劳斯稳定性判据.ppt

06 7 20 控制系统的稳定性分析 1 第十二讲 第五章控制系统的稳定性分析 稳定的定义和代数稳定判据 06 7 20 控制系统的稳定性分析 2 5 1稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件 控制系统在实际运行过程中 总会受到外界和内部一些因素的扰动 例如负载和能源的波动 系统参数的变化 环境条件的改变等 这些因素总是存在的 如果系统设计时不考虑这些因素 设计出来的系统不稳定 那这样的系统是不成功的 需要重新设计 或调整某些参数或结构 稳定系统在有界输入的作用下输出也应该是有界的 稳定是控制系统的重要性能 也是系统能够正常运行和工作的首要条件 控制系统在实际应用中应用的首要前提就是系统必须稳定 对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行 一个不稳定的系统一般是没有实际价值的 06 7 20 控制系统的稳定性分析 3 如果系统不稳定 就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态 并随时间的推移而发散 因此 如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施 是自动控制理论的基本任务之一 其他 一个反馈系统要么是稳定的 要么是不稳定的 绝对稳定性 具有绝对稳定性的系统称为稳定系统 若一个闭环系统是稳定的 还可以用相对稳定性来进一步衡量其稳定程度 例如 飞机越稳定操作起来越困难 但是现代战斗机的相对不稳定性导致的结果就是良好的可操纵性 因此战斗机不如商业运输机飞行平稳 但是能够实现快速机动 稳定的基本概念 定义1 系统处于某一起始的平衡状态 在外界扰动作用的影响下 偏离了该平衡状态 当外作用消失后 如果经过足够长的时间 这个系统还能恢复到原来的起始平衡状态 则称这样的系统为稳定的系统 否则为不稳定的系统 参见下面所示图形 06 7 20 控制系统的稳定性分析 5 在外界干扰的作用下 摆由原来的平衡点M偏到新的位置b 当外力去掉后 显然摆在重力的作用下 将围绕点M反复震荡 经过一定时间 当摆因受空气阻尼使其能量耗尽后 摆又停留在平衡点M 象这样的平衡点M就成为稳定的平衡点 对于一个倒摆 一旦离开了平衡点d 即使外力消失 无论经过多少时间 摆也不会回到平衡点d上来 对于这样的平衡点d 成为不稳定平衡点 不稳定的例子 1 演播厅音响系统的扬声器与麦克风之间的距离越近 回音越大 近到一定程度 啸叫盖过音响 类似的现象还有电话机 电脑的麦克风等等 2 美国华盛顿州塔科马峡谷大桥 1940年7月1日开通 4个月之后的11月7日 突然一阵风引起大桥剧烈晃动 随即倒塌 判断方法 判断传递函数的所有极点是否均位于s左半平面 或等价地 判断系统矩阵A的特征值是否均位于s左半平面 若所有极点 或特征值 均位于s左半平面 就可以进一步通过极点 或特征值 的相对位置来判断相对稳定性 定义2 若控制系统在足够小的初始偏差作用下 其过渡过程的偏差随时间的推移逐渐趋于零 也即系统具有恢复原来平衡状态的能力 则称系统是稳定的 否则不稳定 稳定性反映在干扰消除之后过渡过程的性质上 系统与平衡状态的偏差可以认为是系统的初始偏差 注意事项 1 稳定性是控制系统自身的固有性质 这稳定性取决于系统的固有特征 结构 参数 与系统的输入信号无关 A 对线性系统 系统是大范围稳定的 与输入偏差无关 06 7 20 控制系统的稳定性分析 8 B 对实际 小偏差线性化 的近似线性系统 偏差达到一定范围之后 系统不再稳定 2 稳定性指的是自由震荡之下的稳定性 即输入为零 系统在初始偏差不为零时的稳定性 也即是讨论自由振荡是收敛还是发散 设系统或环节的微分方程为 式中 x t 输入 y t 输出为常系数 将上式求拉氏变换 得 5 2系统稳定的充要条件 06 7 20 控制系统的稳定性分析 9 对于具有以上传递函数的控制系统来说 脉冲输入的拉氏变换为1 即 所以系统输出增量的拉氏变换为 扰动信号的作用相当于对系统的一个脉冲响应信号 系统的输出增量 偏差值 即是脉冲输入的响应 06 7 20 控制系统的稳定性分析 10 系统特征方程的根 即传递函数的极点 全为负实数或具有负实部的共轭复根 或者说 特征方程的根应全部位于s平面的左半部 如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根 它的对应项是发散的周期振荡 如果特征方程中有一个正实根 它所对应的指数项将随时间单调增长 上述两种情况下系统是不稳定的 线性系统稳定的充要条件 06 7 20 控制系统的稳定性分析 11 如果特征方程中有一个零根 它所对应于一个常数项 系统可在任何状态下平衡 称为随遇平衡状态 如果特征方程中有一对共轭虚根 对应于等幅的周期振荡 称为临界平衡状态 或临界稳定状态 从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定 稳定性是线性定常系统的一个属性 只与系统本身的结构参数有关 与输入输出信号无关 与初始条件无关 只与极点有关 与零点无关 注意 06 7 20 控制系统的稳定性分析 12 稳定区 不稳定区 临界稳定 S平面 S平面的左半部是稳定区 06 7 20 控制系统的稳定性分析 13 1 对于一阶系统 只要都大于零 系统就是稳定的 2 对于二阶系统 只有都大于零 系统才稳定 负实根或实部为负 对于三阶或以上系统 求根是很烦琐的 于是就有了以下描述的代数稳定性判据 06 7 20 控制系统的稳定性分析 14 5 3代数稳定性判据 5 3 1劳斯稳定性判据 设线性系统的闭环特征方程为 则该系统稳定的条件为 a 特征方程的各项系数都不等于零 b 特征方程的各项系数的符号都相同 此两项为必要条件 充分条件 由特征方程系数组成的劳斯排列阵的第一列的所有项均为正 充要条件 对于稳定系统而言 劳斯排列阵的第一列中 