三重积分的计算及重积分的应用.ppt

二 三重积分计算的基本方法 1 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面 线 围成 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离 2 选择易计算的积分序 积分域分块要少 累次积分易算为妙 图示法 列不等式法 3 掌握确定积分限的方法 累次积分法 1 把积分 化为三次积分 其中 由曲面 提示 积分域为 原式 及平面 所围成的闭区域 P183题7 练习题 2 计算三重积分 其中 是由 xoy平面上曲线 所围成的闭区域 提示 利用柱坐标 原式 绕x轴旋转而成的曲面与平面 P183题8 3 3 三重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1 交换积分顺序的方法 2 利用对称性简化计算 3 消去被积函数绝对值符号 1 积分区域关于坐标面的对称性 2 被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性 只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时 才能简化 利用对称性简化三重积分的计算 4 其它情形依此类推 三重积分计算的简化 5 P182题1 1 设有空间闭区域 则有 6 例1 解 典型例题 7 例2 解 利用球面坐标 8 例3 解在球坐标系下 利用洛必达法则与导数定义 得 其中 9 第四节 一 立体体积 三 物体的质心 重积分的应用 第十章 四 物体的转动惯量 二 曲面的面积 五 物体的引力 10 二重积分的元素法 将定积分的元素法推广到二重积分 可得二重积分的元素法 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d 时 相应地部分量可近似地表示为f x y d 的形式 其中 x y 在d 内 f x y d 称为所求量U的元素 记为dU 则所求量的积分表达式为 即当闭区域D分成许多小闭区域时 所求量U相应地分成许多部分量 且U等于部分量之和 11 一 立体体积 12 一 立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为 13 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积V 例1 求曲面 分析 第一步 求切平面 方程 第二步 求 与S2的交线在xOy面上的投影 写出所围区域D 第三步 求体积V 示意图 14 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积V 解 曲面 的切平面方程为 它与曲面 的交线在xOy面上的投影为 记所围域为D 在点 例1 求曲面 15 例2 求半径为a的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积 解 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 16 二 曲面的面积 17 曲面方程 D 有界闭区域 求曲面的面积A 18 设光滑曲面 则面积A可看成曲面上各点 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为d 称为面积元素 则 见P99 19 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为 则有 即 20 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 且 21 曲面面积 其中D是曲面在坐标面z 0上的投影区域 求曲面面积的步骤 1 求曲面在坐标面z 0上的投影区域D 2 在区域D上计算二重积分 22 同理可得 设曲面的方程为 曲面面积公式为 设曲面的方程为 曲面面积公式为 23 解 球冠在xoy面上的投影区域 24 25 26 半球面面积 球面面积 27 投影区域 所求曲面 28 作业 P15510P1751 2 3 习题课 29 三 物体的质心 30 三 物体的质心 设空间有n个质点 其质量分别 由力学知 该质点系的质心坐标 设物体占有空间域 有连续密度函数 则 公式 分别位于 为 为 即 采用 分割 近似 求和 取极限 可导出其质心 31 将 分成n小块 将第k块看作质量集中于点 例如 令各小区域的最大直径 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标 的质点 即得 此质点 在第k块上任取一点 32 同理可得 则得形心坐标 33 若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片 A为D的面积 得D的形心坐标 则它的质心坐标为 其面密度 对x轴的静矩 对y轴的静矩 34 例5 求位于两圆 和 的质心 形心 解 利用对称性可知 而 之间均匀薄片 35 柱面坐标 a 用哪种坐标 例6 36 四 物体的转动惯量 37 设平面有n个质点 该质点系的转动惯量 第k个质点的位置 质点系的转动惯量 质量 38 平面薄片的转动惯量 TheMomentofInertiaofaLamina 39 如果物体是平面薄片 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分 40 例7 求半径为a的均匀半圆薄片对其直径 解 建立坐标系如图 半圆薄片的质量 的转动惯量 41 空间有界闭区域上物体的转动惯量 设物体占有空间区域 有连续分布的密度函数 该物体位于 x y z 处的微元 因此物体对z轴的转动惯量 对z轴的转动惯量为 42 类似可得 对x轴的转动惯量 对y轴的转动惯量 对原点的转动惯量 43 解 取球心为原点 z轴为l轴 则 球体的质量 例8 求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量 设球 所占域为 用球坐标 44 五 物体的引力 45 G为引力常数 五 物体的引力 设物体占有空间区域 物体对位于点P0 x0 y0 z0 处的单位质量质点的引力为 其密度函数 引力元素在三坐标轴上分量为 其中 46 若求xOy面上的平面薄片D 对点P0处的单位质量质点 的引力分量 因此引力分量为 则上式改为D上的二重积分 密度函数改为 即可 例如 其中 47 例9 设面密度为 半径为R的圆形薄片 求它对位于点 解 由对称性知引力 处的单位质量质点的引力 48 例10 求半径为R的均匀球 对位于 的单位质量质点的引力 解 利用对称性知引力分量 点 49 50 作业 P1755 7 1 3 11 14 习题课 51 1