重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第十章《推理与证明》第3讲 数学归纳法指导课件 新人教A版

第3讲 数学归纳法 1 运用数学归纳法证明命题要分两步 第一步是 第二步是 两步缺一不可 2 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题 其中包括 归纳递推 或归纳假设 恒等式 不等式 数列通项公式 整除性问题 几何问题等 1 在用数学归纳法证明多边形内角和定理时 第一步应验证 C A n 1时成立B n 2时成立C n 3时成立D n 4时成立解析 多边形至少有三边 时 在第二步证明从n k到n k 1成立时 左边增加的项数是 A 2kB 2k 1C 2k 1D 2k 1 A 3 凸n边形有f n 条对角线 则凸n 1边形有对角线数f n 1 为 C A f n n 1C f n n 1 B f n nD f n n 2 解析 在n个顶点的基础上增加一个顶点则增加n 1条对角线 4 设平面内有n n 2 条直线 其中任意两条不平行 任意 三条不过同一点 则它们的交点的个数f n 为 A n n 1 B n n 1 D 猜想an的表达式 其结果是 考点1 对数学归纳法的两个步骤的认识 例1 已知n是正偶数 用数学归纳法证明时 若已假设n k k 2且为偶数 时命题为真 则还需证明 A n k 1时命题成立B n k 2时命题成立C n 2k 2时命题成立D n 2 k 2 时命题成立 答案 B 用数学归纳法证明时 要注意观察下列几个方面 1 n的范围以及递推的起点 2 观察首末两项的次数 或其他 确定n k时命题的形式f k 3 从f k 1 和f k 的差异 寻找由k到k 1递推中 左边要加 乘 上的式子 互动探究 1 用数学归纳法证明1 a a2 an 1 an 11 a a 1 n B N 时 在验证n 1时 左边计算所得的式子是 A 1B 1 aC 1 a a2D 1 a a2 a4 解析 n 1时 左边的最高次数为1 即最后一项为a 左边是1 a n n24 2 用数学归纳法证明不等式 11n 1n 2 113 的过 程中 由k推导到k 1时 不等式左边增加的式子是 考点2 用数学归纳法证明恒等式命题 解题思路 从特殊入手 探求a b c的值 考虑到有3个未知数 先取n 1 2 3 列方程组求得 然后用数学归纳法对一切n N 等式都成立 这是一个探索性命题 归纳 猜想 证明 是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式 对于探索命题特别有效 要求善于发现规律 敢于提出更一般的结论 最后进行严密的论证 从特殊入手 探求a b c的值 考虑到有3个未知数 先取n 1 2 3 列方程组求得 然后用数学归纳法对一切n N 等式都成立 互动探究 考点3 用数学归纳法证明整除性命题 例3 试证 当n为正整数时 f n 32n 2 8n 9能被64整除 互动探究 4 求证 二项式x2n y2n n N 能被x y整除 证明 1 当n 1时 x2 y2 x y x y 能被x y整除 命题成立 2 假设当n k k 1 k N 时 x2k y2k能被x y整除 那么当n k 1时 x2k 2 y2k 2 x2 x2k y2 y2k x2x2k x2y2k x2y2k y2y2k x2 x2k y2k y2k x2 y2 显然x2k 2 y2k 2能被x y整除 即当n k 1时命题成立 由 1 2 知 对任意的正整数n命题均成立 考点4 用数学归纳法证明不等式命题 1 用数学归纳法证明问题时应注意 1 第一步验证n n0时 n0并不一定是1 2 第二步证明的关键是要运用归纳假设 特别要弄清由k到 k 1时命题的变化 3 由假设n k时命题成立 证明n k 1时命题也成立 要 充分利用归纳假设 要恰当地 凑 出目标 2 用数学归纳法证明时 从n k到n k 1的关键是 要注意初始值 要弄清n