《线性代数》教学大纲.doc

线性代数教学大纲课程名称：线性代数 课程代码：01121220课程类别：专业必修课 学分：3总 学 时：48 理论学时：48先修课程：无一、课程性质、目的和任务线性代数是理工类、经管类各专业的一门重要的公共基础课程。它是讨论有限维空间的线性理论的一门科学，是处理线性问题的有力工具。在当今科学技术飞速发展，特别是计算机科学和信息技术的应用日新月异，科学管理理念日益加强的时代，作为描述和研究实际问题的有力工具，线性代数的理论和方法已渗透到各个科技领域以及经济学和管理科学，在工程技术和国民经济的许多领域都有广泛的应用。学习本课程，不仅使所学者掌握本课程的基本理论和方法，为学习考试计划中的多门后继课程提供必需的基础知识，而且有利于提高自学者的数学修养，养成善于抽象思维和逻辑推理的习惯，从而能提高自学者分析和解决实际问题的能力。二、教学基本要求1知识、能力、素质的基本要求学习本课程，要求要切实掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法。通过做相当数量的练习，具有比较熟练的运算能力，同时培养抽象思维能力和逻辑推理能力，并不断提高自学能力。在基础知识方面要达到以下基本要求：（1）理解行列式的性质，会计算行列式；（2）熟练掌握矩阵的各种运算；（3）会判别向量组的线性相关性与线性无关性，理解向量组的秩和矩阵的秩的概念及其关系；（4）掌握线性方程组的解的结构和求解方法；（5）会求实方阵的特征值和特征向量，理解方阵可对角化的条件，掌握方阵对角化的计算方法；（6）了解实二次型概念和正定二次型的判别方法。本课程的重点是行列式计算、矩阵运算和解线性方程组。2教学模式基本要求 （1）用“问题驱动法”展开教学内容在教学内容过程中，用问题驱动法逐步展开教学内容，问题一环扣一环，便于启发式教学原则的实现，把学生吸引到教学内容中来，充分调动学生听课的积极性，提高课堂教学效率。（2）用“对比法“引入新的数学概念与运算在教学过程中，根据教学内容的要求，适时采用对比法引入新的概念与运算，这样有利于学生消化吸收新的数学概念与运算，达到事半功倍的教学效果。（3）用“讨论法”展开习题课的教学在习题课的教学过程中，提出问题并引导大家讨论问题，不但可以达到释难解疑的目的，而且还能培养锻炼学生的表达能力，激发学生的学习热情。3考核方法基本要求： （1）考核形式：闭卷考试 （2）综合成绩计算：平日成绩占20%、中考成绩占20%、期末成绩占60%三、教学内容及要求 第一章行列式（一）考核知识点1行列式定义。2行列式的性质与行列式的计算。3克拉默（Cramer）法则。（二）学习要求学习本章，要确切知道行列式的定义；理解行列式的性质（包括行列式按行、列展开定理）；熟练掌握行列式的计算（特别是低阶的数字行列式和具有特殊形状的文字或数字行列式），会求简单的n阶行列式；理解克拉默法则在线性方程组求解理论中的重要性。本章的重点: 行列式的性质与计算。难点: n阶行列式的计算（三）教学内容及考核要求1行列式的定义。1.1熟练计算二阶与三阶行列式。1.2清楚行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。1.3了解行列式的按其第一列展开的递归定义。1.4熟记三角行列式的计算公式。2行列式的性质与计算。2.1掌握并会熟练运用行列式的性质。2.2掌握行列式计算的基本方法。2.3会计算具有特殊形状的数字和文字行列式以及简单的n阶行列式。2.4熟练掌握低阶范德蒙德行列式的计算。3. 克拉默法则。3.1了解克拉默法则。3.2会用克拉默法则求解简单的线性方程组。第二章矩阵及其运算（一）考核知识点1矩阵的各种运算的定义及其运算律。重点是矩阵的乘法。2逆矩阵的定义与性质，伴随矩阵，方阵可逆的判别条件，求可逆矩阵的逆矩阵。3分块矩阵的定义及其运算。（二）学习要求学习本章，要求掌握矩阵的各种运算及其运算法则；知道方阵可逆的充分必要条件；会求可逆矩阵的逆矩阵；熟练掌握矩阵的初等变换；理解矩阵的秩定义，会求矩阵的秩。本章的重点: 矩阵运算及其矩阵的求法，矩阵的初等变换。难点: 逆矩阵的求法。（三）教学内容及考核要求1矩阵的定义。1.1理解矩阵的定义。1.2了解三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵和零矩阵的定义。 1.3清楚矩阵与行列式是两个有本质区别的概念，清楚矩阵与行列式符号的区别。2矩阵运算及其运算规律。2.1掌握矩阵相等与加、减法的定义及其可运算的条件和运算律，2.2理解数乘矩阵运算的定义。2.3掌握矩阵乘法的定义和可乘条件；掌握矩阵乘法的运算法则；注意矩阵乘法不满足交换定律和消去律，知道矩阵乘法与数乘的区别。2.4会用方阵行列式的乘法与数的乘法的区别。