2第二章(0928-1010)电动力学

镜像法问题第二类 点电荷对球面的镜像 例1 半径为R0的接地导体球 在与球心相距a的一点放置电荷Q 求空间电势 题目变形 1 若导体不接地 1 不接地 导体球面为等势面 电势不为0 球面上必感应出等量正 负电荷 即感应电荷总量为0 从前面的讨论可知 在离球心b处放置Q 保证球面为等势面且电势为0 但不能保证球面总电荷为0 为使球面总感应电荷为零 且为等势面 根据对称性可知 还必须在球心处再放一个Q Q 这个电荷既不破坏球面等势性 又使球面总感应电荷为0 题目变形 2 导体球不接地 其电势为U0 2 变形1 中 导体球表面的电势即为最后放置的Q Q 产生的 若现在再要求导体球的电势为U0 相当于在球心处再放置一个点电荷Q Q Q 在球表面共同产生的电势为U0 则 题目变形 3 导体球不接地 且带上自由电荷Q0 3 此时要求导体表面为等势面 且总电量为Q0 根据变形1 像电荷Q Q 已保证了球面为等势面 且球面总电荷为0 此时若既要使球面总电荷为Q0 又要保持导体面为等势面 根据对称性 则Q0对应的像电荷Q Q0也应放于球心 两个带同号电荷的物体是否一定相互排斥 NO 书P56 题目变形 4 点电荷Q在导体球壳内距球心a处 注意 像电荷的电量Q 大于源电荷的电量Q 4 与例1情况相比 仅是源电荷的位置由球外搬进到球内 此时 接地球壳外无场强 场的区域在球内 球内的电势等于源电荷Q和球面上的感应电荷 球壳内表面 也即像电荷Q 位于球外 产生的电势 镜像法问题第三类 点电荷对混合界面 例1 在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部 半球的球心在导体平面上 点电荷Q位于系统的对称轴上并与平面相距为b b a 试用电像法求空间电势 书P72 11题 分析 利用镜像法 根据点电荷附近置一无限大接地导体平板 和点电荷附近置一接地导体球两个模型 可确定三个像电荷的电量和位置 电像法与分离变量法比较 1 所求区域无自由电荷分布时 使用分离变量法2 有自由电荷分布时 分离变量法 叠加法 适用于自由电荷分布十分对称 界面单一的情况 电像法适用于自由电荷在坐标系中的分布不很对称 界面组合较复杂的情况 3 少数情况下可同时适用 例如P72 8 P72 12 第6节电多极矩 前面所学的解决静电问题的方法 分离变量法 镜象法 着眼点都是为求解泊松方程或拉普拉斯方程 本节的着眼点在于求电势的直接表达式 库仑定律的近似解 所涉及的问题是 在真空中 若激发电场的电荷全集中在一个很小区域 如原子 原子核内 而要求的又是距场源较远的场 这时可采用多极矩近似法来解决问题 例如 原子核的电荷分布于线度为10 13cm的范围内 受此电荷分布作用的电子距核的距离为10 8cm 就满足上述条件 具体来说 带电体系中的电荷分布于有限区域V内 在V中任取一点O为坐标原点 区域V的最大线度为l 场点P距O点为R 多极矩法讨论R l情况下的场分布 简单例子 设V中有一点电荷Q 位于 a 0 0 点 Q对远处产生的电势 相当于 1 将Q移动到原点 则对场点P产生一个电偶极子分布的误差B 多级矩法的物理思想 把分布在坐标原点附近一个很小区域内的电荷体系在远处产生的势 看作位于原点的点电荷Q 以及中心在原点的电偶极子P 电四极子D 等所产生的势的叠加 根据所要求的精度 利用前几项之和 近似地表示该电荷体系的势 将B图的电偶极子移到原点 对场点P产生一个电四极子分布的误差D 总之 移动一个点电荷到原点 对场点产生一个电偶极子分布的误差 移动一个电偶极子到原点 对场点产生一个电四极子分布的误差 类上递推 移动一个电四极子到原点 对场点产生一个电八极子分布的误差 可得二级近似 小区域电荷分布 产生的电势许多实际情况中 