平面与平面垂直的判定

2 3 2 平面与平面垂直的判定 卫星轨道面 地球赤道面 水坝面与水平面 卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度 这两个角度的共同特征是什么 该如何表示呢 二面角及其平面角 概念 直线上的一点将直线分割成两部分 每一部分都叫做射线 平面上的一条直线将平面分割成两部分 每一部分叫半平面 概念 从一点出发的两条射线 构成平面角 同样 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 m 记为 二面角 m 记作 AOB A B O 二面角的图示 二面角的记号 1 以直线为棱 以为半平面的二面角记为 2 以直线AB为棱 以为半平面的二面角记为 A B 思考3 两个相交平面有几个二面角 提出问题 二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系 如我们常说 把门开大一些 是指二面角大一些 那我们应如何度量二面角的大小呢 如何用平面角来表示二面角的大小 探究 二面角 l 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角 AOB即为二面角 AB 的 1 在表示二面角的平面角时 角的顶点在棱上 角的两边分别在两个面内 角的边都要垂直于二面角的棱即 OA L OB L 2 AOB的大小与点O在L上位置无关 3 二面角的平面角是多少度 就说这个二面角是多少度 平面角是直角时叫直二面角 注意 二面角的取值范围 0度角 180度角 00 1800 思考 如图 过二面角 l 一个面内一点A 作另一个面的垂线 垂足为B 过点B作棱的垂线 垂足为O 连结AO 则 AOB是二面角的平面角吗 为什么 思考 如图 平面 垂直于二面角的棱l 分别与面 相交于OA OB 则 AOB是二面角的平面角吗 为什么 小结二面角的平面角的作法 1 定义法 根据定义作出来 2 作垂面 作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到 3 应用三垂线定理 应用三垂线定理或其逆定理作出来 o 例1 在正方体中 找出二面角C1 AB C的平面角 并指出大小 例2在正方体ABCD A1B1C1D1中 求二面角B1 AC B的正切值 例3如图所示 河堤斜面与水平面所成二面角为300 堤面上有一条直道CD 它与堤角的水平线AB的夹角为450 沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处 此时人升高了多少m 当堂检测P73习题2 3A组 7 答案 90o或45o 第二课时平面与平面垂直 2 3 2平面与平面垂直的判定 平面与平面垂直 直线与直线 直线与平面可以垂直 平面与平面是否存在垂直关系 如何认识两个平面垂直 我们从理论上作些探讨 教学目标 1 掌握两个平面互相垂直的定义 画法及记法 2 掌握两个平面互相垂直的判定定理并会灵活运用 观察 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交 它们所成的二面角及其度数 两个平面相交 如果它们所成的二面角是直二面角 就说这两个平面互相垂直 在图形上 符号上怎样表示两个平面互相垂直 记为 思考 如果平面 平面 那么平面 内的任一条直线都与平面 垂直吗 思考 在二面角 l 中 直线m在平面 内 如果m 那么二面角 l 是直二面角吗 思考 根据上述分析 可以得到两个平面互相垂直的判定定理 用文字语言如何表述这个定理 如果一个平面经过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 结论 两个平面垂直的判定 判定两个平面互相垂直 除了定义外 还有下面的判定定理 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 注 这个定理简称 线面垂直 则面面垂直 下面我们来证明这个定理 求证 分析 要证明两个平面互相垂直 只有根据两个平面互相垂直的定义 证明由它们组成的二面角是直二面角 因此必须作出它的一个平面角 并证明这个平面角是直角 如何作平面角呢 根据平面角的定义 可以作BE CD 使 ABE为二面角 CD 的平面角 求证 证明 设a CD 则B CD AB CD 在平面 内过点B作直线BE CD 则 ABE是二面角 CD 的平面角 又AB BE 即二面角 CD 是直二面角 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 C D A B 课堂诊断 1 如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的一条直线 则 2 如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的两条直线 则 3 如果平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线 则 4 二面角指的是 A 从一条直线出发的两个半平面所夹的角度 B 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 C 两个平面相交时 两个平面所夹的锐角 D 过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角 B 应用举例 强化所学 例1 如图 AB是 O的直径 PA垂直于 O所在的平面 C是圆周一不同于A B的任意一点 求证 平面PAC 平面PBC 证明 设 O所在平面为 由已知条件 有PA BC在 内 所以 PA BC 因为 点C是不同于A B的任意一点 AB为 O的直径 所以 BCA 90 即BC CA又因为PA与AC是 PAC所在平面内的两条相交直线 所以 BC 平面PAC 又因为BC在平面PBC内