应该没有符号变化 06 7 20 控制系统的稳定性分析 16 劳斯阵的前两行由特征方程的系数组成 第一行为1 3 5 项系数组成 第二行为2 4 6 项系数组成 劳斯阵的组成 06 7 20 控制系统的稳定性分析 17 这样可求得n 1行系数 06 7 20 控制系统的稳定性分析 18 这种过程需一直进行到第n行被算完为止 系数的完整阵列呈现一个倒三角形 为简化计算 可用一个正整数去除或乘某一整个行 并不改变稳定性结论 注意 06 7 20 控制系统的稳定性分析 19 劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化 去判别特征方程式根在S平面上的具体分布 过程如下 如果劳斯表中第一列的系数均为正值 则其特征方程式的根都在S的左半平面 相应的系统是稳定的 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化 其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数 相应的系统为不稳定 劳斯稳定判据 06 7 20 控制系统的稳定性分析 20 例5 1 特征方程为 试判断稳定性 解 劳斯阵为 稳定的充要条件为 均大于零 且 06 7 20 控制系统的稳定性分析 21 已知一调速系统的特征方程式为 例5 2 试用劳斯判据判别系统的稳定性 解 列劳斯表 由于该表第一列系数的符号变化了两次 所以该方程中有二个根在S的右半平面 因而系统是不稳定的 06 7 20 控制系统的稳定性分析 22 劳斯判据特殊情况之一 劳斯阵某一行第一项系数为零 而其余系数不全为零 处理办法 用很小的正数代替零的那一项 然后据此计算出劳斯阵列中的其他项 若第一次零 即 与其上项或下项的符号相反 计作一次符号变化 例5 3 令则故第一列不全为正 系统不稳定 s右半平面有两个极点 06 7 20 控制系统的稳定性分析 23 劳斯判据特殊情况之二 劳斯表中出现全零行 则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根 这种情况 可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式 并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行 完成劳斯表的排列 这些大小相等 径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到 而且其根的数目总是偶数的 原因是有关于原点对称的根存在 或者实轴或者虚轴 例如 一个控制系统的特征方程为 列劳斯表 由上表可知 第一列的系数均为正值 表明该方程在S右半平面上没有特征根 令F s 0 求得两对大小相等 符号相反的根 显然这个系统处于临界稳定状态 例5 4 劳斯判据特殊情况之三 特征方程在虚轴上有重根 如果特征方程在虚轴上仅有单根 则系统的响应是持续的正弦振荡 此时系统既不是稳定的 也不是不稳定的 因而称之为临界稳定 如果虚根是重根 则系统响应是不稳定的 且具有的形式 Routh Hurwitz判据不能发现这种形式的不稳定 例如 一个控制系统的特征方程多项式为 06 7 20 控制系统的稳定性分析 25 5 3 2劳斯判据的应用 相对稳定性 稳定判据只是初步解决了系统特征方程式的根在S平面上的分布情况 而不能确定根的具体数据 也即不能保证系统具备满意的动态性能 换句话说 劳斯判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离 但能判断是否所有特征根都落在虚轴的左半平面 若用S Z 1代入特征方程中 求出的根的实部即为特征根距S 1垂线的距离 可判断稳定程度 用劳斯判据检验下列特征方程 是否有根在S的右半平面上 并检验有几个根在垂线的右侧 例5 5 06 7 20 控制系统的稳定性分析 26 解 列劳斯表 第一列全为正 所有的根均位于左半平面 系统稳定 令 代入特征方程 式中有负号 显然有根在 的右方 列劳斯表 第一列的系数符号变化了一次 表示原方程有一个根在垂直直线 的右方 06 7 20 控制系统的稳定性分析 27 5 3 3赫尔维茨 Hurwitz 判据 以4阶系统为例使用赫尔维茨判据 赫尔维茨行列式为 系统稳定的充要必要条件是 主行列式及其对角线上的各子行列式均有正值 即 06 7 20 控制系统的稳定性分析 28 有时称为赫尔维茨行列式 由于这个行列式直接由系数排列而成 规律简单而明确 使用也比较方便 但对六阶以上的系统 由于行列式计算麻烦 较少应用 例5 6 设控制系统的特征方程为 试用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性 解 首先 由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件 各系数排列成如下的行列式 06 7 20 控制系统的稳定性分析 29 由于 故系统稳定 劳斯判据和赫尔维茨判据都是利用特征根与系数的关系来判别稳定性的 它们之间有一致性 所以有时侯 称为劳斯 赫尔维茨判据 又由于它们的判别式均为代数式 故又称这些判据为代数判据 劳斯判据和赫尔维茨判据对于带延迟环节等系统形成的超越方程式无能为力 这是代数判据的局限性 而下面介绍的乃魁斯特稳定性判据能够判别带延迟环节系统的稳定性 应用更为广泛 06 7 20 控制系统的稳定性分析 30 5 3 4劳斯 赫尔维茨稳定性判据的应用 判定控制系统的稳定性 例5 7 系统的特征方程为 判断系统的稳定性 解 排列劳斯阵如下 因为 且劳斯阵第一列不全为正 所以 系统不稳定 由于劳斯阵第一列有两次符号变化 所以系统在s右半平面有两个极点 实际上 其根为 06 7 20 控制系统的稳定性分析 31 例5 8 系统的特征方程为 该系统稳定吗 求出每一个极点并画出极点分布图 解 劳斯阵如下 行全为零 由前一