IIR滤波器.doc

IIR数字带通滤波器的设计李丽丽（物电学院07电子信息工程2班）摘要：提出了数字滤波器特点以及IIR和FIR滤波器的区别，阐述了IIR滤波器的原理,设计了一种简便带通数字IIR滤波器。通过设定合理的频带变换参数 ,保证了该滤波器的稳定性。最后给出IIR带通滤波器设计。关键词：IIR滤波器；FIR滤波器；IIR带通滤波器。Abstract: this paper puts forward digital filter characteristic and of IIR and expounds the difference between IIR and FIR filter ,the principle of filter, design a kind of simple band-pass digital IIR filter. By setting reasonable band transform parameter, to ensure the stability of the filter. And finally gives IIR band pass filter design.Keywords: IIR filter; FIR filter; IIR band pass filter.引言：数字IIR滤波器具有良好的幅频响应特性,被广泛应用于通信、控制、生物医学、振动分析，雷达和声纳等领域从滤波器实现来看,数字IIR滤波器有直接型，级联型、并联型和格型等基本网络结构类型。在各种数字IIR滤波器结构中,级联型滤波器结构一方面由于各级之间相互不影响,便于准确实现滤波器零、极点和调整滤波器频率响应性能;另一方面由于各级极点密集度小,滤波器性能受滤波器系数量化的影响小,因此倍受关注。本文主要研究IIR滤波器的特点和设计方法最后给出了IIR带通滤波器的设计实例。0 IIR数字滤波器的特点0.1数字滤器的特点IIR数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。IIR滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱.(1)传递函数中有零点和极点(2)具有锐截止性(3)具有非线性相位特性,如音频信号, 采用IIR滤器是可以的.(4)滤波器实现形式有三种 ,直接型 ,并联型 ,串联型,各种结构对噪声的灵敏性和运算精度上都是不同的。1 IIR数字滤波器原理 1.1 数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性: ,其中 、 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）, 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱 经过滤波后 ,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择 ，使得滤波后的 满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。1.2 FIR 和 IIR 的性能对比a. FIR 滤波器的一个重要特点就是能够提供准确的线性相位, 所以在对相位要求较严格的地方, FIR 占据了统治地位, 但是严格的线性相位的 IIR 滤波器也已经被提出, 只是其阶数比普通 IIR 滤波器要提高一倍, 实现中, 采用了一种时间反折技术(time- reversing technique), 两个滤波器的传递函数设计成相同的, 但是经过第一个滤波器得到的数据经过一次反折, 即后入先出(LIFO) , 这样经过第二个滤波器后就跟原序列经过上述的效果是相同的。b. FIR 的准确线性相位是以降低幅度响应特性作为代价的, 所以相同幅度响应的 FIR 滤波器要比 IIR 的阶数高得多, 特别是如果要实现有锐沿的幅频特性, FIR 所需要的阶数将非常高, 而 IIR 滤波器就能很好的解决这个问题。c. 由于 FIR 没有反馈系统, 它需要较多的存储器来存放滤波器系数, 所以在对相位要求不很严格的地方, 使用 IIR 滤波器更节约资源。d. 反馈系统在 IIR 滤波器中带来的一个问题就是:一次运算产生的误差将会反馈到输入端再参与运算, 使误差在环路内不断积累传播, 从而对滤波器的输出造成较大的影响。所以, 有限字长效应在 IIR 滤波器中比在 FIR 中更加严重。为了解决这个问题, Artur Krukowski 对相同传递函数, 不同内部结构的全通IIR 滤波器基本单元的量化效应和其他一些特性作了研究, 得到了各种结构的特点, 可以根据应用的需要选择不同的结构, 来达到特定的指标要求, 从而发挥出 IIR 滤波器的最大优势。3 IIR数字滤波器设计方法IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为假设MN，当MN时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数 和 ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。数字滤波器实际上是一个采用有限精度算法实现的线性非时变离散系统，滤波器的功能实现实际上是通过大量的加法运算和乘法运算完成的。IIR数字滤波器差分方程的一般形式为：从IIR数字滤波器的实现来看，有直接型、级联型、并联型和格型等基本网络结构。不同的结构形式会有不同的运算误差，其稳定性、运算速度、所占用的存储空间等也有所不同3。其中直接型仅需要N级延迟单元，且可作为级联型和并联型结构中的基本单元，是最常用的IIR数字滤波器结构之一。IIR数字滤波器的设计方法有两类4，一类是借助于模拟滤波器的设计方法设计出模拟滤波器，利用冲激响应不变法或双线性变换法转换成数字滤波器，然后用硬件或软件实现；另一类是直接在频域或时域中进行设计，设计时需要计算机作辅助工具。对系统传递函数为的IIR数字波滤器来说，设计的任务就是寻求一种因果关系和物理上可实现的系统传递函数H(z)，使其频率响应H(ej)能够满足所希望得到的频域指标。1)IIR数字滤波器是针对采样率固定的系统设计的，更改系统或系统采样率改变时应重新设计。(2)用到的数据存储单元，程序开始时应对这些单元进行初始化。如果要进行连续滤波，应保存上一次滤波的结果。