2.5了解矩阵转置的定义和转置的运算律，特别注意。2.6了解对称矩阵和反对称矩阵的定义。3方阵的逆矩阵。3.1理解可逆矩阵的概念与性质。3.2熟练掌握方阵可逆条件和求逆运算律，知道是A可逆的充要条件。3.3理解方阵的伴随矩阵的定义。会用两个基本结论：。3.4会用伴随矩阵求二阶和三阶矩阵的逆矩阵。3.5会解矩阵方程。4分块矩阵。4.1了解分块矩阵的定义。4.2理解分块矩阵的加法、数乘和乘法运算以及分块矩阵的转置运算。4.3会求分块对角矩阵的逆矩阵和行列式。第三章矩阵的初等变换与线性方程组（一）考核知识点1矩阵的初等变换和初等矩阵。2矩阵的秩的定义与求法3齐次线性方程组有非零解的充要条件。4非齐次线性方程组有解及有惟一解的充要条件。5齐次线性方程组的通解的求法。6非齐次线性方程组的通解的求法。（二）学习要求学习本章，要求掌握矩阵的初等变换及其初等矩阵；会求矩阵的秩；熟练掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件及通解的求法；熟练掌握非齐次线性方程组的有解判别法和通解的求法。本章重点：矩阵的初等变换；齐次线性方程组有非零解的充要条件；非齐次线性方程组有解的充要条件；会用矩阵的初等行变换求解线性方程组。难点：线性方程组的求解问题。（三）教学内容及考核要求1矩阵的初等变换与初等方阵。1.1理解矩阵的初等变换和初等方阵的定义及其相互之间的关系。1.2了解初等方阵的逆矩阵1.3了解矩阵等价的概念和矩阵的等价标准形。1.4会利用矩阵的初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵。2矩阵的秩的定义。2.1理解矩阵的秩的定义。2.2了解方阵满秩的概念及其性质。2.3会用矩阵的初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵，并求出矩阵的秩。 3齐次线性方程组有非零解的充要条件。3.1理解齐次线性方程组有非零解的充要条件。4齐次线性方程组的通解。4.1.掌握用矩阵初等行变换求齐次线性方程组的通解的方法；会化齐次线性方程组的系数矩阵为最简行阶梯形矩阵；会写出方程组的通解。4.2会讨论含参数的齐次线性方程组的求解问题。5非齐次线性方程组有解的充要条件。5.1理解非齐次线性方程组有解的判别定理。5.2掌握非齐次线性方程组有惟一解，有无穷多解的判别方法。5.3掌握用矩阵初等行变换求非齐次线性方程组的通解的方法；会讨论含参数的非齐次线性方程组的求解问题。第四章向量组的线性相关性（一）考核知识点1n维向量及其线性运算。2向量的线性组合的定义和线性组合系数的计算。3向量的线性相关和线性无关的概念及其判别法。4向量组等价的概念。5向量组的秩与矩阵的秩的关系。6向量组的极大无关组与向量组的秩的定义及其求法。7齐次线性方程组解的性质与解空间、基础解系和通解的结构。8. 非齐次线性方程组解的性质与通解的结构。8. n维向量空间的概念，子空间及其基、维数和坐标的概念。（二）学习要求学习本章，要求了解n维向量的概念；掌握向量组的组合系数的求法；理解向量组线性相关与线性无关的定义和判别法；理解向量组的极大无关组的定义和向量组的秩的定义；会求向量组的极大无关和向量组的秩；清楚向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；了解向量空间的定义和向量空间的基与维数和坐标的概念；掌握齐次线性方程组解的性质与解空间、基础解系和通解的结构和非齐次线性方程组解的性质与通解的结构。本章重点: 线性组合系数的求法；向量组线性相关和线性无关的定义及其判别法；求向量组的秩；求齐次或者非齐次线性方程组的通解。难点: 向量组线性相关和线性无关的判别法；向量组秩的概念；齐次线性方程组的基础解系的求法。（三）教学内容及考核要求1n维向量的定义和向量组的线性组合。1.1了解n维向量的定义。1.2掌握向量的线性运算法则。1.3理解向量是向量组的线性组合及方程组形式表示法。1.4掌握求线性组合系数的方法。2向量组的线性相关与线性无关。2.1理解向量组线性相关和线性无关的定义。2.2掌握求线性相关系数的方法。3向量组的极大无关组及向量组的秩。3.1理解两个向量组等价的概念。3.2理解向量组的极大线性无关组的定义。3.3理解向量组的秩的概念，并会求向量组的秩。4. 向量组的秩与矩阵的秩的关系。4.1了解矩阵的行秩与列秩的定义及其矩阵的秩的关系。4.2熟知关于矩阵的秩的重要结论。5线性方程组解的性质与通解的结构。5.1齐次线性方程组解的性质与通解的结构。5.2非齐次线性方程组解的性质与通解的结构。6向量空间。6.1了解向量空间及其子空间的定义。6.2了解向量空间的基和维数的概念。6.3会求向量在某个基下的坐标。第五章相似矩阵及二次型（一）考核知识点1实向量的内积、长度及其正交性。