041600=6400由于5吨产品给甲设备生产，能够得到3吨A产品，能够获利7200元，并且5吨产品给乙设备生产，能够得到4吨B产品，能够获利6400元，则建立目标函数并且由于1）加工厂每天最多能得到250吨铝原料，2）每天工人的总工作时间不能超过为480小时，并且3）甲种设备每天至多能加工100吨A，乙设备的加工能力没有限制，同时应满足非负约束，则其应满足约束条件：4 模型求解4.1问题1求解根据建立的模型，我们可以知道，我们利用Matlab来进行求解，将问题极小化以便处理，即，则当时的最优解时，也就是的最有解，进而将问题转化为： 解得那么此时最优解是，即分配给甲100吨，分配给乙150吨，此时获得最大利润万元。4.2问题的进一步求解42.1若用1000元可买到1吨铝原料，即加工厂每天最多能得到251吨铝原料，则可以原问题转化为此时最优解并且，则，利润相比增加了960 1000。那么此时说明不应该做这项投资。其实这960元就是铝材料的影子价格，在完全市场经济的条件下，由于该资源的价格高于影子价格，则此时企业应当卖掉该资源，而不是扩大生产。4.2.2同样对于问题3，当工时增加1小时，企业能够获得多获得大的利益，同样这也是工人工资的影子价格，和上述方法类似计算得到工人的影子价格是200元，即付给工人的工资最多不能超过200元，否则还不如不要这个工人所带来的收益更大。4.2.3对于问题4，当A产品的获利变为每吨为3000元时，改变相关参数，与上述3个问题类似，我么可以得到最优解仍是，并且我们求得元。所以不需要改变生产计划。4.2.4接下来进行参数的灵敏度分析，使用LINGO11软件进行灵敏度分析较好，所以在这使用了这个软件进行分析，软件运行截图如下：Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 7200.000 2400.0000 800.0000 X2 6400.000 800.0000 1600.0000Righthand Side Ranges Row Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease STUFF 250.0000 50.00000 33.33333 TIME 480.0000 53.33333 80.00000CAPACITY 100.0000 INFINITY 40.00000得到的取值范围，得到的取值范围，在这样的取值范围内，最优解不改变。显然问题4求解的9000就落在取值范围，从这角度也验证了此时最优解不改变。铝原料最多可增加50吨，劳动时间最多可增加53.3h，在这些取值范围内，进行影子价格的讨论才是有意义的。5 模型评价该模型是在在完全市场经济的情形下，假设A，B 型材每吨的获利是与产量，所用时间相互独立的情况下，建立线性规划模型，前者是影子价格分析的前提，后者是线性的模型。对于问题1,2,3，笔者都是利用matlab分析的，matlab进行求最优解和影子价格的求解还是很方便的，但是不适合对于参数的敏感性的分析，这里笔者采用了lingo软件，得到内容丰富的输出，虽然输出的内容很多，这里笔者仅仅使用了一部分笔者关心的数据，事实上lingo是解决线性规划问题很好的软件，这对于未来解决实际问题也是十分有用的。6 模型推广与优化该模型是个简单的线性规划问题，运用了单纯形法、对偶问题、影子价格等问题，事实上该模型不仅适应与生产计划的制定，同时也可以应用于市场销售、库存管理、运输问题等领域，此外还有合理下料、配料问题、物料管理等方面，分析方法、建模方法都是类似的。由于该模型仅仅适应线性规划，实际上，我们还可以引进正负偏差量等，将线性规划变为目标规划，这就能够适应更多的情形，而这些引进都是当市场条件改变的时候才发生改变。7 程序附录一8 参考文献1运筹学 甘应爱、田丰等 清华大学出版社 背景 20052数学建模案例分析 白其峥 海洋出版社 2000年 北京3数学实验初步 肖海军 科学出版社 2007 北京二、鱼的捕捞问题1问题提出作为鱼塘的管理者来说，在相同的初始鱼苗量的情况下，养殖费基本是固定的，但是经济效益会随着捕捞策略的改变而改变，那么采取何种捕捞策略，就会使得在固定的投入下，产生更大的效益呢？捕捞问题就是在这样的背景下产生的。1.1在鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。设尾数的(相对)减少率为常数;由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与质量本身成正比。分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。1.2用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是E。问如何选择T和E，使从T开始的捕获量最大。2问题的分析与假设2.1分析鱼的捕捞策略会受到很多因素的影响，如气候、水温、天敌、中间斗争等因素都在影响捕捞策略的制定，但是这些因素都不是主要的，主要因素还是捕捞能力及捕捞时机这两个。我们在建模的过程中，没有必要考虑所有的因素，只要抓住主要的、关键的因素做出合理的假设，我们这个模型就是在抓住主要因素，忽略次要因素的基础上建立起来的。对于问题1.1，在不考虑捕捞的情况下，鱼的尾数的(相对)减少率为常数，初始尾鱼苗，那么可以依据此条件建立起微分方程，通过求解可以得到鱼的尾数关于的函数表达式。