4 IIR带通滤波器实现方法4.1设计步骤：根据以上IIR数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于MATLAB设计一个IIR带通滤波器，其中带通的中心频率为p0=0.5，;通带截止频率p1=0.4,p2=0.6;通带最大衰减p=3dB;阻带最小衰减s=15dB;阻带截止频率s2=0.7(1)根据任务,确定性能指标:在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标:带通滤波器的阻带边界频率关于中心频率p0几何对称，因此ws1=wp0- (ws2-wp0)=0.3，通带截止频率wc1=0.4,wc2=0.6;阻带截止频率wr1=0.3，wr2=0.7；阻带最小衰减s=3dB和通带最大衰减p=15dB;(2)用=2/T*tan(w/2)对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变，得到带通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率p1,p2;阻带截止频率s1，s2的转换。为了计算简便，对双线性变换法一般T=2s通带截止频率 wc1=(2/T)*tan(wp1/2)=tan(0.4/2)=0.7265wc2=(2/T)*tan(wp2/2)=tan(0.6/2)=1.3764阻带截止频率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)=tan(0.3/2)=0.5095，wr2=(2/T)*tan(ws2/2)=tan(0.7/2)=1.9626阻带最小衰减s=3dB和通带最大衰减p=15dB;(3)运用低通到带通频率变换公式=(2)-(02)/(B*)将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。B=wc2-wc1=0.6499normwr1=(wr12)-(w02)/(B*wr1)=2.236normwr2=(wr22)-(w02)/(B*wr2)=2.236normwc1=(wc12)-(w02)/(B*wc1)=1normwc2=(wc22)-(w02)/(B*wc2)=1得出，normwc=1，normwr=2.236模拟低通滤波器指标：normwc=1，normwr=2.236，p=3dB，As=15dB(4)设计模拟低通原型滤波器。用模拟低通滤波器设计方法得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s);借助巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。(5)调用lp2bp函数将模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。(6)利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z).4.2.程序流程框图：开始读入数字滤波器技术指标将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和3db截止频率模拟域频率变换，将G(P)变换成模拟带通滤波器H(s)用双线性变换法将H(s)转换成数字带通滤波器H(z)输入信号后显示相关结果结束4.3MATLAB程序：MATLAB 程序如下:clearwp0=0.5*pi;wp1=0.4*pi;wp2=0.6*pi;Ap=3;ws2=0.7*pi; As=15;T=2; %数字带通滤波器技术指标ws1=wp0-(ws2-wp0); %计算带通滤波器的阻带下截止频率wc1=(2/T)*tan(wp1/2);wc2=(2/T)*tan(wp2/2);wr1=(2/T)*tan(ws1/2);wr2=(2/T)*tan(ws2/2);w0=(2/T)*tan(wp0/2); %频率预畸变B=wc2-wc1; %带通滤波器的通带宽度 normwr1=(wr12)-(w02)/(B*wr1);normwr2=(wr22)-(w02)/(B*wr2);normwc1=(wc12)-(w02)/(B*wc1);normwc2=(wc22)-(w02)/(B*wc2); %带通到低通的频率变换if abs(normwr1)abs(normwr2)normwr=abs(normwr2)else normwr=abs(normwr1)end normwc=1; %将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标N=buttord(normwc,normwr,Ap,As,s); %设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和3db截止频率bLP,aLP=butter(N,normwc,s); %计算相应的模拟滤波器系统函数G(p)bBP,aBP=lp2bp(bLP,aLP,w0,B); %模拟域频率变换，将G(P)变换成模拟带通滤波器H(s) b,a=bilinear(bBP,aBP,0.5); %用双线性变换法将H(s)转换成数字带通滤波器H(z)w=linspace (0,2*pi,500);h=freqz(b,a,w);subplot(2,1,2);plot(w,abs(h);grid onxlabel(w(rad)ylabel(|H(jw)|)title(频谱函数)subplot(2,2,1);plot(w,20*log10(abs(h);axis(0,2*pi,-120,20);grid onxlabel(w(rad)ylabel(20*lg|H(jw)|(db)title(20*lg|H(jw)|-w)5结论通过对比分析和实验结果以及举例说明, 我们可以看到 IIR 滤波器比FIR 滤波器在资源的耗用上有很大的节省, 随着信号处理的范围和要求不断扩大, 微型化和集成一体化的不断发展, 多速率数字信号处理和滤波器组设计的深入研究, 对资源耗用的要求将不断提高。相信随着 IIR 滤波器的不断深入研究, IIR 滤波器在信号处理中将会有非常广阔的前景。参考文献【1】翟海涛，杨军，朱江一种基于FPGA的高速FIR滤波器的设计J信息化研究， 2009，（4） 【2】 R.W. 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