2施密特正交化方法。3实方阵的待征值和待征向量的定义、性质与计算。4同阶实方阵相似的定义与性质。5方阵的相似对角化。6实对称矩阵的正交相似对角化。7正交向量组与正交矩阵。 8实二次型的定义及其矩阵表示。9矩阵合同的定义。10实二次型的标准形。11惯性定理与实二次型的规范形。12正定二次型和正定矩阵的概念与判定方法。（二）学习要求学习本章，要求熟练掌握实方阵的特征值和特征向量的定义与求法；知道特征值与特征向量的性质；清楚两个同阶方阵相似的定义和性质；理解方阵与对角矩阵相似的条件并会用相似变换化方阵为对角矩阵；会计算两个实向量的内积和向量的长度，会判定两个向量是否正交；了解正交向量组的定义，会用施密特方法把线性无关向量组化为等价的正交单位向量组；了解正交矩阵的定义、性质及其判定方法；了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；会用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵；要求理解实二次型的定义及其矩阵表示；了解实二次型的标准形；了解合同矩阵的概念；会用正交变换化二次型为标准形；了解用配方法化二次型为标准形；了解惯性定理；理解正定二次型和正定矩阵的定义。掌握正定二次型和正定矩阵的判别方法。本章重点：求实方阵的特征值和特征向量；方阵可相似对角化的条件和方法；方阵的相似对角化；实对称矩阵的正交相似对角化；化二次型为标准形以及正定二次型和正定矩阵的判别方法。难点：方阵与实对称矩的相似标准形的求法；用正交变换化二次型为标准形。（三）教学内容及考核要求1特征值和特征向量。1.1理解实方阵的特征值和特征向量的定义。1.2理解实方阵的特征值和特征向量的性质，会求给定矩阵的特征值和特征向量。2相似矩阵的实义与性质。2.1理解矩阵相似的定义和相似矩阵的基本性质。3方阵相似对角化。3.1熟知n阶实方阵相似于对角矩阵的充分必要条件。3.2熟知n阶实方阵相似于对角矩阵的一个充分条件：A有n个互不相同的特征值。3.3掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法。4向量内积和正交矩阵。4.1清楚向量内积的定义和基本性质，会计算向量的内积。4.2了解向量的长度的定义和把非零向量单位化。4.3理解两个向量正交的概念，会判定两个非零向量是否正交。4.4了解标准正交向量组的定义及其线性无关性。4.5熟练掌握正交矩阵的定义及其性质。4.6掌握线性无关向量组的施密特正交化方法。5实对称矩阵的性质。5.1了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。5.2了解实对称矩阵必正交相似于对角矩阵。6实对称矩阵的正交相似标准形。6.1会求实对称矩阵的正交相似标准形。 7实二次型的定义及其矩阵表示。7.1了解实二次型的定义及其矩阵表示。8实二次型的标准形。8.1了解实二次型的标准形。8.2了解矩阵合同的定义。9化实二次型为标准形。9.1了解正交变换的定义。9.2掌握用正交变换化实二次型为标准形的方法。9.3了解用配方法化实二次型为标准形的方法。10惯性定理与二次型的规范形。10.1了解惯性定理，了解二次型的秩及二次型的正、负惯性指数及符号差。10.2了解二次型的规范形。11正定二次型与正定矩阵。11.1理解正定二次型和正定矩阵的概念。11.2掌握正定二次型和正定矩阵的判别方法。四、学时分配序号课程内容讲授学时习题学时小计1第一章6282第二章4263第三章82104第四章102105第五章10212合计381048五、课程考核方案(一)、课程考核目标 本课程考核是对学生对基本理论、基本概念、基本运算技能的理解和掌握程度的检验，也是对学生能否灵活运用所学的知识、方法与技巧解决实际问题的综合能力的检验。 (二)、考核原则本课程的考核突出了概念性强、技艺性强、综合性强、知识覆盖面广和计算过程较为简捷的考核原则，着重以学生综合运用所学知识能力的强弱程度来衡量学生成绩的高低。(三)、试题考核内容、范围及比重试题包括行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、相似矩阵与二次型等五章内容。行列式约占15%，矩阵试题约占20%，n维向量约占20%以上，线性方程组约占20%，相似矩阵与二次型约占25%。此外，试题形式将体现一定的综合性，即一道试题将涉及多个知识点或多个基本概念，容易题、中等题、较难题比例为4：4：2。 (四)、考核成绩构成本课程综合成绩总计满分为100分，其中平时考核成绩占20%、期中考核成绩占20%、期末考核成绩占60%。1.平时成绩满分20分，由学生的出勤情况（占6分）、课堂表现（占6分）和课后作业（占8分）三部分构成；2.期中成绩根据期中考核结果