1.1-1.2随机变量的定义及条件数学期望ppt课件.ppt

第一章预备知识 1 1 1随机变量 2 随机变量的概念 引入随机变量的意义 建立了集合函数与数学分析中所研究的点函数之间的联系 3 随机变量的概念 定义 设是一样本空间 是定义在上的单值实函数 则称X为一个随机变量 称为随机变量的分布函数 4 离散型随机变量 设离散型随机变量X 一切可能值为 记称为X的分布列 也称为X的概率函数 5 连续型随机变量 定义 对于随机变量X 若存在非负函数 且 使X取值于任意区间的概率称X为连续型随机变量 6 随机向量及其分布 定义 设是一样本空间 是定义在这个样本空间上的n个随机变量 称为上的一个n维随机向量 7 随机向量的联合分布函数 设是样本空间上的n维随机向量 称n元函数是n维随机向量的分布函数 也称为n个随机变量的联合分布函数 8 随机变量的独立性 定义 设是n个随机变量 若对于任意的n个实数 均有则称n个随机变量是相互独立的 9 随机变量的独立性 设的分布函数分别为 它们的联合分布函数为 则上式等价于 10 矩函数 一个随机变量矩函数 11 矩函数 两个随机变量联合矩函数j k阶原点距j k阶中心距 12 矩函数 常用的几种矩函数 一阶原点矩描述概率分布的中心或均值二阶原点矩描述平均功率 二阶中心矩描述概率分布的离散程度 13 矩函数 相关函数 协方差相关系数不相关描述两个随机变量的线性相关关系 14 柯西 施瓦茨不等式 设 则 15 1 2条件数学期望 16 定义 设 X Y 的联合分布函数为F x y 称 为在X x的条件下 随机变量Y的条件分布函数 17 离散型随机变量 X Y 在y yk条件下X的条件分布函数为 称为条件分布律 18 连续型 X Y 有 为在条件X x下 随机变量Y的条件密度函数 19 三 条件数学期望 1 条件数学期望概念 定义设 X Y 是二维随机变量 条件分布函数或存在 若 或 则 称为在X x的条件下 随机变量X的条件数学期望 20 若 X Y 是离散型随机变量 则 若 X Y 是连续型随机变量 则 21 例1 设随机变量 X Y 的联合概率密度为 试求E Y X x 解 22 在 X x 的条件下 有条件概率密度 一般有 23 定理设函数g x 在R上连续 若 则随机变量g X 在 Y y 条件下的条件数期望为 定义称 为 Y y 的条件下 随机变量X的条件方差 为随机变量X相对于条件数学期望的偏离程度的衡量指标 24 一般 是实值函数 而随机变量的函数 仍是随机变量 有随机变量的概率性质 2 条件数学期望性质 定理 设X Y Z是随机变量 g 和h 为R上连续函数 且各数学期望存在 有 25 1 c是常数 证 1 对 2 a b是常数 自证 3 如果X与Y相互独立 则 证 X与Y独立 26 自证 27 3 全期望公式 例2 常用全数学期望公式若Y是离散型随机变量 28 例3设随机变量序列独立同分布 随机变量N N仅取自然数 E N 存在 并且N与相互独立 随机变量且E Y 存在 试证明 证明 29 因为Xk具有相同分布 则 30 例4设某段时间内到达商场的顾客人数N服从参数为 的泊松分布 每位顾客在该商场的消费额X服从 a b 上的均匀分布 各位顾客之间消费是相互独立的且与N独立 求顾客在该商场总的消费额 解设第i个顾客消费额为Xi 全体顾客在该商场总消费额为 31 根据全数学期望公式得 例5已知随机变量X服从 0 a 上的均匀分布 随机变量Y服从 X a 上的均匀分布 试求 32 解1 由条件知对x 0 有 对任意的0 x a有 33 解 设窃贼需走X个小时到达地面 并设Y为窃贼每次对三个门的选择 则Y均以1 3的概率取值为1 2 3 可利用全期望公式得 而有 例6 巴格达窃贼问题 一窃贼被关在3个门的地牢中 其中第1个门通向自由 出这个门后3个小时便回到地面 第2个门通向一个地道 在此地道中走5个小时后将返回地牢 第3个门通向一个更长的地道 沿着这个地道走7个小时也回到地牢 如果窃贼每次选择3个