由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，并且消耗引起的每尾鱼重量的减少率与质量本身成正比，这样我们就可以建立鱼重量的变化率和质量以及表面积的关系，同时我们又知道质量与表面积也存在一定的关系，这是由于质量与体积成正比（我们在这里假设鱼的密度是一个常数），并且我们在假设鱼是椭球体的情况下，鱼的体积与表面积存在某种固定关系，通过这些关系，我们可以建立鱼质量的变化率和鱼质量间的函数关系，通过取极限，我们就可以得到关于鱼重的微分方程。通过求解我们就可以的到鱼的重量与的关系。对于问题1.2，在有捕捞也有自然死亡的情况下，尾数的相对减少量不仅与鱼的自然死亡有关，还与捕捞能力有关，我们先假设捕捞能力为一常数，从而可以建立起微分方程，求得通过求解可以得到鱼的尾数关于的函数表达式。同时对于捕捞量，要使得从T开始的捕获量最大，那么就要达到最大值，那么如何求得T，将是后面建模将要解决的问题。2.2假设在建立模型之前，我们要进行合理的假设：2.2.1 假设鱼的尾数是关于的连续可微函数2.2.2 假设鱼的重量是关于的连续可微函数2.2.3 假设鱼的密度是一个常数2.2.4 假设鱼是椭球体的，三个方向上的半径分别是2.2.5在不考虑捕捞的情况下，鱼的尾数的(相对)减少率为常数2.2.5喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比,比例为2.2.6消耗引起的每尾鱼重量的减少率与质量本身成正比，比例为2.2.7鱼的尾数的减少仅自然死亡和捕捞有关，排除其他因素，如天敌、气候、环境污染、种内斗争等因素3模型的建立3.1在模型建立之前，我们先在这里给出相应的记号： 鱼的尾数 鱼的质量 鱼的尾数的(相对)减少率为常数 鱼的初始质量 喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比的比例系数 消耗引起的每尾鱼重量的减少率与质量本身成正比的比例系数鱼是椭球体的，三个方向上的半径分别是 鱼的密度是一个常数 鱼的体积 鱼的表面积 总的捕捞量 捕捞能力 捕捞时机3.2无捕捞情况下，建立尾数的微分方程模型在鱼塘中投放尾鱼苗，鱼的尾数的(相对)减少率为常数为则 并且两边令有 很容易解得该方程的解为该模型符合鱼尾数是逐渐减少情形3.3 建立鱼重与的时间关系首先我们知道由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，比例系数为。由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与质量本身成正比，比例系数为，则两边同时令，得到 , 现在我们来建立由于由于目前对于椭球表面积并没有确定的公式，在相差不大的情况下，这里仅给出一个近似公式则则，我们再令得到，3.4 建立捕捞量与捕捞时机之间的关系首先由于有捕捞的情况下，鱼的尾数之间的微分方程关系就需要考虑捕捞量，并且由于单位时间捕获量是E，则建立微分方程有： （）并且由于时刻后才有捕捞，则很容易求得该微分方程的解为 （）又对于捕捞量，要使得从T开始的捕获量最大，那么就要达到最大值则通过代入有捕捞量时的，并代入质量，就可以得到的具体表达式。4模型的求解4.1求解无捕捞情况下，建立尾数的微分方程在无捕捞的情形下，之前已经求得，现在我们要对这个参数进行合理的讨论，通过Matlab作图进行分析在不同的参数下尾数关于的大致走势，这里应用这4个进行分析，做出图形。（程序附录2）显然根据实际情况，是一个接近与0较小的数，否则养殖者将无法盈利，当大于1的情况在现实生活中也有可能出现，比如出现大规模的病害，或者天敌的入侵，这都是我们所不需要讨论的极端情况，我们只是针对一般情况作出讨论，所以是一个较小的数。4.2求解鱼重与的微分方程由之前建立好的微分方程，有 该方程利用变量分离的办法，很容易求出其解，笔者在这里利用Matlab来进行求解。（程序见附录2）程序求解为(b + 1/exp(c*(C3 + t)/3)3/c3，代入初值化简可以得到如下：,由于随着的增大而增大，关于是递减函数，则要求是递增函数，则要求，这也是说明满足该式是鱼的固有属性。4.3求解捕捞量与捕捞时机由于捕捞量其中，有捕捞的情况下，并且则由于是实际问题存在，并且与无关，仅与有关我们不妨设其值为，为一常数则我们利用这个积分公式可以将转变为一个关于，的函数，里面将不含积分，由于没有具体数据，这里给出具体的函数也是没有多大意义的，但是很容易通过计算是知道这个函数的具体的表达式的，我们不妨设其为则这就是关于，的二元函数，通过对二元函数求极值的方法，我们就可以确定最佳的,使得达到最大，我们刚开始是假设为一常数，那是为了更方便的建立方程，后来我们可以看到实际上是一个独立的参数，建立起了关于，的函数，由于问题的规模已经超出了笔者的能力，这里仅仅是提出一个思路，具体的求解有待未来知识储备加深后进行进一步的突破。5模型评价该模型将鱼的体积简化成为一个椭球体，以此为基础建立起了和之间的关系，这是该模型的出发点，并且假设鱼的质量是分布均匀的，并想从网上找到鱼的密度等相关参数，发现没有前人对其具体测量过，这需要我们在对具体养殖的时候要测出该鱼种类的密度等参数，将余简化为椭球体方便我们建立起微分方程，事实上这样的假设也是十分合理的。但是我们这个模型并没有给出合适的捕捞时机和捕捞能力，一方面是由于条件的限制，相关参数，具体数据缺乏，另一方面也是笔者能力有限，虽知道无穷积分的存在性，但是却无法通过已学知识给出具体的表达式，这也是本次建模不足的地方，未来将在这个地方予以突破。6 模型的推广与改进该模型虽然是建立对鱼的捕捞的基础上的，但是由于水产品生长机理相似性，我们可以将其推广到虾，黄鳝等捕捞问题上，比如当虾时，我们可以将虾简化为一个长方体，将黄鳝假定为一个圆柱体等等。并且我们这次建模仅仅考虑捕捞，而没有考虑养殖，繁殖等因素，若引入这两种因素，就会使得问题的规模变得更复杂