2019年上海市黄浦区高考数学一模试卷.doc

.2019年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题1（3分）不等式0的解集为 2（3分）双曲线x21的渐近线方程为 3（3分）若复数z1i（i为虚数单位），则z2的共轭复数为 4（3分）记等差数列an（nN*）的前n项和为Sn，若a51，则S9 5（3分）若函数yf（x）是函数yax（a0，且a1）的反函数，且f（2）1，则f（x） 6（3分）已知a0，b0，若a+b4，则a2+b2的最小值为 7（3分）已知三阶行列式，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和 8（3分）设aR，若（2+）（1+x）5展开式中x2的系数为10，则a 9（3分）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种（用数字作答）10（3分）已知数列an（nN*），若a11，an+1+an（）n，则a2n 11（3分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若与的夹角记为ij，其中i，j1，2，3，4，5，且ij，则|cosij的最大值为 12（3分）如图，l1、l2是过点M夹角为的两条直线，且与圆心为O，半径长为1的圆分别相切，设圆周上一点P到l1、l2的距离分比为d1、d2，那么2d1+d2的最小值为 二、选择题13（3分）设函数yf（x），“该函数的图象过点（1，1）”是“该函数为幂函数”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件14（3分）下列关于函数ysinx与yarcsin x的命题中正确的是（）A它们互为反函数B都是增函数C都是周期函数D都是奇函数15（3分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60的直线的条数为（）A3B4C5D616（3分）如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（）A（|x|y1）（1x2+y2）0B（ ）（1x2+y2）0C（|x|y1）（）0D（ ）（）0三解答题17如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30（1）求该量杯的侧面积S；（2）若要在圆锥形量杯的一条母线PA上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少？当液体体积是100立方厘米时，刻度的位置B与顶点P之间的距离是多少厘米（精确到0.1厘米）？18已知函数f（x）sin2x+2cos2x1，x（0，）（1）求函数yf（x）的单调递减区间；（2）在ABC中，若f（A）f（B），且AB，AB，求ABC外接圆半径的长19已知函数f（x）+b，其中a，bR（1）当a6，b0时，求满足f（|x|）2x的x的值；（2）若f（x）为奇函数且非偶函数，求a与b的关系式20椭圆：+1（1）若抛物线C的焦点与的焦点重合，求C的标准方程；（2）若的上顶点A、右焦点F及x轴上一点M构成直角三角形，求点M的坐标；（3）若O为的中心，P为上一点（非的顶点），过的左顶点B，作BQOP，BQ交y轴于点Q，交于点N，求证：2221给定整数n（n4），设集合Aa1，a2，an记集合Bai+aj|ai，ajA，1ijn（1）若A3，0，1，2，求集合B；（2）若a1，a2，an构成以a1为首项，d（d0）为公差的等差数列，求证：集合B中的元素个数为2n1；（3）若a1，a2，an构成以3为首项，3为公比的等比数列，求集合B中元素的个数及所有元素之和2019年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题1（3分）不等式0的解集为（0，1）【考点】7E：其他不等式的解法菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】由不等式0可得 x（x1）0，由此解得不等式的解集【解答】解：由不等式0可得 x（x1）0，解得 0x1，故答案为：（0，1）【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题2（3分）双曲线x21的渐近线方程为yx【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线的方程1的渐近线方程为yx，求得a，b，即可得到渐近线方程【解答】解：双曲线x21的a1，b，可得渐近线方程为yx，即有yx故答案为：yx【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题3（3分）若复数z1i（i为虚数单位），则z2的共轭复数为2i【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数【分析】然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：若复数z1i（i为虚数单位），则z2（1i）22i，则共轭复数为2i，故答案为：2i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题4（3分）记等差数列an（nN*）的前n项和为Sn，若a51，则S99【考点】85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】由a51，利用等差数列的性质可得a1+a92a5再利用求和公式即可得出【解答】解：a51，a1+a92a5则S99a59故答案为：9【点评】本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（3分）若函数yf（x）是函数yax（a0，且a1）的反函数，且f（2）1，则f（x）log2x【考点】4R：反函数菁优网版权所有【分析】欲求函数yax的反函数，先由原函数式解出x，后将x，y互换即得最后根据f（2）1求出a值【解答】解：f（x）log2x函数yax（a0，且a1）的反函数是f（x）logax，又f（2）1，即loga21，所以，a2，故f（x）log2x故答案是：log2x【点评】本题主要考查了反函数的求法，属于基础题6（3分）已知a0，b0，若a+b4，则a2+b2的最小值为【考点】7F：基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用【分析】利用基本不等式，可求【解答】解：a0，b0，a+b4，又，则a2+b28，即最小值为8故答案为：8【点评】本题主要考查了利用基本不等式，求解最值的应用7（3分