二构造方程(1).doc

三 构造图形构造平面和立体图形例一正数满足条件。求证：。解题分析 因为这道题目中含有六个变元，所以我们可以考虑先假定剩余的四个变元不动，然后看在另外两个变元取什么值的时候，最大，再看这个最大值是否小于，如果小于，那么结论就得证了。证一 假定是固定的常量，是变量，那么根据排序不等式只可能在两个极端取得最大值，也就是说而，同时。所以。点评 这道题目中用到了排序不等式的一点知识，排序不等式实际上是说如果存在两列个数相同的实数，那么一对一的乘起来再求和可以有很多种形式，在所有形式的对应结果中，最大的是顺序和，最小的是逆序和。所谓顺序和是指先把两列实数从大到小排序，然后对应相乘之后相加得到的和；所谓逆序和是指先把一列从大到小一列从小到大排序然后对应相乘之后相加得到的和。本题中我们提到，的取值只有当最大乘大，最小乘小的时候才能达到最大，所以取在两个极端。解题分析 如果大家没有学过排序不等式，拿到这道题目想到的肯定是按照常规做法，首先要减少变元的数量，比如说原题中有六个变元，但是实际上真正自由的变元只有三个，因为我们有三个约束式子，。也就是说只要三个变元确定下来，那么全部六个变元就都确定了，所以我们把要证明的式子中的剩余变元用表示出来，这样我们就能得到只有三个变元的待证式子，相比较有六个变元的式子，降低了证明的难度。下面的证明是我们对于这个思路的展开。证二 根据，我们可以得到。代入待证式可以得到且有，按照的一次函数整理一下可以得到：。当时，运用放缩法，时取到最大值，则不等式左边；当时，运用放缩法，时取到最大值，则左边。由此不等式得证。点评 这种解法中，我们实际上用到了换元的思路和一次函数求最值的思路。其中，一次函数求最值的思路也就是一次函数的极值只能在两端取得的思路是很重要的。证一中的排序不等式的根基也在于此。解题分析 证一在利用证明的时候用到了一次函数，但是还可以用二次函数证明。证三 证明其实相当于证明下列式子：也就是说这个二次函数在（不妨设是）的时候是恒大于0的，这要分成两种情况：(1) 二次函数的对称轴在的左边，因此二次函数在的时候是单调递增的，所以。(2) 二次函数的对称轴在的右边，因此二次函数在取到最小值，最小值满足：由于，所以，根据对称性不妨设，那么因为在这个区间满足，也就是说：，所以。命题得证。点评 实际上，这个解法应用了两次二次函数的性质，但是形式上比一次函数的证法复杂了许多。解题分析 这道题目如果能够跳跃联想到构造法解决起来就更得心应手了。比如说一旦看到形如的式子就能够想到能够构成一个等边三角形的三条边，而可以设想成某种面积的形式，这样通过几何图形的面积比较就可以很轻松的得到不等式。证四 由求证的不等式联想到面积关系，由所设条件联想到构造以边长为的正三角形，如图所示：由SLRM+SMPN+SNQLSPQR，也就是说即得证明。点评 这样得到的证法浑然天成，把几何上显而易见的结论搬到代数中来，就很轻松的证明了代数上看起来很复杂的结论，为什么能这么轻巧，原因就在于在这个问题上代数和几何具有结构上的相似性，因此使这种结论的移植成为可能。解题分析 或者我们也可以这样想，看到我们可以联想到构造正方形，正方形的四条边分别是，而待证不等式的左边就是某些图形的面积和，右边是正方形的面积。证五 由求证的不等式联想到面积关系，由题设条件式联想到以边长为的正方形。如图所示：我们可以得到阴影部分面积小于整个正方形的面积，也就是待证不等式，即得证明。点评 注意到如果考虑的时候，那么图中的阴影部分就可能会出现重叠，此时我们实际上需要调整图形的排布顺序，这种调整并不难，请读者自己试着完成。解题分析 如果这道题我们再继续推广下去，不难想到既然用正方形来证是可以的，那么用正方体来证也是可以的，因为正方体的三度正好对应。证六 不妨构造棱长为的正方体，则有因此，从而推出结论。点评 注意的处理，实际上在这个解法中，这个处理是非常精巧的，没有这个处理，这种构造仍然不能算得上上乘。分析 最后我们利用待证不等式构造函数，利用函数的单调性或者其他相关性质来证明不等式。证七 构造以为变量字母的一次函数式：此一次函数式的图象是无端点的线段，且当的时候，命题得证。点评 最后的这个方法主要强调了对于函数的把握，揭示了不等式和函数之间的密切关系。例二已知都是正数，而且满足，求证：。解题分析 注意到，所以不访直接利用这个性质。证一 因为如下所示的式子成立：而所以题目中的待证不等式成立。点评 这个题目中条件实际上可以放宽为，虽然这并不意味着结论可以加强，因为取极限值的时候命题中的大于号就变为等号。解题分析 构造法考查的是大家见微知著的本领，也就是说看到题目中条件或者结论的某个细节很像几何中或者代数中的某个显著的关系，就把思路往上靠，直到思路的线条能够清澈透底为止，这样写出来的证明就能干净利落。人们对大数学家高斯的评价有一段话很有名：高斯就像是在沙滩上行走的狐狸，为了不让别人看到它走过的痕迹，它用尾巴把自己的足迹给擦掉了。构造法正好相反，它总是要根据出题人的思路所留下的蛛丝马迹汇总起来，一步一步地看清楚出题人的足迹所在，然后仔细揣摩，联想推证，就可以发现出题人的真义所在从而从容解题。所以构造法考查的最重要的能力就是见微知著的能力。在此题中，微就是而著就是要联想到长方体的对角线和三度。证二 注意到，因此就是可以看成是长方体的三度，那么长方体的对角线的长度就是