电荷分布区域的最大线度l远小于该区域到场点的距离r 1 粗略近似 2 精确近似 电多级矩展开1 幂级数展开与麦克劳林级数 当x0 0时 上式称为麦克劳林级数 三维函数的泰勒级数 f x 在x x0处的泰勒级数 三维函数的麦克劳林级数 2 1 r的麦克劳林级数 此函数有两个自变量 应展开哪一个 此式是以源点x 为变量进行积分 而当场点P选定后 其坐标x固定不变 因此 1 r的麦克劳林展开应以x 为自变量进行 书P12 对r的函数而言 对x微分与对x 微分仅差一负号 3 小区域电荷体系的电势的多极矩展开 将上式代入右式得 令 上式是小区域电荷体系在远处激发电势的多极展开 p称为体系的电偶极矩 参见P34 5 张量D称为体系的电四极矩 3 电多极矩的物理意义1 第一项 该项作为零级近似 可看作是电荷体系集中于原点上时 总电荷Q激发的电势 2 第二项 该项可看作是集中于原点处的体系总电偶极矩p产生的电势 第一 二项之和即电势的一级近似 电偶极矩的电场 a 与R3成反比 b 轴对称性 若一个体系的电荷分布关于原点对称 则电偶极矩为0 3 第三项 是集中于原点处的体系总电四极矩D激发的电势 第1 3项之和即电势的二级近似 讨论 1 展开式表明 一个小区域内连续分布的电荷体系在远处激发的场 等于一系列多极矩在远处激发的场的迭加 2 若带电体系的总电荷为零 计算电势时必须考虑电偶极矩 若带电体系的总电荷为零 总电偶极矩也为零 计算电势时必须考虑电四极矩 体系总电荷为0 总电偶极矩为0 电四极矩为 线四极矩 z轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系 此体系可看作由一对电偶极矩 p和 p组成 其中 p Q b a 是电偶极矩大小 l b a是两个电偶极矩中心的间距 或p Q b a 是电偶极矩大小 l b a是两个电偶极矩中心间距 由x轴上两对正负电荷组成只有D11分量的线电四极矩 由y轴上两对正负电荷组成只有D22分量的线电四极矩 由xy平面上两对正负电荷组成只有D12分量的面电四极矩 由yz平面上两对正负电荷组成只有D23分量的面电四极矩 由zx平面上两对正负电荷组成只有D31分量的面电四极矩 此即沿z轴排列 以坐标原点为中心的 四个点电荷产生的电势 也即只有D33分量的线电四极矩产生的电势 根据电偶极子电势 R为由电偶极子中心指向场点P的矢量 只有D33分量的线电四极矩产生的电势的证明 线四级矩产生的电势 由一对电偶极子 p和 p产生 并注意电偶极子 p和 p只有z方向 则有 x y z 电四极矩张量的分量 共有9个分量 它们之间是否彼此独立 零迹的对称矩阵 共有9 4 5个独立参数 若电荷分布球对称 则电四极矩的各个分量等于零 因此电四极矩反映电荷分布对球对称的偏离 测量远场的电四极矩的电势 就可对电荷分布形状作出一定推论 由此定义电四极矩的新形式 b 电四极矩的新形式的推导 代入 b Q 0 Q 0 Q 0 理论与实验都证明 原子核的电偶极矩恒等于0 其电四极矩定义为 电四极矩是原子核中电荷分布偏离球对称的量度 球对称电荷系统的场与一个中心点电荷的场完全相当 因此从多级展开角度来讲 它既不可能产生偶极矩 也不可能产生四极矩乃至更高极矩的场 电荷体系在外电场中的能量 非电荷体系自身电场的能量 电荷体系 在外电场 e中的能量 即为电荷体系在外电场中的静电势能 设电荷 分布于小区域 取区域内适当点为坐标原点 把 e x 对原点进行展开 即 e x 的麦克劳林级数 表示把体系电荷集中于原点时 总电荷在外场中的能量 作为零级近似的结果 第一项 第二项 表示集中于原点的体系总电偶极矩在外场中的能量 第三项 表示集中于原点的体系电四极矩在外场中的能量 由表达式可看出 只有在非均匀外场中四极子的