）已知三阶行列式，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和0【考点】OM：二阶行列式的定义菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换【分析】元素8的余子式为：6，元素8的代数余子式为：（1）56，由此能求出元素8的余子式的值与代数余子式的值之和【解答】解：三阶行列式，元素8的余子式为：6，元素8的代数余子式为：（1）56，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为：6+60故答案为：0【点评】本题考查行列式的余子式与代数余子式之和的求法，考查余子式、代数余子式的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（3分）设aR，若（2+）（1+x）5展开式中x2的系数为10，则a1【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理【分析】把（1+x）5按照二项式定理展开，可得x2的系数，再根据x2的系数为10，求得实数a的值【解答】解：（2+）（1+x）5（2+）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），故x2的系数为20+10a10，a1，故答案为：1【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题9（3分）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有96种（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据题意，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生；按第一棒是丙或甲、乙中一人，分为两类，分别计算其情况数目，结合分类计数原理，计算可得答案【解答】解：分两类：第一棒是丙有C11C21A4448，第一棒是甲、乙中一人有C21C11A4448因此共有方案48+4896种；故答案为96【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意优先分析有特殊要求的元素，对于本题，注意分类的标准前后统一，要做到不重不漏10（3分）已知数列an（nN*），若a11，an+1+an（）n，则a2n【考点】8H：数列递推式；8J：数列的极限菁优网版权所有【专题】33：函数思想；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法【分析】由已知推导出，从而，由此能求出a2n【解答】解：数列an（nN*）满足a11，an+1+an（）n，（a1+a2）+（a3+a4）+（a2n1+a2n），又a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a2n2a2n1）即【点评】本题考查由数列递推式求数列的通项公式，考查数列极限的求法，是中档题11（3分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若与的夹角记为ij，其中i，j1，2，3，4，5，且ij，则|cosij的最大值为【考点】9H：平面向量的基本定理菁优网版权所有【专题】13：作图题；5A：平面向量及应用【分析】由向量的投影的几何意义有：|cosij的几何意义为向量在向量方向上的投影，由图可知：在直角三角形AED中，向量在向量方向上的投影最大，即可得解【解答】解：由向量的投影的几何意义有：|cosij的几何意义为向量在向量方向上的投影，由图可知：在向量方向上的投影最大，且为，故答案为：【点评】本题考查了向量的投影的几何意义，属简单题12（3分）如图，l1、l2是过点M夹角为的两条直线，且与圆心为O，半径长为1的圆分别相切，设圆周上一点P到l1、l2的距离分比为d1、d2，那么2d1+d2的最小值为3【考点】J9：直线与圆的位置关系；JE：直线和圆的方程的应用菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】根据题意，分析可得|OM|2，建立坐标系，分析可得l1、l2的关于y轴对称，据此设出直线l1与l2的方程，P（cos，sin），由此表示2d1+d2，结合三角函数的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，l1、l2是过点M夹角为的两条直线，且与圆心为O，半径r1的圆分别相切，则|OM|2r2，如图建立坐标系，以圆心O为坐标原点，OM为y轴建立坐标系，M（0，2），又由l1、l2是过点M夹角为的两条直线，则l1、l2的关于y轴对称，易得l1、l2的倾斜角为和，则设l1的方程为yx+2，l2的方程为yx+2，P是圆周上的一个动点，设P（cos，sin），则d11+，d21，则2d1+d22+（cossin）+1（cos+sin）3+3+sin（）3；即2d1+d2的最小值为3；故答案为：3【点评】本题考查直线与圆方程的应用，注意建立坐标系，表示2d1+d2二、选择题13（3分）设函数yf（x），“该函数的图象过点（1，1）”是“该函数为幂函数”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】49：综合法；51：函数的性质及应用；5L：简易逻辑【分析】若函数f（x）为幂函数，利用性质可的该函数的图象过点（1，1）反之不成立即可判断出关系【解答】解：若函数f（x）为幂函数，则该函数的图象过点（1，1）反之不成立“该函数的图象过点（1，1）”是“该函数为幂函数”的必要非充分条件故选：B【点评】本题考查了幂函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（3分）下列关于函数ysinx与yarcsin x的命题中正确的是（）A它们互为反函数B都是增函数C都是周期函数D都是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质【分析】根据正弦函数ysinx的性质可得A，B不正确，反正弦函数不是周期函数得C不正确【解答】解：ysinx在R内不存在反函数，且不具有单调性，故A，B不正确；yarcsinx不是周期函数，故C不正确；故选：D【点评】本题考查了反函数，属基础题15（3分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60的直线的条数为（）A3B4C5D6【考点】LM：异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离【分析】结合图形，利用异面直线所称的角的概念，把与A1B成60角的异面直线一一列出，即得答案【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60的直线有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4条故选：B【点评】本题考查异面直线的定义域判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是基础题16（3分）如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（）A（|x|y1）（1x2+y2）0B（ ）（1x2+y2）0C（|x|y1）（）0D（ ）（）0【考点】KE：曲线与方程菁优网版权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由图象可得曲线表示折线段的一部分和双曲线，对照选项一一分析，方程表示的图形，注意绝对值和根式的意义，即可得到正确选项【解答】解：如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，选项A等价于|x|y10或1x2+y20，表示折线y|x|1的全部和双曲线，故错误；选项B等价于，或|x|y10，|x|y10表示折线y|x|1的全部，故错误；选项C等价于或1x2+y20，表示折线y|x|1在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，1x2+y20表示双曲线，符合题中图象，故正确；选项D等价于或，表示表示折线y|x|1在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，表示双曲线在x轴下方的一部分，故错误故选：C【点评】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键在于考虑问题要周全，即在每个因式等于0时，需保证另一个因式有意义，此题是个中档题，也是易错题三解答题17如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30（1）求该量杯的侧面积S；（2）若要在圆锥形量杯的一条母线PA上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少？当液体体积是100立方厘米时，刻度的位置B与顶点P之间的距离是多少厘米（精确到0.1厘米）？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5Q：立体几何【分析】（1）设底面圆的半径为r，根据侧面积公式即可求出，（2）根据体积公式计算即可【解答】解：（1）设底面圆的半径为r，h12，OPA30，AP8，r124，量杯的侧面积Srl4896cm2，（2）VShr2h4812196cm2，设PBx，则BCx，PCx，V（x）2xx3100，解得x7.6【点评】本题考查了圆锥的侧面积和体积，考查了运算能力，属于基础题18已知函数f（x）sin2x+2cos2x1，x（0，）（1）求函数yf（x）的单调递减区间；（2）在ABC中，若f（A）f（B），且AB，AB，求ABC外接圆半径的长【考点】GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4A：数学模型法；58：解三角形【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由复合函数的单调性求函数yf（x）的单调递减区间；（2）由f（A）f（B），且AB，求得A+B，得C，结合cAB，再由正弦定理求得ABC外接圆半径的长【解答】解：（1）f（x）sin2x+2cos2x1sin2x+cos2x，由，得，kZ取k0，可得函数yf（x）的单调递减区间为（）；（2）由f（A）f（B），得，AB，则A+B，C，cAB，即R1【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查三角形的解法，是中档题19已知函数f（x）+b，其中a，bR（1）当a6，b0时，求满足f（|x|）2x的x的值；（2）若f（x）为奇函数且非偶函数，求a与b的关系式【考点】3N：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】（1）根据题意，当a6，b0时，f（x），若f（|x|）2x，则2x，解可得x的值，即可得答案；（2）根据题意，由奇函数的定义可得f（x）+f（x）0，即（+b）+（+b）0，变形分析可得a、b的关系，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，当a6，b0时，f（x），若f（|x|）2x，则2x，又由2x0，则2x3，则xlog23，（2）若f（x）为奇函数且非偶函数，则f（x）+f（x）0，即（+b）+（+b）0，变形可得：a2b0，即a2b（a0）【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题20椭圆：+1（1）若抛物线C的焦点与的焦点重合，求C的标准方程；（2）若的上顶点A、右焦点F及x轴上一点M构成直角三角形，求点M的坐标；（3）若O为的中心，P为上一点（非的顶点），过的左顶点B，作BQOP，BQ交y轴于点Q，交于点N，求证：22【考点】KL：直线与椭圆的综合菁优网版权所有【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）根据椭圆的方程和抛物线的性质即可求出，（2）根据勾股定理即可求出，（3）由B（3，0），BQOP，设直线BQ的方程为xmy3，直线OP的方程为xmy，分别于椭圆的方程联立，求出点Q，N，P的坐标，在根据向量的运算即可证明【解答】解：（1）椭圆：+1中a29，b24，c2a2b25，c，的焦点坐标为（，0），（，0），抛物线C的焦点与的焦点重合，p2，且抛物线的焦点在x轴上，C的标准方程y24；（2）的上顶点A、右焦点F及x轴上一点M构成直角三角形，A（0，2），F（，0），设M（t，0），显然t0，|MA|2+|AF|2|MF|2，t2+4+5+4（t）2，解得t，M（，0），证明（3）由B（3，0），BQOP，设直线BQ的方程为xmy3，直线OP的方程为xmy，由，消x可得（4m2+9）y224my0，解得y0，或y，则xN3则N点的坐标为（，），对于直线方程xmy3，令x0，可得yQ（0，），（+3，）（3，）+由，解得yp2，xp2解得或，222（xp2+yp2）2（+），22【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合